Доклад основная теорема арифметики. основная теорема аифметики. Доклад по дисциплине Математика
 Скачать 36.82 Kb.
|
|
КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «АЛТАЙСКИЙ ПРОМЫШЛЕННО – ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Доклад по дисциплине «Математика» Тема: «Основная теорема арифметики» Выполнила: студентка группы 9Бд211, Баркалова Регина Проверила: Садова М.И Оценка Барнаул 2021 Содержание Введение……………………………………………………………………………..3 1 Основная теорема арифметики. Каноническое разложение……………………………………….……………………………….….5 2. . Две вспомогательные теоремы для доказательства основной теоремы арифметики…………………………………………………………………………...6 3 Основная теорема арифметики....…………………………………………….…...7 4.Заключение…………………………………………………………………………8 Список используемых источников………………………………………...………..9 Введение Мы привыкли считать очевидным следующее свойство натуральных чисел: каждое натуральное число единственным образом представляется в виде произведения простых чисел. Это утверждение часто называют основной теоремой арифметики. На самом деле, основная теорема арифметики привычна, а не очевидна. Она может даже перестать быть верной, если оставить только часть натуральных чисел, или, наоборот, расширить множество натуральных чисел. Первое знакомство с математикой начинается с арифметики. Слово «арифметика» происходит от греческого «arithmos», что означается «число», то есть арифметика – это наука о числах и их свойствах. Принято считать, что арифметика предшествует алгебре, что это более элементарная часть математики. Междутем арифметика, если ее глубоко понимать как учение о свойствах чисел и о действиях над ними, – трудный и далеко не элементарный раздел математики. В таком общем понимании этот раздел принято называть «высшая арифметика» или «теория чисел». В первую очередь арифметика изучает свойства натуральных чисел 1, 2, 3, … Эти числа интересуют людей с древнейших времен. Многие утверждения в областитеории чисел, как и математики вообще, относятся не к отдельным объектам, а к целому классу объектов, имеющих какое-то общее свойство. Например, класс всех четных чисел 4, 6, 8, …, или класс чисел делящихся на 7, 7, 14, 21, 28, … В теории чисел особенно важную роль играет класс всех простых чисел. Очевидно, что многие натуральные числа можно представить в виде произведения меньших множителей: 15=3∙5,20=2∙2∙5, и т.д. Числа, которые таким образом не разлагаются, называются простыми. Точнее простым называется такое натуральное число, большее единицы, которое не имеет других делителей, кроме единицы и самого себя. Первые несколько простых чисел таковы: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … Число 1 по многим причинам не принято считать простым числом, несмотря на то, что оно не разложимо впроизведение меньших чисел. Считается, что 1=1 и есть разложение числа 1 в произведение простых чисел, причем число сомножителей в правой части равно 0. Значение класса простых чисел заключается в том, что каждое натуральное число, большее единицы, либо само является простым, либо разлагается в произведение простых: 420=2∙2∙3∙5∙7 При этом, если число достаточно велико, для нахождения его соответствующего разложения нужно иногда потратить немало времени. Тем не менее, во всех случаях мы это разложение при желании всегда устанавливаем. Процедура разложения на простые множители схематически изображается так: 4202101053571 | 22357 | Но может быть существуют и другие методы разложения? Возможно, они дадут другой результат разложения на простые множители. Например, если пытаться разложить данное число впроизведение двух меньших чисел (не обязательно взаимно простых), а затем каждое из них – в произведение меньших чисел и т.д., до тех пор, пока мы не придем к числам, уже не разложимым далее (то есть к простым). Однако уже из первого шага ясно, что такой процесс может быть неоднозначен. Например, для того же числа 420 имеем: 420=20∙21, 420=15∙28. 1. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение. Основная теорема арифметики: Любое натуральное число, отличное от 1, единственным образом (с точностью до порядка сомножителей) можно представить в виде произведения простых множителей. Каноническое разложение на множители: Из основной теоремы арифметики следует, что различные представления одного и того же составного числа в виде произведения простых чисел связаны только с различием в порядке множителей. Так, например, разложение числа 210 на простые множители может иметь вид 210=2*5*3*7 или 210=2*3*5*7. Для того чтобы избежать такой неоднозначности, принято записывать простые множители в порядке возрастания. При этом если встречаются одинаковые простые множители, то в записи для краткости используют обозначение степени. Такую упорядоченную запись назвали каноническим разложением натурального числа на простые множители. Например, каноническое разложение числа 210 имеет вид:210=2*3*5*7, а для числа 90 каноническое разложение таково:90=2*32*5. 2. Две вспомогательные теоремы для доказательства основной теоремы арифметики Согласно основной теореме арифметики, любое целое число, большее 1 1, может быть разложено на простые множители. Перед тем, как переходить к формулировке и доказательствам, запишем две теоремы, которые нам в этом помогут. Теорема 1: Любое положительное число a , не равное 1 , можно разделить на число p , если оно не является по отношению к a взаимно обратным числом. Доказательство 1: Докажем это утверждение. Наибольшим общим делителем двух чисел a и p будет p. Поскольку p является простым числом, то у него всего два положительных делителя - единица и оно само. Значит, наибольший общий делитель (НОД) a и p будет равен либо единице, либо p. Если мы возьмем случай с единицей, то получим, что a и p будут взаимно простыми числами. Во втором случае, если a можно разделить на НОД (a, p) , то a делится на p . Теорема 2: Если у нас есть произведение нескольких целых положительных множителей, не равных единице, которое можно разделить на число p , то на это же число можно разделить хотя бы один из множителей. Доказательство 2: Перейдем к доказательству. Согласно первой теореме, каждый множитель по отношению к p, либо является взаимно простым, либо может быть разделен на p . Если бы все множители были взаимно простыми с p, то данное произведение целиком было бы таким же, что следует из свойств взаимно простых чисел. Следовательно, на p можно разделить хотя бы один из множителей. 3. Основная теорема арифметики После того, как мы сформулировали две вспомогательные теоремы, мы можем перейти к основной теореме арифметики. Теорема 3: Любое целое число, большее единицы, может быть разделено на простые множители, причем это разложение будет единственным (изменение порядка следования множителей не в счет). Доказательство 3: Докажем данную теорему. Возьмем целое число a , которое будет больше 1 , и докажем, что его вообще можно разложить на множители. Возьмем наименьший положительный делитель данного числа, не равный единице, и обозначим p1 . Исходя из теоремы, доказательство которой мы приводили в статье о таблице простых чисел, данное число будет простым. Тогда, согласно определению делимости, должно существовать такое целое число, для которого a=p1·a1 . Если a1 будет больше 1 , то должно существовать число, являющееся его наименьшим простым делителем, значит, a1=p2·a2 и a=p1·p2·a2 . Проводим такие подсчеты до тех пор, пока у нас не получится a = 1 . Такой итог неизбежен, поскольку a, a1, a2, … является последовательностью целых чисел в убывающем порядке. Таким образом, число a всегда может быть разложено на простые множители вида: a=p1·p2·…·pn . Если показатель n будет равен единице, то у нас получится, что a=p1 . Это разложение подходит для простого числа. Теперь нам надо доказать, что подобное разложение будет единственным. Допустим, что помимо a = p 1 ⋅ p 2 ⋅ … ⋅ p n есть и другое разложение. Обозначим его a = q 1 ⋅ q 2 ⋅ … ⋅ q. Следовательно, в таком случае было бы справедливым равенство p 1 ⋅ p 2 ⋅ … ⋅ p n = q 1 ⋅ q 2 ⋅ … ⋅ q m. Докажем, что если n не равен m , то данное равенство будет невозможным, а при равенстве показателей эти произведения p 1 ⋅ p 2 ⋅ … ⋅ p n и q 1 ⋅ q 2 ⋅ … ⋅ q m будут тождественно равными. Мы можем разделить правую часть равенства на q . Тогда, согласно предыдущей теореме, у нас должен быть хотя бы один множитель из последовательности p 1 , p 2 , … , p n, который можно разделить на q 1. Например, предположим, что p 1 делится на q 1 , но поскольку оба этих числа являются простыми, то p1 делится на q только тогда, когда q 1 = p 1. Тогда мы можем сократить правую и левую часть равенства: p 1 ⋅ p 2 ⋅ … ⋅ p n = q 1 ⋅ q 2 ⋅ … ⋅ q на q 1 = p 1. Получаем, что p 2 ⋅ … ⋅ p n = q 2 ⋅ … ⋅ q. Повторяем те же действия с p 2 и q 2 и приходим к равенству p 3 ⋅ … ⋅ p n = q 3 ⋅ … ⋅ q m. Действуем так до тех пор, пока не сократим все множители. Если n не равен m, то у нас будет равенство 1 = q n + 1 ⋅ … ⋅ q m, и p m + 1 ⋅ … ⋅ p n = 1 pm+1·…·pn=1 . Для простых чисел они невозможны. Если же показатели равны друг другу, то мы придем к тождеству 1 = 1, что говорит нам о тождественном равенстве разложений a = p 1 ⋅ p 2 ⋅ … ⋅ p n и a = q 1 ⋅ q 2 ⋅ … ⋅q. На этом единственность разложения на простые множители можно считать доказанной. Подводя итоги, заметим, что основная теорема арифметики может также называться теоремой о разложении чисел на простые множители. 4.Заключение Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Исторически первыми появились натуральные числа, которые послужили основой формирования математики как науки. Основные свойства натуральных чисел описаны соответствующими законами арифметики, часть которых представлена в работе. Несмотря на длительный период существования роль данного типа чисел не исчерпана, а перешла в другой, теоретико-множественный аспект. Список используемых источников https://zaochnik.com – основная теорема арифметики [интернет ресурс]; https://ru.wikipedia.org/wiki/- Основная теорема арифметики[интернет ресурс] https://www.bibliofond.ru – [интернет ресурс] https://foxford.ru/wiki/matematika/osnovnaya-teorema-arifmetiki - [интернет ресурс] |