Математика. Лекция 1. Основные понятия и определения. Достоверные, невозможные и случайные
 Скачать 1.71 Mb.
|
|
Основные понятия и определения Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Событие названо случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. Событие будет рассматриваться как результат испытания. Под испытанием (опытом, экспериментом) понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. События обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита: А, В, С. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании, то есть во время одного опыта они не могут происходить одновременно. В противном случае события называются совместными. Элементы последовательности событий попарно несовместны, если любые два из них несовместны. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания кроме этих событий ничего не может произойти. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Предположим, что осуществляется какое – либо испытание, результатом которого является определенное событие. Определим вероятность этого события, то есть число, характеризующее степень возможности появления этого события. Каждый из возможных результатов испытания назовем элементарным исходом. Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой , где - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; - число всех возможных элементарных исходов испытания. Задача 1. Игральный кубик подбрасывают один раз. Какова вероятность, что выпадет четное число очков? Решение. Воспользуемся формулой . В нашей задаче благоприятные исходы – это числа 2, 4, 6, значит, число благоприятных исходов , число всех исходов Таким образом, . Задача 2. Из карточной колоды вытаскиваем одну карту. Какова вероятность, что это будет а) дама? б) пики? в) дама пик? Решение. Воспользуемся формулой . а) ; б) в) . Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства: Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Операции над событиями:
3. Отрицанием события называется событие (не А), заключающееся в ненаступлении события . 4. Если наступление события приводит к наступлению события и наоборот, наступление события влечёт наступление , то события и равны. Пример 3. Победитель соревнования награждается: призом (событие А), денежной премией (событие В), медалью (событие С). Что представляют собой события: а) ; б) ; в) ; г) ? Статистической вероятностью события называется относительная частота (частость) появления этого события в произведенных испытаниях, т.е. , где - статистическая вероятность события ; - относительная частота (частость) события ; - число испытаний, в которых появилось событие ; - общее число испытаний. В отличие от «математической» вероятности, рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной. Статистическое определение вероятности, как и понятия и методы теории вероятностей в целом, применимы не к любым событиям с неопределенным исходом, которые в житейской практике считаются случайными, а только к тем из них, которые обладают определенными свойствами.
Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота (частость) события изменяется незначительно (тем меньше, чем больше число испытаний), колеблясь около постоянного числа. Оказалось, что этим постоянным числом является вероятность события. 3. Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико, ибо только в этом случае можно считать вероятность события приближенно равной ее относительной частоте. Рассмотрим геометрические вероятности - вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.). Пусть отрезок составляет часть отрезка . На отрезок наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка , вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка . В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок определяется равенством . Пример 4. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошёл между 50-м и 55-м километрами линии? Решение. Используем геометрическое определение вероятности . Общему числу исходов соответствует участок длиной км, благоприятствующему количеству исходов соответствует участок длиной км. Таким образом: – вероятность того, что обрыв провода произошёл между 50-м и 55-м километрами линии. Пусть плоская фигура составляет часть плоской фигуры . На фигуру наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры , вероятность попадания брошенной точки на фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно , ни от формы . В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру определяется равенством . Пример 5. В круге радиуса 10 см находится прямоугольный треугольник с катетами 12 и 7 см. В круг наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник. Решение. Общему количеству исходов соответствует площадь круга: Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов: По условию поставленная в круг точка не должна попасть в треугольник, поэтому благоприятствующее число исходов выражается разностью По геометрическому определению: – вероятность того, что поставленная в круг точка не попадёт в треугольник. Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через , то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в область - часть области G, равна . Пример 6. Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 19.00 до 20.30. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй – 15 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой? Решение. Выясняем длительность временного промежутка, на котором может состояться встреча. В данном случае, это полтора часа или 90 минут. При этом здесь не имеют особого значения фактические временные рамки – погрузка автомобилей, может состояться, например, утром с 8.30 до 10.00, и решение будет точно таким же. Вычисления допустимо проводить как в долях часа, так и в минутах, но удобнее, в большинстве случаев, работать с минутами. На первом шаге изобразим прямоугольную систему координат, где в подходящем масштабе построим квадрат размером 90 на 90 единиц; при этом одна из вершин квадрата совпадает с началом координат, а его смежные стороны лежат на координатных осях. Общему множеству исходов будет соответствовать площадь данного квадрата: Далее по оси от начала координат откладываем время погрузки одного автомобиля (зелёная линия), а по оси – время погрузки другого автомобиля (красная линия): Теперь из правого конца зелёного отрезка и из верхнего конца красного отрезка под углом 45 градусов проводим две линии внутри квадрата (малиновые отрезки). Множеству благоприятствующих исходов (когда автомобили «пересекутся» во времени) соответствует площадь заштрихованной фигуры. То есть, нам необходимо найти площади двух прямоугольных треугольников с помощью формулы , где и – длины катетов. У нас: верхний треугольник имеет катеты длиной по 80 единиц, нижний треугольник – по 75 единиц. Таким образом, суммарная площадь треугольников составляет: Теперь из площади квадрата вычитаем площади треугольников, получая тем самым благоприятствующую площадь: По геометрическому определению: – вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой. Пример 7. В квадрат с вершинами наудачу брошена точка . Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству . Изобразим на чертеже искомый квадрат и прямую Общему множеству исходов соответствует площадь квадрата Прямая делит квадрат на треугольник и трапецию. Чтобы определить фигуру, которая удовлетворяет условию, нужно взять любую точку, не принадлежащую прямой , например, точку и подставить её координаты в неравенство: . Получено верное неравенство, значит, множеству благоприятствующих исходов соответствует площадь трапеции. Рассчитаем данную площадь как сумму площадей прямоугольного треугольника и прямоугольника: По геометрическому определению: – вероятность того, что координаты брошенной в данный квадрат точки удовлетворяют неравенству . |