Д_ріс №2. Та_ырыбы_ Ы_тималды_тарды _осу ж_не к_бейту теоремалар. Дріс 2. Таырыбы Ытималдытарды осу жне кбейту теоремалары. Толы ытималды формуласы. Бейес формуласы

• Название: Дріс 2. Таырыбы Ытималдытарды осу жне кбейту теоремалары. Толы ытималды формуласы. Бейес формуласы
• Дата: 09.03.2023
• Размер: 113.95 Kb.
• Имя файла: Д_ріс №2. Та_ырыбы_ Ы_тималды_тарды _осу ж_не к_бейту теоремалар.docx
• Тип: Документы; #976610

Дәріс №2.

Тақырыбы: «Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары. Толық ықтималдық формуласы. Бейес формуласы».
A және B оқиғалардың қосындысы немесе бірігуі деп A оқиғаның көрінуінен немесе B оқиғаның көрінуінен немесе екі оқиғаның көрінуінен тұратын оқиғаны айтады.
Оны



деп белгілейді, немесе




С= {барлық боялған бөлігі}
Мысалы.

Қарудан екі оқ атылған. A – бірінші атқандағы оқ тию, B- екінші атқандағы оқ тию. Онда A+B – бірінші атқандағы, екінші атқандағы немесе екі атқандағы оқ тию. Егер A және B – үйлесімсіз оқиғалар болса, онда A+B осы оқиғалардың біреуінің көрінуі, қайсысының екені бәрібір.

Ықтималдықтарды қосу теоремасы. Екі үйлесімсіз оқиғаның біреуінің көріну ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең.

.
Бірнеше үйлесімсіз оқиғалар үшін ықтималдықтарды қосу теоремасы:
.

Оқиғалардың толық тобы.
Салдар 1.

Егер A, B, C оқиғалары толық тобын құрайтын болса, онда олардың ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең.
Қарама - қарсы деп толық топ құрайтын тек қана екі мүмкін оқиғалар аталады.

Белгіленуі: A және .
Қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығы мынаған тең:
.
Салдар 2.

A және екі қарама-қарсы оқиғаның ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең.
Мысал.

Жәшікте 30 шарлар бар: 10 қызыл, 5 көк және 15 ақ. Кездейсоқ алынған шар боялған болатынының ықтималдығын табыңыз.

Шешуі:

Боялған шардың пайда болуы, не қызыл, не көк түсті шардың пайда болғанын білдіреді.

А оқиғасы арқылы – қызыл түсті шардың, ал В оқиғасы арқылы – көк түсті шардың пайда болуын белгілейміз. Сонда:
; .
А және В оқиғалары үйлесімсіз (бір түсті шардың пайда болуы, басқа түсті шардың пайда болуын жоққа шығарады), сондықтан бұл жағдайда қосу теоремасы қолданбалы:
.

Оқиғалардың көбейтіндісі.
А және В оқиғаларының көбейтіндісі немесе қиылысуы деп, осы екі оқиғаның бірігіп пайда болуынан тұратын АВ оқиғасын атайды.
,

немесе



деп белгіленеді.

Бірнеше оқиғалардың көбейтіндісі осы бойынша анықталады.
Мысалы.

A={жолаушы поездға билет сатып алды}, B={вагондағы өз орнына отырды}, C={поезд берілген вагонмен орнынан қозғалды}. Сонда
={жолаушы кетіп қалды}.

Шартты ықтималдықтар.
шартты ықтималдығы деп А оқиғасы пайда болды деп болжамдап есептелгендегі В оқиғасының ықтималдығын атайды.
Мысалы.

Урнада 3 ақ және 3 қара шар болды. Урнадағы шарларды екі рет бір-бірден кері орнына салмай шығарады. Егер бірінші тәжірибеде қара шар алып шыққан болса (А оқиғасы), екінші тәжірибеде ақ шар алып шығатындығының (В оқиғасы) ықтималдығын тап. Шешуі:

Бірінші тәжірибеден кейін урнада 5 шар қалды, олардың 3-уі ақ. Ізделінді шартты ықтималдық:

.

Ықтималдықтарды көбейту теоремасы.
Ықтималдықтарды көбейту теоремасы. Екі оқиғаның бірігіп пайда болуының ықтималдығы – олардың біреуінің, бірінші оқиға пайда болды деп ойда есептеп алынған екіншісінің шартты ықтималдығына көбейткенге тең:

.
А және В оқиғалары, екеуінің біреуінің ықтималдығы екіншісінің көрінуіне байланысты өзгермесе тәуелсіз деп аталады. Олай болмаған жағдайда олар тәуелді болар еді. Тәуелсіз оқиғаларға сонымен қатар В оқиғасының шартты ықтималдығы оның шартсыз ықтималдығына тең болатынын айтуға болады:

.


Тәуелсіз оқиғалары үшін көбейту теоремасы.
Үйлесімді оқиғалардың ықтималдықтарының қосу теоремасы.

Екі оқиға, егер бір тәжірибеде біреуінің пайда болуы екіншісінің пайда болуын жоққа шығармаса үйлесімді деп аталады.

Мысалы.

Ойын сүйегін лақтырғанда, A – 4 ұпайдың пайда болуы, В – тақ санды ұпайдың пайда болуы. А және В оқиғалары – үйлесімді.
Теорема. Екі үйлесімді оқиғаның ең болмаса біреуінің көріну ықтималдығы осы ықтималдықтардың қосындысынан олардың ықтималдықтарының үйлесімді көрінуін шегергенге тең:
.
Теорема. жиынында тәуелсіз оқиғалардың ең болмаса біреуінің көріну ықтималдығы 1 мен қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының көбейтіндісінің , айырмасына тең.

Егер оқиғаларының ықтималдықтары бірдей р –ға тең болса, онда бұл жағдайда
Мысалы:

Үш мерген нысанаға оқ атады. Бірінші мерген көздеген жерге оқ тию ықтималдығы 0,75 тең, екіншісінікі - 0,8, үшінсінікі - 0,9. а) үш мергеннің нысанаға тиюінің; б) ең болмаса бір мергеннің нысанаға тиюінің ықтималдығын тап.
Шешуі:

а)
A, B, C оқиғалары тәуелсіз, онда тәуелсіз оқиғалардың көбейту теоремасы бойынша:

.
б) (1-ші мергеннің тимеуінің ықтималдығы)
(2-ші мергеннің тимеуінің ықтималдығы)
(3-ші мергеннің тимеуінің ықтималдығы) яғни, , ,
.
Толық ықтималдық формуласы.
Мысалды қарастырайық.

Бірінші заводта әр 100 электр шамынан орта мәнімен алғанда 90 –стандартты, екіншісінен -95, үшіншісінен - 85 өндіріледі. Сәйкесінше берілген ауданның дүкеніне түсетін барлық электршамнан 50, 30 және 20% заводтың өнімін құрайды. Стандартты электршамының сатып алуға болатынының ықтималдығын табыңыз.

Шешуі:

Ізделінді оқиғаны A деп, ал бірінші, екінші және үшінші заводтарда шығарылған электршамының оқиғасын сәйкесінше , , деп белгілейік. Шарт бойынша мына оқиғалардың ықтималдығы белгілі: , , және олардың әрқайсысына қатысты А оқиғасының шартты ықтималдығы:
, , .
Бұл бірінші, екінші және үшінші заводтарда дайындалған стандартты электршамын сатып алу ықтималдығы.

A ізделінді оқиғасы,егер K оқиғасы – электршам бірінші заводта шығарылған және стандартты ( яғни В₁ және A), немесе L оқиғасы – электршам екінші заводта шығарылған және стандартты (яғни В₂ және A), M оқиғасы – электршам үшінші заводта шығарылған және стандартты (яғни В₃ және A).

Ықтималдықтарды қосу теоремасын пайдаланып, мынаны шығарамыз:
.
Ықтималдықтарды көбейту теоремасын пайдаланып, мынаны шығарамыз:

Қорытынды формула – толық ықтималдық формуласының дербес жағдайы болып табылады.

Теорема. Толық тобын құрайтын үйлесімсіз оқиғалардың біреуі көрінеді деген шартпен пайда болатын А оқиғасының ықтималдығы оның шартына сәйкес келетін осы оқиғалардың әрқайсысының ықтималдықтарының көбейтінділерінің қосындысына тең:
.
Бейес формуласы.
Берілген ауданның дүкеніне түсетін электршамының сапасы және саны алдындағы мысалда келтірілген шарттан анықталады. Электршамдардың шығару орнын және олардың ықтималдықтарын есептейтін мүмкін болжамдарды көрсетіңіз.
Стандартты болып шыққан электршам бірінші, екінші, үшінші заводтарда шығарылуы мүмкін.
, осыдан
,

мұндағы - толық ықтималдық формуласы.

Онда

.

.
Бейес формуласы:
.

Дәріс №1.

Тақырыбы: «Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары».
Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымы алғашқы рет шыққан жұмыстар өздігінен (Кардан, Гюйгенс, Паскаль, Ферма және басқа XVI-XVII ғ) азартты ойындардың шығару тәсіліне ұқсаған.

Ықтималдықтар теориясының келесі даму кезеңі Якоба Бернуллидің (1654-1705) атымен байланысты.

Ол дәлелдеген теорема содан соң «Үлкен сандар заңы» деген атқа ие болған және бұрынғы фактілердің алғашқы теориялық дәлелдеуі болды.

Келесі кезеңдегі ықтималдықтар теориясы Муавр, Лаплас, Гаусс, Пуассон және басқаларының арқасында жетістікке жетті. Ықтималдықтар теориясының дамуына және математика ғылымының құрылуына орыс ғалымдары және совет математиктері: П.Л. Чебышев (1821-1894), А.А. Марков (1856-1922), А. М. Ляпунов (1857-1918), А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко және т.б. үлес қосты.

Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарына оқиғалар ұғымы және оқиғаның ықтималдығы жатады.

Алдын ала болжауға болмайтын сынақ нәтижесін оқиға дейді.
Мысал 1.

Нысанаға бір атқанда келесі оқиғалар болуы мүмкін.

а) Нысанаға тию

ә) Тимеу
Оқиғаларды латын алфавитінің бас әріптерімен A,B,C деп белгілейді.

Ақиқат, мүмкін емес, және кездейсоқ оқиғалар бар.
Міндетті түрде орындалатын оқиғаны ақиқат деп атайды.
Мысал 2.

Жәшікте тек ақ шарлар бар. А оқиғасы ={бір шарды шығарғандағы ақ шардың шығуы} – ақиқат.
Қолайлы жағдайлардың болуына қарамастан орындалмайтын оқиғаларды мүмкін емес оқиғалар деп атайды.
Мысал 3.

Жәшікте тек ақ шарлар бар. В оқиғасы ={бір шарды шығарғандағы көк шардың шығуы} – мүмкін емес.
Тәжірибе нәтижесінде пайда болуы да мүмкін, пайда болмауы да мүмкін оқиғаларды кездейсоқ оқиғалар дейміз.
Мысал 4.

Тиынды лақтырғанда мынадай оқиғалар болуы мүмкін: оқиға A={тиын «герб» жағымен жоғары} және оқиға B={тиын «цифрлар» жағымен жоғары} түседі. А және В – кездейсоқ оқиғалар.
А және В оқиғалар үйлесімсіз деп аталады, егер бір тәжірибеде екеуі бірге көріне алмайтын болса.
А және В оқиғалар үйлесімді деп аталады, егер тәжірибеде біреуінің көрінуі екіншісінің көрінуіне кедергі болмаса.
Егер бірнеше оқиғалар өзара үйлесімсіз болып және тәжірибеде міндетті түрде біреуі көрінетін болса, ондай оқиғалар оқиғалардың толық тобын құрайды.
Мысал 5.

Мерген нысанаға оқ атады. Міндетті түрде келесі екі оқиғаның біреуі орындалады: тиеді, тимейді. Осы екі үйлесімсіз оқиғалар оқиғаның толық тобын құрайды.

Мысал қарастырайық.

Жәшікте 6 бірдей шарлар бар, оның 2-қызыл, 3-көк, 1-ақ.. Урнадан боялған (қызыл немесе көк ) шарлар алып шығатынының ықтималдығы, ақ шарлар алып шығуына қарағанда, артық. Осы мүмкіндікті санмен сипаттуға бола ма? Болады екен. Осы санды, боялған шардың шығуын, А оқиғасының ықтималдығы деп атайды. Берілген есепте элементар жағдайлардың барлығы 6-ға тең, А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны 5-ке тең.

Сондықтан, боялған шар болуының ықтималдығы тең:

Ықтималдықтың классикалық, статистикалық анықтамасы.
А оқиғасының ықтималдығы дегеніміз қолайлы жағдайлар санының толық топ құрайтын теңмүмкінді, үйлесімсіз барлық жағдайлар санына қатынасын атайды.
.

Бұл анықтаманы ықтималдықтың классикалық анықтамасы деп атайды.
Осы анықтамадан келесі қасиеттері шығады:

1) Ақиқат оқиғаның ықтималдығы 1-ге тең.

Өйткені, берілген жағдайда m=n,

.

2) Мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы 0-ге тең.

Өйткені, бұл оқиға мүмкін емес, бірде бір элементар жағдайлар оқиға ға қолайлы емес. Бұл жағдайда m=0,

.

3) Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы 0 мен 1-дің аралығында жататын оң санға тең.

.

Салыстырмалы жиілігі.
Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарының біріне ықтималдықпен қатар салыстырмалы жиілігі де кіреді.
Оқиғаның салыстырмалы жиілігі деп осы оқиғаның пайда болу санының жүргізілген тәжірибенің жалпы санына қатынасын атайды. Ол мына формуламен анықталады:
,
мұндағы m – оқиғаның пайда болу саны, n – тәжірибенің жалпы саны.

Мысал.

Нысанаға 35 оқ атылды, 21 оқ тию болды. Нысанаға тиюдің ықтималдығын табыңыз:
.
Кездейсоқ құбылыстардың орнықтылық қасиеті бар. Бұл қасиеті мынаны білдіреді: әр түрлі тәжірибелерде салыстырмалы жиілігінің аз өзгеруі, қандайда бір санның айналасында тербелуі. Осы тұрақты санды оқиғаның көріну ықтималдығы дейді.
Мысал.

Швед статистикасының берілгендері бойынша 1935 жылы қыз балдардың дүниеге келуінің салыстырмалы жиілігі айлар бойынша тең ( қаңтар айынан бастап айлардың орналасу тәртібі бойынша берілген):

0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Салыстырмалы жиілігі 0,482 санының айналасында болғандықтан, бұл санды қыз баланың дүниеге келуінің ықтималдығы деп жуықтап алуға болады.

Комбинаториканың негізгі формулалары.
Алмастыру деп айырмашылықтары орналасу тәртібінде болатын бірдей әртүрлі n элементтерден тұратын комбинацияларды атайды.
,
мұндағы
.,
0!=1 (анықтама бойынша) .
Мысал.

1,2,3, сандардан қанша үш таңбалы сандар құрастыруға болады, егер әр цифра санның бейнелуінде бір рет кездесетін болса?

Орналастыру деп бір-бірінен айырмашылығы элементтердің құрамы немесе олардың орналасу тәртібінде болатын m элементтері бойынша n әртүрлі элементтерден тұратын комбинацияларды атайды.

Мысалы.

1,2,3,4,5, сандардан қайталаусыз қанша үш таңбалы сандар құрастыруға болады.


Теру деп бір-бірінен айырмашылығы ең болмаса бір элементінде болатын, m элементтері бойынша n әртүрлі элементтерден тұратын комбинацияларды атайды.
Барлық терулердің саны:


Геометриялық ықтималдық.
Оқиғаның ықтималдығын есептеу үшін, ықтималдықтың классикалық анықтамасын пайдаланып, m және n сандарын анықтау қиындыққа түседі, сондықтан оқиғаның ықтималдығын есептеу үшін, мына формуланы
қолданбайды.
Осындай жағдайларда геометриялық ықтималдық ұғымын енгізеді, нүктенің берілген облысына (кесінді, жарты жазықтық, дененің бөлігіне) түсу ықтималдығын қарастырады.
Мысалы.

l кесіндісі L кесіндісінің бөлігін құрайды. Кездейсоқ L кесіндісіне нүкте лақтырылған. Нүктенің l кесіндісіне түсуінің ықтималдығы осы кесіндінің ұзындығына тәуелді және оның осы L кесіндісі арқылы орналасуына тәуелсіз болса, онда нүктенің l кесіндісіне түсуінің ықтималдығы мына теңдікпен анықталады.
.

g жазық фигурасы G жазық фигурасының бөлігін құрайды. G фигурасына кездейсоқ нүкте лақтырылған. Нүктенің g фигурасына түсуінің ықтималдығы осы фигураның ауданына тәуелді және оның осы G фигурасы арқылы орналасуына және g фигурасының түріне тәуелсіз болса, онда нүктенің g фигурасына түсуінің ықтималдығы мына теңдікпен анықталады.

Кеңістіктегі v денесі V денесінің бөлігін құрайтын болса, нүктенің түсу ықтималдығы осылай анықталады.

.
Мысалы.

Ұзындығы 20 см кесіндінің ішіне ұзындығы 10 см кіші кесінді орналастырылған. Үлкен кесіндіге кездейсоқ қойылған нүкте кіші кесіндіге түсетінің ықтималдығын тап. Нүктенің кесіндіге түсетінінің ықтималдығы кесіндінің ұзындығына пропорционал және оның орналасуына тәуелді емес.
Шешуі:

Формулаға сәйкес
.
Дәріс №3.

Тақырыбы: «Тәуелсіз тәжірибелер. Бернулли формуласы.»

«Лапластың локальдық және интегралдық теоремасы».
Бернулли формуласына әкелетін есепті қарастырайық.

Кездейсоқ алынған 5 бөлшектердің екеуі стандартты болатындығының ықтималдығын тап, егер әр бөлшектің стандартты болатынының ықтималдығы 0,9-ға тең болса.
Шешуі:

Кездейсоқ алынған шар стандартты деп болжамдап алынған А оқиғасының ықтималдығы /, оның стандартты емес екендігінің ықтималдығы . Ізделінді оқиға (оны В арқылы белгілейміз), егер алғашқы екі бөлшек стандартты, ал қалған үшеуі стандартты емес болса болады. В оқиғасы сонымен қатар, егер 1-ші және 3-ші бөлшектер стандартты, ал қалғаны стандартты емес болса да болады. В оқиғасының болуының басқа да мүмкіндіктері бар. Олардың бәрі де кездейсоқ алынған бесеуінің қандай да бір орын алатын екеуі стандартты болуымен сипатталады. Сондықтан, В оқиғасының орындалу мүмкіндіктерінің жалпы саны бесеуінен екеуі үйлесімді болғандағы санына тең, яғни: .

Ықтималдықтарды көбейту теоремасы бойынша әр мүмкіндіктің ықтималдығы бес көбейткіштің көбейтіндісіне тең, олардың екеуінің стандартты болатыны 0,9-ға, стандартты емес болатыны 0,1-ге тең, яғни ықтималдығын құрайды. Көрсетілген 10 мүмкіндіктер үйлесімсіз оқиға болғандықтан, деп белгіленген В оқиғасының ықтималдықтарын қосу теоремасы бойынша мынаған тең:
.
Есептің шешімінің қорытындысын осылай түрлендіруге болады:
Әр тәжірибеде А оқиғасы болатындығының р ықтималдығы тұрақты болса, n тәуелсіз тәжірибелерінде А оқиғасы дәл k рет болатынның ықтималдығы мына формула бойынша есептеледі: , Мұндағы .



ауыстырып, мынаны шығарамыз:

.
Мысал .

Тиын 8 рет лақтырылды. Оның 6 рет жалау жағымен төменге қарап түсетінінің ықтималдығы қандай?
Шешуі:

n=8, k=6, p=0,5, q=0,5
.

Егер тәжірибелер саны үлкен болса, ал тәжірибеде оқиғаның көріну ықтималдығы өте аз болса, онда жуық формуласын қолданады:

P_n(k)= ,

Мұндағы

,
k – тәуелсіз тәжірибелерде оқиғаның көріну саны. Берілген жағдайда кездейсоқ шама Пуассон заңы бойынша үлестірілген делінеді.
Лапластың локальдық және интегралдық теоремасы».

Лапластың локальдық теоремасы.
Лапластың локальдық теоремасы, егер тәжірибелер саны жеткілікті көп болса, n тәжірибелерде оқиғалардың дәл k рет болатындығының ықтималдығын жуықтап есептеуге мүмкіндік береді.

Лапластың локальдық теоремасы. Егер әр тәжірибеде А оқиғасы болатындығының р ықтималдығы тұрақты және ноль мен бірден айырмашылығы болса, n тәуелсіз тәжірибелерінде А оқиғасы дәл k рет болатынның ықтималдығы (қаншалықты n көп болса, соншалықты дәлірек) мынаған тең :

,

мұндағы

, .

x – тің оң мәндері үшін функциясының кестесі 1-қосымшада; теріс мәндері үшін де осы кестені пайдалануға болады, себебі функциясы - жұп, .
Мысалы,

152 тәжірибеде А оқиғасының 50 рет болуының ықтималдығын табыңыз, егер осы оқиғаның әр тәжірибеде болуының ықтималдығы 0,25-ке тең болса
Шешуі: Шарт бойынша: n=152, k=50, p=0,25, q=0,75.

n=152 жеткілікті үлкен сан болғандықтан, Лапластың локальдық теоремасын қолданайық:

,

мұнда

.

Есептейміз

.
1 қосымшадағы кесте бойынша .
Ізделінді ықтималдық:
.
Лапластың интегралдық теоремасы.
Лапластың интегралдық теоремасы. n тәуелсіз тәжірибелерінде, олардың әрқайсысындағы оқиғаның көрінуінің ықтималдығы p (0
-дан аз емес және -дан көп емес рет пайда болатындығының ықтималдығы шамамен мынаған тең:
, мұндағы ,

- Лаплас функциясы
Оң мәндер үшін Лаплас функциясының кестесі 2-ші қосымшада берілген, теріс мәндері үшін де осы кестені қолдануға болады, себебі Лаплас функциясы тақ:

.
Мысалы,

Бөлшектің тексерістен өтпегендігнің ықтималдығы p=0,2 –ге тең. 400 кездейсоқ алынған бөлшектердің 70 пен 100 аралығында тексерілмеген болатындығының ықтималдығын тап.
Шешуі: Шарт бойынша, p=0,2, q=0,8, n=400, , . Лапластың интегралдық теоремасын пайдаланайық:



және - ні есептеп шығарайық.




2-ші қосымшадағы кесте бойынша мынаны табамыз:
.
Ізделінді ықтималдық

.
Салыстырмалы жиеліктің тұрақты р ықтималдығынан абсолюттік шамасы бойынша берілген санынан аспайтындығының ықтималдығын табу мақсатын алға қояйық. Басқаша айта келсек, теңсіздікті орындау ықтималдығын табайық.


бұл ықтималдық мына формула бойынша табылады
.

Дәріс №4.

Тақырыбы: «Кездейсоқ шамалар. Кездейсоқ шамалардың үлестірім заңы. Дискретті кездейсоқ шамалар».

Кездейсоқ деп – тәжірибе қорытындысында қандай да бір мүмкін болатын мәндер қабылдай алатын айнымалыны атайды.
Кездейсоқ шамаларды X, Y, Z,… және басқа да бас әріптерімен, ал олардың қабылдайтын мәндерін сәйкесінше кіші әріптермен белгілейміз.

Дискретті шамалардың екі түрі болады: дискретті және үздіксіз.
Дискретті кездейсоқ шамалар: бұл кездейсоқ шамалардың мәндерінің бір бірінен айырмашылығы - қандай да бір соңғы шамада. Қабылдайтын мәндерінің саны ақырлы немесе есепті болса, Х кездейсоқ шамасы дискретті деп аталады.

Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірілу заңы.
Дискретті кездейсоқ шаманың барлық мүмкін болатын мәндерінің тізімі мен оларға сәйкес ықтималдықтары жазылған кестені дискретті кездейсоқ шаманың үлестірлу заңы деп атайды.
Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірлу заңы кесте түрінде беріледі, бірінші жол x_i, -мүмкін мәндері, ал екінші жол p_i-олардың ықтималдықтары:

x	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Мұндағы



Биномиалдық үлестіру.
Биноминалдық деп n тәуелсіз тәжірибелерде оқиғаның көріну саны, егер оқиғаның әрқайсысында оқиғаның пайда болу ықтималдығы p-ға тең болғандағы Х дискретті кездейсоқ шаманың үлестірілу заңын атайды; х=k (k-саны оқиғаның көрінуі) мүмкін мәндерінің ықтималдығы Бернулли формуласымен есептеледі:

P_n(k)=C ·p^k·q^{n- k}
Гипергеометриялық үлестірілу.
N бөлшектен тұратын партияның n – стандартты бөлшектері бар. m бөлшектер кездейсоқ таңдап алынған. Таңдап алынған бөлшектер арасында дәл k стандартты болатынының ықтималдығын табыңыз.

Шешуі:

Тәжірибелердегі мүмкін элементар қорытындыларының жалпы саны - N бөлшектен m бөлшек шығаруға болатын сәйкестіктер санына немесе - N элементі бойынша m элемент сәйкестік санына тең. Бізді қызықтыратын оқиғадағы қорытындылар санын есептейік ( m бұйымның ішінде k стандартты): тәсілімен n стандартты бөлшектерден k стандартты бөлшек алу мүмкін; сонда қалған m-k бұйымдары стандартты емес; N - n стандартты емес бұйымнан алынған m - k стандартты емес бұйымдар, қолайлы жағдайлар саны тең:
.
Ізделінді ықтималдық мынаған тең:

.
Дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.
Сандық сипаттамалрының маңыздыларының біріне математикалық күтім M(X), дисперсия D(X) және орта квадраттық ауытқу (Х) жатады.
Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндерінің сәйкес ықтималдықтарына көбейтінділерінің қосындысын оның математикалық күтімі деп атайды.

M(X) белгіленеді:

M(X)=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n=
Математикалық күтімнің қасиеттері:

1) Тұрақты шаманың математикалық күтімі тұрақты шаманың өзіне тең:

M(C)=C;

2) Тұрақты көбейткішті математикалық күтім белгісінің сыртына шығаруға болады: M(CX)=CM(X);

3) Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың ақырлы санының көбейтіндісінің математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің көбейтіндісіне тең:

M(X·Y·Z)=M(X)·M(Y)·M(Z);
Кездейсоқ шамалардың ақырлы санының қосындысының математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің қосындысына тең:
M(X+Y+Z)=M(X)+M(Y)+M(Z);

4. 
   Егер Х кездейсоқ шамасының барлық мәндерін бірдей С санына кемітсе (арттырса) , онда оның математикалық күтімі де сол С санына кемиді (артады):
   
5. 
    
   

M(C-X)=M(X)-C
Х дискретті кездейсоқ шамасының дисперсиясы (шашырау) дегеніміз, Х пен математикалық күтімінің квадратының математикалық күтімнен ауытқуын атайды:

 

D(X)=M[X-M(X)]²
Дисперсияны есептеу үшін келесі формуланы қолданған қолайлы:
D(X)=M(X²)- [M(X)]²
Дисперсияның қасиеттері:

1. 
   Тұрақты шама С-ның дисперсиясы 0-ге тең:
   

D(C)=0;

 

2. 
   Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадрат дәрежесін шығаруға болады.
   
3. 
    
   

D(CX)=C²D(X);

 

4. 
   Бірнеше өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының дисперсиясы осы шамалардың дисперсияларының қосындысына тең:
   

D(X+Y+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z);

5. 
   Екі тәуелсіз кездейсоқ шамалардың айырмасының дисперсиясы осы шамалардың дисперсияларының қосындысына тең:
   

D(X-Y)=D(X)+D(Y);

 

Х кездейсоқ шамасының орта квадраттық ауытқуы деп дисперсиядан алынған квадрат түбірді атайды:

σ(X)= ;
Дисперсияның өлшемі кездейсоқ шаманың квадратының өлшеміне тең. Себебі, орта квадраттық ауытқуы дисперсиядан алынған квадрат түбірге тең болғандықтан, онда σ(Х) өлшемі Х-тің өлшеміне тең. Сондықтан шашырау бағасы дұрыс болуы үшін орта квадраттық ауытқуды есептейді.
Мысалы,

егер Х сызықтық метрде өрнектелетін болса, онда σ(Х) сызықтық метрде өрнектеледі, ал D(X) – квадрат метрде.
Мысалы,

үлестіру заңымен берілген Х дискретті кездейсоқ шамасының математикалық күтімін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын есептеңіз:

x	-5	2	3	4
p	0,4	0,3	0,1	0,2

Шешуі:

Математикалық күтімін табайық:
М(Х)=-5·0,4+2·0,3+3·0,1+4·0,2=-0,3.
Дисперсияны есептеу үшін мына формуланы қолданған жөн:
D(X)=M(X²)- [M(X)]²
Х² үлестіру заңын құрастырайық:

х2	25	4	9	16
p	0,4	0,3	0,1	0,2

М(Х²)=25·0,4+4·0,3+9·0,1+16·0,2=15,3.
D(X)=M(X²)- [M(X)]²=15,3-(-0,3)²=15,21
σ(X)= = =3,9
Теорема. А оқиғасының көріну санының М(Х) математикалық күтімі n тәуелсіз тәжірибелердің әрқайсысындағы оқиға санын оқиғасының көрінуінің ықтималдығына көбейткенге тең:

M(X)=n·p.
Теорема. А оқиғасының D(Х) дисперсиясы n тәуелсіз тәжірибелерде, олардың әрқайсысында р ықтималдығы тұрақты болатын көріну тәжірибелер санын оқиғаның бір тәжірибеде көрінбеу санына көбейткенге тең:

D(X)=n·p·q