Определенный интеграл. 1_Опред_Инт_Лек_14. Лекция 14. Определенный интеграл

• Название: Лекция 14. Определенный интеграл
• Анкор: Определенный интеграл
• Дата: 28.12.2022
• Размер: 429.65 Kb.
• Имя файла: 1_Опред_Инт_Лек_14.docx
• Тип: Лекция; #867811

Лекция 14.

6. Определенный интеграл.

6.1. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл.

Рассмотрим фигуру, ограниченную кривой , которая описывается функцией , отрезком по оси , где и – абсциссы точек и , и прямыми параллельными оси , проведенными из точек A и В. Такая фигура называется криволинейной трапецией.



При этом функция является непрерывной и положительной на отрезке . Отрезок называется основанием криволинейной трапеции.

Пусть требуется вычислить площадь криволинейной трапеции. Для этого основание разобьем на более мелких отрезков с помощью точек. При этом положим , а . Через все точки проведем прямые параллельные . В результате криволинейная трапеция будет разбита на более мелких криволинейных трапеций, и ее площадь будет равна сумме площадей трапеций разбиения: .

Если заменить каждую из этих трапеций с основанием прямоугольником с тем же основанием и высотой , где произвольная точка, лежащая внутри каждого основания, то площадь таких прямоугольников приблизительно будет равна площади соответствующих криволинейных трапеций, то есть: . Тогда площадь всей трапеции приблизительно будет равна:

, где (*).

Сумма вида (*) называется интегральной суммой.

С увеличением числа таких прямоугольников погрешность в определении площади будет уменьшаться. Поэтому за точное значение площади криволинейной трапеции можно принять предел интегральной суммы при , при условии, что все : , где (**).

Если предел интегральной суммы равен числу, не зависящему ни от способа разбиения отрезка на более мелкие, ни от способа выбора точек , то это число называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается так: .

Таким образом: Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, когда шаг разбиения стремится к нулю.

Числа и соответственно называются нижней и верхней границами (пределами) интегрирования.

Отрезок называется областью интегрирования.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной на отрезке кривой , численно равна определенному интегралу от функции по этому отрезку: .

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Выражение читается так: «Определенный интеграл от до от на ».

Замечание 1. Если пределы интегрирования константы, то определенный интеграл является числом.

Замечание 2. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

.

Замечание 3. (Теорема существования определенного интеграла). Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема, то есть для нее существует определенный интеграл.

Так же определенный интеграл существует и для ограниченных функций, терпящих на отрезке конечное число разрывов.

6.2. Свойства определенного интеграла.

Определенный интеграл обладает следующими свойствами.

1. При перестановке пределов интегрирования местами определенный интеграл меняет свой знак на противоположный: .

Следствие. Определенный интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю: .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: , где - константа.

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

.

4. Если на отрезке интегрирования подынтегральные функции удовлетворяют неравенству:

, то этому же неравенству удовлетворяют и определенные интегралы от этих функций: .

Следствие. Если на отрезке интегрирования функция ,то и сам интеграл , при этом, если хотя бы в одной точке , то и сам интеграл .

Если на отрезке интегрирования функция ,то и сам интеграл , при этом, если хотя бы в одной точке , то и сам интеграл .

5. Если отрезок интегрирования разбит на несколько частей, например, , то определенный интеграл по отрезку равен сумме интегралов по отрезкам разбиения: .

6. Если подынтегральная функция на всем отрезке интегрирования, то значение определенного интеграла дает величину длины отрезка интегрирования .

, где - длина отрезка интегрирования .

7. Если подынтегральная функция на отрезке интегрирования имеет наибольшее и наименьшее значения, то есть , то справедливо: .

Свойство носит название оценочного, так как позволяет приближенно оценить значение определенного интеграла, не прибегая к его вычислению.

8. Определенный интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке отрезка интегрирования на длину этого отрезка: , где .

Свойство 8 носит название теоремы о среднем, а значение функции называется ее средним значением на отрезке интегрирования .

6.3. Формула Ньютона-Лейбница. Способы вычисления определенного интеграла.

Почти одновременно двумя математиками Ньютоном и Лейбницем независимо друг от друга была доказана формула, носящая их имя: , где любая первообразная подынтегральной функции.

Замечание 1. Формула Ньютона-Лейбница выведена для непрерывной подынтегральной функции.

Замечание 2. Нахождение первообразной подынтегральной функции может производиться путем взятия соответствующего неопределенного интеграла. Таким образом, формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислять определенный интеграл с помощью неопределенного и использовать все методы, рассмотренные в разделе «Неопределенный интеграл».

Замечание 3. При использовании метода подстановки или замены переменной для отыскания первообразной пределы интегрирования пересчитываются для новой переменной. После нахождения первообразной для новой переменной, пересчитанные пределы подставляются в найденную первообразную. Таким образом, обратной замены переменной делать не придется, так как результат будет получен сразу.

Замечание 4. Формула метода интегрирования по частям для определенного интеграла выглядит так:

. Пересчитывать пределы в этом случае не надо, так как замены переменной не происходит.

Пример 1. .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .

Пример 5.

.

Пример 6.

Пример 7. .

Пример 8.

Пример 9.

.

6.4. Интегрирование четных и нечетных функций на симметричном отрезке интегрирования.

Отрезок интегрирования называется симметричным, если пределы интегрирования равны по модулю, но имеют противоположные знаки: . Рассмотрим интеграл на симметричном отрезке:



.

Тогда:

1. Если - четная функция, то :

.

Таким образом, определенный интеграл от четной функции на симметричном отрезке равен удвоенному интегралу от этой функции на половинном отрезке.

2. Если - нечетная функция, то :

.

Таким образом, определенный интеграл от нечетной функции на симметричном отрезке равен нулю.

Замечание.Произведение двух функций, обладающих свойством четности- нечетности, также обладает этим свойством, при этом:

- четная х четная = четная

- нечетная х нечетная = четная

- нечетная х четная = четная х нечетная = нечетная

Пример 10. .

Пример 11.

6.5. Несобственные интегралы.

6.5.1. Несобственные интегралы первого рода (c бесконечными пределами интегрирования).

Предположим, что область интегрирования является бесконечной, например, правая граница равна бесконечности: . Тогда, если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом первого рода и обозначается так: . Таким образом: (1).

При конечном пределе несобственный интеграл сходится. Если же конечного предела нет, то интеграл расходится.

Аналогично определяются интегралы от других бесконечных интервалов: и :

(2).

, то есть:

(3).

В последнем случае (3) интеграл сходится, если сходятся оба интеграла - слагаемых.

Пример 12.

. Интеграл сходится.

Пример 13.

. Интеграл сходится.

Пример 14.

. Интеграл расходится.

6.5.2. Несобственные интегралы второго рода (от разрывных функций).

Пусть функция непрерывна на интервале , а в точке терпит разрыв. Тогда, если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода: (4).

При конечном пределе несобственный интеграл сходится. Если же конечного предела нет, то интеграл расходится.

Если функция терпит разрыв в точке , то аналогично: (5).

Если функция терпит разрыв в некоторой внутренней точке области интегрирования , то:

, то есть:

(6).

В последнем случае (6) интеграл сходится, если сходятся оба интеграла- слагаемых.

Пример 15.

. Интеграл сходится.

6.5.3. Признаки сходимости несобственных интегралов.

1. Если на интервале функции и непрерывны и удовлетворяют неравенству , тогда:

а) если интеграл сходится, то интеграл также сходится; то есть, если сходится интеграл от большей функции, то сходится и интеграл от меньшей функции.

б) если интеграл расходится, то интеграл также расходится; то есть, если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится и интеграл от большей функции.

2. Если интеграл сходится, то интеграл также сходится; то есть, если сходится интеграл от модуля функции, то сходится интеграл и от самой функции.

3. Если функции и на интервале непрерывны и удовлетворяют неравенству , а в точке терпят разрыв, тогда:

а) если интеграл сходится, то интеграл также сходится; то есть, если сходится интеграл от большей функции, то сходится и интеграл от меньшей функции.

б) если интеграл расходится, то интеграл также расходится; то есть, если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится и интеграл от большей функции.

4. Если функция терпит разрыв на отрезке , а интеграл сходится, то интеграл также сходится; то есть, если сходится интеграл от модуля функции, то сходится интеграл и от самой функции.

6.6. Задание №14 на практические занятия и самостоятельную работу.

Решить самостоятельно на занятии: Б.П.Демидович. «Задачи и упражнения по математическому анализу». В задачнике Демидовича Б.П. есть краткая теория и разобранные примеры.

Вычислить определенные интегралы:

№1514. . №1521. . №1527. . №1528. .

№1534. . №1577. , решить заменой .

№1583. , решить заменой . №1588. .

№1600. . №1603. . №1540. . №1550. .

№1554. . №1557. . №1563. .

Ответы:

№1514. . №1521. . №1527. . №1528. . №1534. .

№1577. . №1583. . №1588. . №1600. . №1603. .

№1540. . №1550. . №1554. . №1557.Расходится. №1563. .

Решить дома: Г.Н.Берман. «Сборник задач по курсу математического анализа». № 2231, 2239, 2242, 2251, 2252, 2260, 2264, 2276, 2279; 2328; 2330; 2366, 2369, 2394, 2397. Ответы в конце задачника.