Эволюция геометрии. В чем заключаются основные идеи, сформулированные Риманом в работе О гипотезах лежащих в основании геометрии В 1854 г. Риман в своей диссертации О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии
 Скачать 17.26 Kb.
|
|
В чем заключаются основные идеи, сформулированные Риманом в работе «О гипотезах лежащих в основании геометрии»? В 1854 г. Риман в своей диссертации «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» дал глубокое и богатое по содержанию обобщение идей Гаусса и Лобачевского. В этой работе он впервые дал построение n-мерного аналитического пространства, связал вопрос о движении с вопросом о постоянстве кривизны пространства, дал образец взаимного проникновения и органического слияния геометрии и анализа. Как один из частных результатов, Риманом была получена так называемая эллиптическая геометрия, отличная от геометрий Евклида и Лобачевского, в которой через точку, лежащую вне прямой, не проходит ни одной параллельной к этой прямой и все прямые замкнуты. Риман определил общее понятие n-мерного многообразия и его метрику в виде произвольной положительно определенной квадратичной формы. Далее Риман обобщил гауссову теорию поверхностей на многомерный случай; при этом впервые появился тензор кривизны и другие понятия римановой геометрии. Существование метрики, по Риману, объясняется либо дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи — здесь он предвосхитил общую теорию относительности. Риман также высказал предположение, что геометрия в микромире может отличаться от трехмерной евклидовой. В другом месте этой же работы Риман указал, что допущения евклидовой геометрии должны быть проверены также «в сторону неизмеримо большого», то есть в космологических масштабах. Обобщив результаты К. Гаусса по внутренней геометрии поверхностей, Риман сформулировал понятие линейного элемента, так называемого дифференциала расстояния между точками многообразия. Главным достижением ученого Римана стало создание новой геометрии. Назовите еще элементарные неевклидовы геометрии, созданные в XIX веке. Кто их создатели? В чем основное отличие этих неевклидовых геометрий от геометрий Лобачевского? Первым, кто допустил возможность существования неевклидовой геометрии, в которой пятый постулат заменяется его отрицанием, был великий немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс. Гаусс еще раз высказал убеждение, что постулат о параллельных не может быть выведен из других аксиом Евклида. Он не оставил полного дедуктивного изложения своей теории. Независимо от Лобачевского и Гаусса к открытию неевклидовой геометрии пришел венгерский математик Янош Бояи (1802-1860). И Бойяи, и Лобачевский рассматривали одно трехмерное пространство, и широко использовали поверхность, свойственную этому пространству, орисферу. Орисфера — это «сфера с центром в бесконечности», и это не гиперболическая плоскость. Охарактеризуйте историю возникновения и развития многомерной геометрии? Многомерная геометрия – это геометрия объемности. Сама геометрия зародилась в Египте, затем пришла и в Элладу. Многомерная геометрия — геометрия пространств размерности, большей трех. Термин применяется к тем пространствам, геометрия которых была первоначально развита для случая трех измерений и только потом обобщена на большее число измерений. Исторически представление о более чем трехмерном пространстве зарождалось постепенно, первоначально на почве геометрического представления степеней: а2 — "квадрат", а3 — "куб", но а4, а5 и так далее уже не имеют наглядного представления, поэтому говорили, что а4 — "биквадрат", а5 — "кубо-квадрат" и так далее. Евклидова геометрия — система геометрии, основанная на аксиомах, сформулированных в книге Евклида "Начала". Исходя из набора самоочевидных положений (аксиом) и пользуясь жесткой логикой, Евклид пришел к ряду важных результатов. Его выводы считались абсолютной истиной в применении к физическому миру на протяжении почти 2000 лет. Только в XIX в. было показано, что аксиомы Евклида не являются универсальными и верны не во всяких обстоятельствах. Обычно относится к двум или трём измерениям, хотя можно говорить о многомерном евклидовом пространстве. В Началах собраны все геометрические сведения, полученные трудами десятков математиков античности, живших до Евклида. Этот труд, состоящий из тридцати томов, на два тысячелетия стал единственным учебником, по которому можно было изучить геометрию. И Начала прекрасно описывают пространство, в котором мы живем, благодаря чему эту геометрию (как и пространство) назвали Евклидовой. Основные открытия геометрических систем, в которых аксиомы Евклида не верны, были сделаны Николаем Ивановичем Лобачевским и Георгом Риманом. О них говорят как о создателях неевклидовой геометрии. Наиболее поразительной чертой неевклидовой геометрии является тот факт, что две прямые линии, параллельные в одной части пространства, могут пересечься в другой Геометрия Лобачевского описывает не плоское пространство, как это делает геометрия Евклида, а оперирует понятиями гиперболического пространства. |