Дискретная математика(соответствия). Дискретная математика Соответствия Основные определения
![]()
|
![]() Дискретная математикаСоответствия |
![](img1.jpg)
Основные определения Пример 1. Экзаменационная ведомость устанавливает следующее соответствие : А={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Синицын, Васечкин, Макарова}.
В={2, 3, 4, 5}.
Иванов – 4 Петров – 2 Сидоров – 3 Конев – 4 Синицын на экзамен не явился Васечкин – 3 Макарова – 5 G АВ, G-соответствие между студентами и оценками
![](img2.jpg)
Основные определения G={(Иванов, 4), (Петров, 2), (Сидоров, 3), (Конев, 4), (Васечкин, 3), (Макарова, 5)}. Область определения соответствия G – пр1G={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Васечкин, Макарова}. Область значений соответствия G – пр2G={2, 3, 4, 5}.
![](img3.jpg)
Основные определения В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
![](img4.jpg)
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
![](img5.jpg)
Свойства соответствий
![](img6.jpg)
Свойства соответствий
![](img7.jpg)
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
![](img8.jpg)
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
![](img9.jpg)
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
![](img10.jpg)
Функции и отображения тип
![](img11.jpg)
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
![](img12.jpg)
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
![](img13.jpg)
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
![](img14.jpg)
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
![](img15.jpg)
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
А={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Синицын, Васечкин, Макарова}.
В={2, 3, 4, 5}.
Петров – 2 Сидоров – 3 Конев – 4 Синицын на экзамен не явился Васечкин – 3 Макарова – 5 G АВ, G-соответствие между студентами и оценками
![](img2.jpg)
Основные определения G={(Иванов, 4), (Петров, 2), (Сидоров, 3), (Конев, 4), (Васечкин, 3), (Макарова, 5)}. Область определения соответствия G – пр1G={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Васечкин, Макарова}. Область значений соответствия G – пр2G={2, 3, 4, 5}.
![](img3.jpg)
Основные определения В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
![](img4.jpg)
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
![](img5.jpg)
Свойства соответствий
![](img6.jpg)
Свойства соответствий
![](img7.jpg)
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
![](img8.jpg)
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
![](img9.jpg)
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
![](img10.jpg)
Функции и отображения тип
![](img11.jpg)
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
![](img12.jpg)
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
![](img13.jpg)
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
![](img14.jpg)
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
![](img15.jpg)
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
Конев – 4 Синицын на экзамен не явился Васечкин – 3 Макарова – 5 G АВ, G-соответствие между студентами и оценками
![](img2.jpg)
Основные определения G={(Иванов, 4), (Петров, 2), (Сидоров, 3), (Конев, 4), (Васечкин, 3), (Макарова, 5)}. Область определения соответствия G – пр1G={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Васечкин, Макарова}. Область значений соответствия G – пр2G={2, 3, 4, 5}.
![](img3.jpg)
Основные определения В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
![](img4.jpg)
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
![](img5.jpg)
Свойства соответствий
![](img6.jpg)
Свойства соответствий
![](img7.jpg)
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
![](img8.jpg)
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
![](img9.jpg)
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
![](img10.jpg)
Функции и отображения тип
![](img11.jpg)
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
![](img12.jpg)
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
![](img13.jpg)
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
![](img14.jpg)
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
![](img15.jpg)
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
Васечкин – 3 Макарова – 5 G АВ, G-соответствие между студентами и оценками
![](img2.jpg)
Основные определения G={(Иванов, 4), (Петров, 2), (Сидоров, 3), (Конев, 4), (Васечкин, 3), (Макарова, 5)}. Область определения соответствия G – пр1G={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Васечкин, Макарова}. Область значений соответствия G – пр2G={2, 3, 4, 5}.
![](img3.jpg)
Основные определения В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
![](img4.jpg)
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
![](img5.jpg)
Свойства соответствий
![](img6.jpg)
Свойства соответствий
![](img7.jpg)
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
![](img8.jpg)
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
![](img9.jpg)
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
![](img10.jpg)
Функции и отображения тип
![](img11.jpg)
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
![](img12.jpg)
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
![](img13.jpg)
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
![](img14.jpg)
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
![](img15.jpg)
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
G АВ, G-соответствие между студентами и оценками
![](img2.jpg)
Основные определения G={(Иванов, 4), (Петров, 2), (Сидоров, 3), (Конев, 4), (Васечкин, 3), (Макарова, 5)}. Область определения соответствия G – пр1G={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Васечкин, Макарова}. Область значений соответствия G – пр2G={2, 3, 4, 5}.
![](img3.jpg)
Основные определения В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
![](img4.jpg)
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
![](img5.jpg)
Свойства соответствий
![](img6.jpg)
Свойства соответствий
![](img7.jpg)
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
![](img8.jpg)
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
![](img9.jpg)
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
![](img10.jpg)
Функции и отображения тип
![](img11.jpg)
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
![](img12.jpg)
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
![](img13.jpg)
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
![](img14.jpg)
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
![](img15.jpg)
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
![](img2.jpg)
Область определения соответствия G – пр1G={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Васечкин, Макарова}. Область значений соответствия G – пр2G={2, 3, 4, 5}.
![](img3.jpg)
Основные определения В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
![](img4.jpg)
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
![](img5.jpg)
Свойства соответствий
![](img6.jpg)
Свойства соответствий
![](img7.jpg)
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
![](img8.jpg)
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
![](img9.jpg)
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
![](img10.jpg)
Функции и отображения тип
![](img11.jpg)
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
![](img12.jpg)
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
![](img13.jpg)
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
![](img14.jpg)
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
![](img15.jpg)
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
Область значений соответствия G – пр2G={2, 3, 4, 5}.
![](img3.jpg)
Основные определения В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
![](img4.jpg)
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
![](img5.jpg)
Свойства соответствий
![](img6.jpg)
Свойства соответствий
![](img7.jpg)
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
![](img8.jpg)
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
![](img9.jpg)
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
![](img10.jpg)
Функции и отображения тип
![](img11.jpg)
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
![](img12.jpg)
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
![](img13.jpg)
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
![](img14.jpg)
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
![](img15.jpg)
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
![](img3.jpg)
В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
![](img4.jpg)
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
![](img5.jpg)
Свойства соответствий
![](img6.jpg)
Свойства соответствий
![](img7.jpg)
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
![](img8.jpg)
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
![](img9.jpg)
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
![](img10.jpg)
Функции и отображения тип
![](img11.jpg)
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
![](img12.jpg)
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
![](img13.jpg)
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
![](img14.jpg)
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
![](img15.jpg)
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
![](img4.jpg)
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
![](img5.jpg)
![](img6.jpg)
![](img7.jpg)
Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
![](img8.jpg)
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией.Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
![](img9.jpg)
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
![](img10.jpg)
Функции и отображения тип
![](img11.jpg)
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
![](img12.jpg)
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
![](img13.jpg)
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
![](img14.jpg)
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
![](img15.jpg)
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
![](img9.jpg)
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
![](img10.jpg)
Функции и отображения тип
![](img11.jpg)
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
![](img12.jpg)
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
![](img13.jpg)
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
![](img14.jpg)
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
![](img15.jpg)
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
![](img10.jpg)
Функции и отображения тип
![](img11.jpg)
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
![](img12.jpg)
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
![](img13.jpg)
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
![](img14.jpg)
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
![](img15.jpg)
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
тип
![](img11.jpg)
![](img12.jpg)
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов.Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
![](img13.jpg)
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
![](img14.jpg)
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
![](img15.jpg)
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
![](img13.jpg)
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
![](img14.jpg)
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
![](img15.jpg)
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
![](img14.jpg)
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
![](img15.jpg)
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
![](img15.jpg)
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
![](img15.jpg)
Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
![](img16.jpg)
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
![](img16.jpg)
N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
M2n-1 N;
M2n-1=N.
![](img17.jpg)
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
![](img18.jpg)
Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
N Z;
N=Z.
![](img19.jpg)
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
![](img20.jpg)
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
![](img21.jpg)
(а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
![](img22.jpg)
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно.Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
![](img23.jpg)
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)
![](img23.jpg)
Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
![](img24.jpg)