История Росии. Экономическое_применении_функции_нескольких_переменных-21_10_201. Экономическое применение функции нескольких переменных
 Скачать 22.76 Kb.
|
Экономическое применении функции нескольких переменныхот Appacho | skachatreferat.ru[pic] Министерство образования и науки Украины Донецкий Национальный технический университет Факультет экономики и менеджмента РЕФЕРАТ НА ТЕМУ: Экономическое применение функции нескольких переменных Студента группы ЭМС-12Б Фомина Сергея Сергеевича Донецк-2013 СОДЕРЖАНИЕ: СОДЕРЖАНИЕ: 2 1.Математическая Теория 3 1.1ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 1.2ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 6 1.3ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 8 2.Экономическое приложение 10 2.1ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 10 3.СЛОВАРЬ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ТЕРМИНОВ 15 4.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 15 1.Математическая Теория 1.1ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Определение. Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений [pic]из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной величины Z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных [pic]. Например, формула[pic]задает объем цилиндра Z как функцию двух переменных: х1, (радиуса основания) и х2 (высоты). Переменные[pic]называются независимыми переменными или аргументами, Z — зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество хn называется областью определения функции. Очевидно, это подмножество n-мерного пространства. Рассмотрим некоторые примеры функций нескольких переменных. [pic] 1. Функция[pic], где [pic]— постоянные числа, называется линейной. Ее можно рассматривать как сумму п линейных функций от переменных ([pic] 2. Функция [pic][pic] называется квадратической.. 3. Функция полезности — одно из базовых понятий экономической теории. Многомерный ее аналог — это функция [pic]выражающая полезность от n приобретенных товаров.Чаще всего встречаются следующие ее виды: а) [pic]логарифмическая функция; b) [pic] Такая функция называется функцией постоянной эластичности. 4. Также на случай п переменных обобщается понятие производственной функции (см. словарь терминов), выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов [pic], [pic]. Приведем здесь наиболее часто встречающиеся виды производственных функций (z — величина общественного продукта x1 — затраты труда, х2— объем производственных фондов), полагая для простоты n=2 a) Функция Кобба—Дугласа[pic] б) функция с постоянной эластичностью замещения: [pic] В настоящей главе мы будем вести изложение в основном для функций двух переменных (n=2), при этом практически все понятия и теоремы, сформулированные для n=2, легко переносятся и на случай п>2. Однако рассмотрение случая двух переменных позволяет использовать наглядную геометрическую иллюстрацию основных понятий настоящей главы. Функцию двух переменных будем обозначать в дальнейшем [pic]. Тогда ее область определения X есть подмножество координатной плоскости Оху. Окрестностью точки [pic]называется круг, содержащий точку [pic] (см. рис.1). [pic] Рисунок 1 Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интервала на прямой. При изучении функций нескольких переменных во многом используется уже разработанный математический аппарат. А именно: любой функции [pic]можно поставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении [pic]функцию [pic]и при фиксированном значении [pic] функцию [pic] Следует иметь в виду, что хотя функции [pic]и [pic]имеют одно и то же "происхождение", вид их может существенноразличаться. Рассмотрим, например, функцию [pic], выражающую величину вклада через у лет при ставке х%. Очевидно, что это функция степенная по х и показательная по у. Графиком функции двух переменных z=f(x, у) называется множество точек трехмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением z=f(x, у). График функции двух переменных z=f(x, у), вообще говоря, представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Для построения графика функции z=f(x, у), полезно рассматривать функции одной переменной [pic]u) и [pic], представляющие сечения графика z=f(x,у) плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz, т.е. плоскостями [pic] и [pic]. 1.2ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ Большая часть понятий анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай двух переменных. Определение. Число А называется пределом функции z=f(x, у) при [pic]и [pic] (или в точке [pic] ) если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа [pic], найдется положительное число [pic] (зависящее от [pic]), такое, что для всех точек (х, у), отстоящих от точки [pic]на расстояние р меньшее, чем [pic] (т.е. при [pic])выполняется неравенство: [pic] Обозначается предел так: [pic] Как правило, вычисление пределов функций двух переменных оказывается существенно более трудной задачей по сравнению со случаем одной переменной. Причина заключается в том, что на прямой существуют всего два направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке, а именно, справа и слева. На плоскости же таких направлений — бесконечное множество, и пределы функций по разным направлениям могут не совладать. Пример1[1.ст403-404]: Доказать, что [pic]не существует. Решение. Будем приближаться к точке (0; 0) по прямым у=kх. Если у=kх, то: [pic] Получили, что значение предела зависит от углового коэффициента прямой. Но так как предел функции не должен зависеть от способа приближения точки (х; у) к точке (0; 0) (например, по прямой у=2х или у=5x), то рассматриваемый предел не существует. Определение. Функция z=f(x, у), называется непрерывной в точке [pic]если она: 1. определена в точке [pic] 2. имеет конечный предел при [pic]и [pic] 3. этот предел равен значению функции в точке [pic]т.е [pic] Геометрический смысл непрерывности очевиден: график в точке [pic]представляет собой сплошную, нерасслаивающуюся поверхность. 1.3ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Дадим аргументу x приращение (x аргументу у — приращение (y. Тогда функция z получит наращенное значение,[pic]Величина [pic]называется полным приращением функции в точке (x;y). Если задать только приращение аргумента х или только приращение аргумента у, то полученные приращения функции соответственно[pic]и[pic] называются частными. Полное приращение функции, вообще гонора, не равно сумме частных, т.е. [pic]. Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так : [pic] или[pic]или[pic] Таким образом, для функции z=f(x, у) по определению [pic] [pic] Пусть график функции z=f(x, у) представляет некоторую поверхность Р. Тогда при [pic] мы получаем кривую [pic] — сечение этой поверхности соответствующей плоскостью.В этом случае производная [pic]выражает угловой коэффициент касательной к кривой[pic], в заданной точке [pic], т.е. [pic], где a угол наклона касательной к оси Ох. Аналогично [pic] Из определения частных производных следует, что для нахождения производной [pic] надо считать постоянной переменную у, а для нахождения [pic] — переменную х. При этом сохраняются правила дифференцирования. 2.Экономическое приложение 2.1ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ Рассмотрим некоторые приложения функций нескольких переменных в экономической теории. Значительная часть экономических механизмов иллюстрируется на рисунках, изображающих линии уровня функции двух переменных [pic]. Например, линии уровня производственной функции называются изоквантами (см. словарь терминов). Пусть х и у — два различных фактора производства, а функция[pic]характеризует выпуск продукции , который позволяют значения факторов х и у. На рис.2 линии уровня f(x,y)=Q изображены сплошными линиями, а штриховкой выделена так называемая экономическая область, которая характеризуется тем, что высекаемые ею части изоквант представляют собой графики убывающих функций, т.е. увеличение количества одного фактора позволяет уменьшить количество другого, не меняя размера выпуска.(см рис.2) . [pic] Рисунок 2 Иными словами, экономическая область (см словарь терминов).Очевидно, что все "разумные" значения х и у принадлежат экономической области. Изокванты позволяют геометрически иллюстрировать решение задачи об оптимальном распределении ресурсов. Пусть [pic]- функция издержек, характеризующая затраты, необходимые для обеспечения значений ресурсов х и у (часто можно считать, что функция издержек линейная: g(x,y)= рхх + руу,где рх и ру— "цены" факторов х и у. Комбинации линий уровня функции [pic]позволяют делать выводы о предпочтительности того или иного значения факторов х и у. Очевидно, например, что пара значений [pic]более предпочтительна, чем пара [pic] так как обеспечивает тот же выпуск, но с меньшими затратами. Оптимальными же значениями факторов будут значения [pic]— координаты точки касания линии уровня функции выпуска и функции издержек. Линии уровня функции полезности (они называются кривыми безразличия (см. словарь терминов) также позволяют рассматривать вопросы замещения одного товара другим и иллюстрировать решение задачи об оптимальном потреблении (потребительского выбора)(см. рис.3) [pic] Рисунок 3 . Линия уровня затрат на приобретение товаров х, у изображены на рис.3 пунктиром. Оптимальное потребление обеспечивается значением [pic] координатами точки касания кривой безразличия и линии уровня затрат. В этой точке заданная полезность достигается наиболее экономичным образом. Другой пример кривых безразличия возникает в теории инвестиций. Портфель ценных бумаг (см. словарь терминов) характеризуется двумя основными параметрами — ожидаемой доходностью r и риском [pic]-(точное определение этих величин здесь не может быть приведено, так как оно использует понятия теории вероятностей и математической статистики). Каждому портфелю можно поставить в соответствие точку на координатной плоскости [pic],и тогда множество всех возможных портфелей представляет некоторую область D (см. рис.4.) [pic] Рисунок 4 Очевидно, что при равных доходностях инвестор предпочтет портфель с меньшим риском. Таким образом, кривые безразличия —. линии уровня функции предпочтения [pic]—выпуклы вниз. Точка Т, в которой линия безразличия касается области D, соответствует наиболее предпочтительному для данного инвестора портфелю. Соответствующая теория была предложена американским экономистом Харри Марковицем в 1952 г. и с тех пор получила широкое развитие в теории инвестиций. Понятие частной производной также находит применение в экономической теории Можно ввести понятие частной эластичности функции нескольких переменных [pic]относительно переменной х; [pic] ' Так, например, в производственной функции Кобба— Дугласа[pic], как нетрудно убедиться, [pic], [pic]т.е. показатели [pic], и [pic] приближенно показывают, на сколько процентов изменится выпуск продукции при изменении только затрат труда х или только объема производственных фондов у на 1%. Рассмотрим частные производные [pic]— функции полезности. Они называются предельными полезностями [pic]. Если измерять количество товара в стоимостном выражении, то предельные полезности можно рассматривать как функции спроса на соответствующий товар. Найдем предельные полезности для функции постоянной эластичности[pic] Имеем [pic], [pic], т.е. функции спроса с ростом стоимости каждого товара являются убывающими, а параметры [pic] представляют частные эластичности спроса на эти товары. Если рассматривать спрос q как функцию нескольких переменных, например двух - цены товара р и доходов потребителей r, т.е. q = f(p,r), то можно говорить о частных эластичностях спроса от цены( см словарь терминов) : [pic] и спроса от доходов [pic]. Например, можно установить, что Er (q)>0 для качественных товаров и Er (q) 0, так как увеличение цены одного товара приводит к увеличению спроса на другой. В то же время для взаимодополняющих товаров [pic] (q ) |