Директрисы эллипса и гипербол (Презентация по геометрии). Директрисы эллипса и гипербол (Курсовая). Директрисы эллипса и гипербол Дифференциальная геометрия
 Скачать 1.37 Mb.
|
|
Директрисы эллипса и гипербол Дифференциальная геометрия Выполнил: студент группы 21ВМ1 Афонасова Яна Курсовая Директриса эллипса Директрисой эллипса (гиперболы), соответствующей данному фокусу F, называется прямая d, перпендикулярная к фокальной оси кривой, отстоящая от центра на расстояние и лежащая по ту же сторону от центра, что и фокус F (рис. 91 и 92). Если взята каноническая для данной кривой прямоугольная система координат, то уравнение директрис , (соответствующих фокусам ) будет соответственно x = - ; x = Для эллипса е < 1, поэтому директрисы эллипса удалены от центра на расстояние, больше а (см. рис. 91). Для гиперболы е > 1, поэтому директрисы гиперболы удалены от ее центра на расстояние, меньше а (см. рис. 92). Фокусное расстояние Фокусное расстояние 1) в случае эллипса Фокусное расстояние 1) в случае эллипса 2) в случае гиперболы Фокусное расстояние 1) в случае эллипса 2) в случае гиперболы Следовательно, для эллипса и для гиперболы имеем Фокусное расстояние Если в случае гиперболы (при данном а) фокусное расстояние с, а значит, и эксцентриситет увеличивается, то (острый) угол между асимптотами уменьшается, а директрисы все более приближаются ко второй оси. Если в случае эллипса (при данном а) фокусное расстояние с, а значит, и эксцентриситет уменьшается, то эллипс становится все более похожим на окружность, а его директрисы уходят все дальше и дальше от второй оси. Наконец, для окружности е = 0 и директрисы исчезают. 1) в случае эллипса 2) в случае гиперболы Следовательно, для эллипса и для гиперболы имеем Теорема Для всех точек М кривой С имеем Тогда имеем , , откуда x = - Теорема Для всех точек М кривой С имеем Тогда имеем , , откуда x = - Тогда По предположению для точки М выполнено условие так что По предположению для точки М выполнено условие так что По предположению для точки М выполнено условие так что или По предположению для точки М выполнено условие так что или что, после очевидных преобразований, превращается в (1) По предположению для точки М выполнено условие так что или что, после очевидных преобразований, превращается в (1) Если кривая С — эллипс, то e = , и уравнение (1) переписывается в виде По предположению для точки М выполнено условие так что или что, после очевидных преобразований, превращается в (1) , или в виде Если кривая С — эллипс, то e = , и уравнение (1) переписывается в виде По предположению для точки М выполнено условие так что или что, после очевидных преобразований, превращается в (1) , или в виде Если кривая С — эллипс, то e = , и уравнение (1) переписывается в виде Если же кривая С — гипербола, то e = , и уравнение (1) можно написать в виде По предположению для точки М выполнено условие так что или что, после очевидных преобразований, превращается в (1) , или в виде Если кривая С — эллипс, то e = , и уравнение (1) переписывается в виде Если же кривая С — гипербола, то e = , и уравнение (1) можно написать в виде , или в виде По предположению для точки М выполнено условие так что Эксцентриситет эллипса есть положительное число e < 1; эксцентриситет гиперболы e > 1. Определим эксцентриситет для всякой параболы, положив его равным e = 1. Теперь любое положительное число e является эксцентриситетом или эллипса, или параболы, или гиперболы, и мы в качестве итога рассуждений этой темы получаем такой основной результат: Класс кривых, являющихся эллипсами, параболами или гиперболами, может быть определен следующим образом: Каждая кривая С этого класса есть геометрическое место точек М, для которых отношение расстояния точки М от некоторой фиксированной точки F («фокуса кривой С») к расстоянию точки М от некоторой фиксированной прямой («директрисы кривой С») есть постоянное положительное число e, e = (для всех точек М кривой С) называемое эксцентриситетом кривой С. Кривая С является эллипсом, если е < 1, параболой, если e = 1, гиперболой, если e > 1. или что, после очевидных преобразований, превращается в (1) , или в виде Если кривая С — эллипс, то e = , и уравнение (1) переписывается в виде Если же кривая С — гипербола, то e = , и уравнение (1) можно написать в виде , или в виде КОНЕЦ А кто слушал - молодец |