лабораторная работа. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА2 (1). Динамика твердого тела понятие о механической системе

• Название: Динамика твердого тела понятие о механической системе
• Анкор: лабораторная работа
• Дата: 10.04.2022
• Размер: 105.84 Kb.
• Имя файла: ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА2 (1).docx
• Тип: Документы; #460075

1. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

   1. Понятие о механической системе

Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой. Любое материальное тело рассматривается в механике как механическая система, образуемая совокупностью материальных точек. Причем абсолютно твердое тело носит название неизменяемой механической системы, так как расстояния между материальными точками остается неизменным. Механические системы, расстояния между точками которых могут меняться, называются изменяемыми. К ним относятся любые машины и механизмы.

Если рассматривать какую-либо механическую систему, то силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в эту систему, называются внешними, а силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел этой же системы, называются внутренними.

Внешние силы принято обозначать с индексом e: F_e, R_e,, а внутренние силы – с индексом i: F_i.

Так как, согласно четвертой аксиоме динамики, внутренние силы взаимодействия между отдельными точками механической системы (рис. 7.1) попарно равны и направлены противоположно вдоль прямых, соединяющих эти точки, то главный вектор всех внутренних сил механической системы равен нулю, причем если рассматриваемая механическая система неизменяемая, т.е. представляет собой абсолютно твердое тело, то внутренние силы уравновешиваются; если же рассматривается изменяемая механическая система, то внутренние силы взаимно не уравновешиваются, так как приложенные к разным телам, они могут вызвать их взаимное перемещение.



Рис. 7.1

Движение механической системы зависит не только от действующих сил, оно зависит также, во-первых, от суммарной массы системы

m=m_k , (7.1)

где m – масса механической системы и m_k – массы ее отдельных точек, и, во-вторых, от положения центра масс системы.

Движение центра масс определяется уравнением

Fe_=ma_c ,(7.2)

где F_e результирующая всех внешних сил, приложенных к точкам системы; m масса системы и a_cускорение центра масс системы. Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и приложены все внешние силы. Используя уравнение (7.2) при решении задач, следует иметь в виду, что движение центра масс характеризует перемещение системы только при ее поступательном движении.

2. Принцип Даламбера

Для рассмотрения движения несвободных систем используется специальный принцип, получивший название принципа Даламбера.

Уравнение движения материальной точки массой m относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и реакций связей имеет вид:

ma=F+R . (7.3)

Сила Fявляется равнодействующей активных сил, R – равнодействующая реакций связей и a– ускорение точки относительно инерциальной системы отсчета. Назовем силой инерции материальной точки произведение массы точки на вектор ускорения, взятое с обратным знаком, т.е. Ф=-ma. Тогда уравнение (7.3) примет вид:

F+R+ Ф=0. (7.4)

Так как силы F, R и Ф образуют систему сходящихся сил и удовлетворяют условию (7.4), то они являются системой сил, эквивалентной нулю:

{F,R,Ф} 0. (7.5)

Уравнение (7.4) выражает принцип Даламбера для точки: при движении материальной точки активные силы, реакции связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил.

Рассмотрим систему N материальных точек. К каждой точке системы в общем случае приложена равнодействующая активных сил и равнодействующая реакций связей. Применяя принцип Даламбера к каждой точке системы, получим:

Fk+Rk+Фk=0, (k=1,…,N). (7.6)

N векторных условий (7.6) выражают принцип Даламбера для системы: при движении механической системы активная сила и реакция связей вместе с силой инерции составляют равновесную систему сил для каждой точки системы.

3. Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело (рис. 7.2) под действием внешних сил F_ek вращается вокруг оси OZ с угловым ускорением . Алгебраическая сумма моментов всех сил (активных сил и сил сопротивления) относительно оси OZM_ez=M_z(F_ek) называется вращающим моментом.

Найдем зависимость между угловым ускорением тела и действующим на него вращающим моментом M_ez. Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем его на множество материальных точек с массами m_k. При вращении тела каждая из этих точек движется по окружности радиуса _kс ускорением a_k, которое разложим на касательное a_kи нормальное a_knускорения.



Рис. 7.2

Приложим к каждой материальной точке элементарные силы инерции: касательную Ф_k^ =–ma_k^ и нормальную Ф_kⁿ =–ma_kⁿ. Согласно принципу Даламбера, активные силы, силы реакций связей и силы инерции образуют уравновешенную систему. Поэтому алгебраическая сумма моментов всех этих сил относительно оси OZ должна быть равна нулю:

M_ezФ_k^_k=0. (7.7)

(моменты сил Ф_kⁿ относительно оси OZ равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают ось). Касательная сила инерции Ф_k^=m_k_k, где угловое ускорение тела. Подставляя значение сил инерции в уравнение (7.7), получим:

M_ez=m_k_k².

Величина m_k_k²=J_z, равная сумме произведений масс точек на квадрат их расстояний от оси вращения, называется моментом инерции тела (системы) относительно этой оси. Введя в последнее равенство принятое обозначение, получим основное уравнение динамики вращающегося тела:

M_ez=J_z .(7.8)

Момент инерции выражает меру инертности тела при вращательном движении. Выражению J_zможно придать интегральную форму:

J_z=v_k2dm_k .(7.9)

Из формулы (7.9) следует, что значение момента инерции зависит главным образом от распределения массы тела относительно оси вращения (рис. 7.3).

На рисунке изображены три колеса одинакового диаметра и массы, но различной формы. Ввиду того, что момент инерции тела складывается из элементарных моментов инерции m_k_k² отдельных точек, ясно, что при одинаковой массе из трех колес момент инерции второго наибольший, а третьего – наименьший J₂J₁>J₃. Иногда для упрощения расчетов используют понятие радиуса инерции тела , откуда i_z²=J_z/m, и тогда момент инерции тела

J_z=mi_z².(7.10)



Рис. 7.3

4. Моменты инерции простейших однородных тел

Момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и расположенной у одного из его концов (рис. 7.4).



Рис. 7.4

Принимая во внимание однородность стержня и постоянство поперечного сечения по всей длине, учтя, что =m/l– масса единицы длины стержня, получим:

J_z= l³/3.

Подставив вместо ее значение m/l , получим J_z=ml²/3.

Момент инерции этого же стержня относительно оси z_c, проходящей через середину стержня (рис. 7.5).



Рис. 7.5

Ось z_cназывается центральной, так как проходит через центр тяжести тела. Момент инерции для этого случая определяется по формуле:

J_zc=ml²/12.

Для моментов инерции тела относительно параллельных осей существует зависимость (теорема Гюйгенса):

J_z=J_zc+me²,

где J_z – момент инерции относительно данной оси; J_zc – момент инерции относительно центральной оси, параллельной данной; m – масса тела и e – расстояние между осями.

Момент инерции тонкой круглой однородной пластинки относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости пластинки (рис. 7.6).



Рис. 7.6

Масса пластинки m, радиус пластинки r. Момент инерции пластинки определяется зависимостью: J_zc=mr²/2.

Момент инерции сплошного однородного цилиндра массой m относительно его геометрической оси (рис. 7.7).

Определяется по формуле J_zc=mr²/2, так как цилиндр можно представить состоящим из тонких однородных дисков одного и того же радиуса r.

Момент инерции полого цилиндра массой m, относительно геометрической оси z выражается формулой:

J_z=m(r²+r₀²)/2,

где r – наружный радиус, а r₀ – внутренний радиус цилиндра (рис. 7.8).