Дирихле есебі. Дирихле есебі 2 2 Дирихле

• Название: Дирихле есебі 2 2 Дирихле
• Дата: 27.04.2022
• Размер: 1.22 Mb.
• Имя файла: Дирихле есебі.pptx
• Тип: Документы; #501042

Дирихле есебі

2

+

2

+

Дирихле

Математикалық физикада Дирихле принципі потенциалдық теорияға сілтеме жасайды және келесідей тұжырымдалады:егер u(x) функциясы Пуассон теңдеуінің шешімі болса:

облысында шекаралық шарты бойынша u=g шекарасында , онда u вариациялық есептің шешімі ретінде табылуы мүмкін: минимумды табу.

барлық екі рет дифференциалданатын функциялардың арасында v, ​​Ω шекарасында v = g болатындай.

Бұл тұжырымды неміс математигі Дирихле тұжырымдаған (бірақ дәлелденбеген). Карл Вейерштрасс Дирихле принципінің кейбір жағдайларда қате екенін көрсетті; кейінірек оны қолдану шарттарын Бернхард Риман, Анри Пуанкаре, Дэвид Гильберт және басқа математиктер нақтылады.

Бiртектi денеде температураның тұрақталып таралуы

• Бiртектi Т денесi σ бетiмен шектелген болсын дейiк. Дененiң

әртүрлi нүктелерiндегi температура

теңдеуiн қанағаттандырады. Егер температура уақыттан тәуелсiз болса, яғни , онда дененiң температурасы Лаплас теңдеуiн

қанағаттандырады.

Осы теңдеуден дененiң температурасы бiр мәндi анықталуы үшiн σ бетiндегi температураны бiлу керек. Сондықтан Лаплас теңдеуі үшiн шеттiк есеп былай қойылады:

 

Дирихле есебi (бiрiншi шеттiк есеп)

4

Берiлген Т облысында гармоникалық функция болатын, тұйық

облысында үзiлiссiз және облыстың σ шекарасында берiлген үзiлiссiз функциясына тең, яғни

шартын қанағаттандыратын u(M) функциясын табу керек. Егер

температураның таралуы жазықтықтағы С контуры мен D облысында қарастырылатын болса, онда теңдеуiн

қанағаттандыратын және С контурында ψ(𝑀) функциясына тең u(x,y) функциясын табу керек.

 

2

+

Жартылай кеңістік үшін Дирихле есебі. Шектік есебінің шешімін табу керек.

Бұл есепте Σ кеңістікті шексіздікте тұйықталанатын z=0 жазықтығы ретінде қарастыруға болады. Грин функциясын табу үшін электростатикалық аналогияны қолданамыз.

Егер q нүктелік заряд өткізгіш жерге тұйықталған z=0 жазықтығы жанында орналасса, онда нүктесіне -q теріс заряд орналастырып z>0 облысында электростатикалық өрістің потенциалын табуға болады.

Ізделінді потенциал q және -q зарядтар потенциалдарының қосындысына тең болғандықтан, Грин функциясын келесі түрде анықтаймыз:

Мұндағы:

Σ кеңістігінде r1=r болады, сондықтан

Енді Σ кеңістігіне сыртқы нормаль бойынша функциясының туындысын аламыз:

Онда жартылай кеңістік үшін Дирихле есебінің шешімі:

теңдеудін оң жағындағы интеграл жартылай кеңістік үшін Пуассон интегралы деп аталады.