Определенный интеграл. 1_Опред_Инт_Лек_14. Лекция 14. Определенный интеграл
![]()
|
Лекция 14. 6. Определенный интеграл. 6.1. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл. Рассмотрим фигуру, ограниченную кривой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При этом функция ![]() ![]() ![]() Пусть требуется вычислить площадь криволинейной трапеции. Для этого основание ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если заменить каждую из этих трапеций с основанием ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Сумма вида (*) называется интегральной суммой. С увеличением числа таких прямоугольников погрешность в определении площади будет уменьшаться. Поэтому за точное значение площади криволинейной трапеции можно принять предел интегральной суммы при ![]() ![]() ![]() ![]() Если предел интегральной суммы равен числу, не зависящему ни от способа разбиения отрезка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом: Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, когда шаг разбиения стремится к нулю. Числа ![]() ![]() Отрезок ![]() Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной на отрезке ![]() ![]() ![]() ![]() В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла. Выражение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Замечание 1. Если пределы интегрирования константы, то определенный интеграл является числом. Замечание 2. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: ![]() Замечание 3. (Теорема существования определенного интеграла). Всякая непрерывная на отрезке ![]() Так же определенный интеграл существует и для ограниченных функций, терпящих на отрезке ![]() 6.2. Свойства определенного интеграла. Определенный интеграл обладает следующими свойствами. 1. При перестановке пределов интегрирования местами определенный интеграл меняет свой знак на противоположный: ![]() Следствие. Определенный интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю: ![]() 2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: ![]() ![]() 3. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых: ![]() 4. Если на отрезке интегрирования ![]() ![]() ![]() Следствие. Если на отрезке интегрирования ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если на отрезке интегрирования ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5. Если отрезок интегрирования ![]() ![]() ![]() ![]() 6. Если подынтегральная функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 7. Если подынтегральная функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Свойство носит название оценочного, так как позволяет приближенно оценить значение определенного интеграла, не прибегая к его вычислению. 8. Определенный интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке отрезка интегрирования ![]() ![]() ![]() Свойство 8 носит название теоремы о среднем, а значение функции ![]() ![]() 6.3. Формула Ньютона-Лейбница. Способы вычисления определенного интеграла. Почти одновременно двумя математиками Ньютоном и Лейбницем независимо друг от друга была доказана формула, носящая их имя: ![]() ![]() Замечание 1. Формула Ньютона-Лейбница выведена для непрерывной подынтегральной функции. Замечание 2. Нахождение первообразной подынтегральной функции может производиться путем взятия соответствующего неопределенного интеграла. Таким образом, формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислять определенный интеграл с помощью неопределенного и использовать все методы, рассмотренные в разделе «Неопределенный интеграл». Замечание 3. При использовании метода подстановки или замены переменной для отыскания первообразной пределы интегрирования пересчитываются для новой переменной. После нахождения первообразной для новой переменной, пересчитанные пределы подставляются в найденную первообразную. Таким образом, обратной замены переменной делать не придется, так как результат будет получен сразу. Замечание 4. Формула метода интегрирования по частям для определенного интеграла выглядит так: ![]() Пример 1. ![]() Пример 2. ![]() Пример 3. ![]() Пример 4. ![]() Пример 5. ![]() ![]() Пример 6. ![]() Пример 7. ![]() ![]() Пример 8. ![]() Пример 9. ![]() ![]() ![]() 6.4. Интегрирование четных и нечетных функций на симметричном отрезке интегрирования. Отрезок интегрирования называется симметричным, если пределы интегрирования равны по модулю, но имеют противоположные знаки: ![]() ![]() ![]() Тогда: 1. Если ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, определенный интеграл от четной функции на симметричном отрезке равен удвоенному интегралу от этой функции на половинном отрезке. 2. Если ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, определенный интеграл от нечетной функции на симметричном отрезке равен нулю. Замечание.Произведение двух функций, обладающих свойством четности- нечетности, также обладает этим свойством, при этом: - четная х четная = четная - нечетная х нечетная = четная - нечетная х четная = четная х нечетная = нечетная Пример 10. ![]() Пример 11. ![]() 6.5. Несобственные интегралы. 6.5.1. Несобственные интегралы первого рода (c бесконечными пределами интегрирования). Предположим, что область интегрирования является бесконечной, например, правая граница равна бесконечности: ![]() ![]() ![]() ![]() При конечном пределе несобственный интеграл сходится. Если же конечного предела нет, то интеграл расходится. Аналогично определяются интегралы от других бесконечных интервалов: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В последнем случае (3) интеграл сходится, если сходятся оба интеграла - слагаемых. Пример 12. ![]() ![]() Пример 13. ![]() ![]() Пример 14. ![]() ![]() 6.5.2. Несобственные интегралы второго рода (от разрывных функций). Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При конечном пределе несобственный интеграл сходится. Если же конечного предела нет, то интеграл расходится. Если функция терпит разрыв в точке ![]() ![]() Если функция терпит разрыв в некоторой внутренней точке ![]() ![]() ![]() ![]() В последнем случае (6) интеграл сходится, если сходятся оба интеграла- слагаемых. Пример 15. ![]() ![]() 6.5.3. Признаки сходимости несобственных интегралов. 1. Если на интервале ![]() ![]() ![]() ![]() а) если интеграл ![]() ![]() б) если интеграл ![]() ![]() 2. Если интеграл ![]() ![]() 3. Если функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() а) если интеграл ![]() ![]() б) если интеграл ![]() ![]() 4. Если функция ![]() ![]() ![]() ![]() 6.6. Задание №14 на практические занятия и самостоятельную работу. Решить самостоятельно на занятии: Б.П.Демидович. «Задачи и упражнения по математическому анализу». В задачнике Демидовича Б.П. есть краткая теория и разобранные примеры. Вычислить определенные интегралы: №1514. ![]() ![]() ![]() ![]() №1534. ![]() ![]() ![]() №1583. ![]() ![]() ![]() №1600. ![]() ![]() ![]() ![]() №1554. ![]() ![]() ![]() Ответы: №1514. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() №1577. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() №1540. ![]() ![]() ![]() ![]() Решить дома: Г.Н.Берман. «Сборник задач по курсу математического анализа». № 2231, 2239, 2242, 2251, 2252, 2260, 2264, 2276, 2279; 2328; 2330; 2366, 2369, 2394, 2397. Ответы в конце задачника. |