Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные. 51. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частны. Функции нескольких переменных с примерами решения Функции нескольких переменных
![]()
|
Функции нескольких переменных с примерами решения Функции нескольких переменных: Многим явлениям, в том числе экономическим, присуща многофакторная зависимость. Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования математического аппарата, в частности введения понятия функции нескольких переменных. Определение. Пусть имеется Например, формула ![]() Переменные ![]() Пример: Найти область определения функции: ![]() Решение: а) Область определения задается условием: ![]() ![]() б) Имеем ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим некоторые примеры функций нескольких переменных. 1. Функция ![]() ![]() ![]() 2. Функция ![]() 3. В § 5.6 была определена функция полезности — одно из базовых понятий экономической теории. Многомерный ее аналог — это функция ![]() ![]() ![]() ![]() Такая функция называется функцией постоянной эластичности. Также на случай переменных обобщается понятие производственной функции (см. § 5.6), выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов ![]() ![]() а) функция Кобба—Дугласа ![]() б) функция с постоянной эластичностью замещения: ![]() ![]() ![]() ![]() Функцию двух переменных будем обозначать в дальнейшем ![]() ![]() Окрестностью точки ![]() ![]() ![]() Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интервала на прямой. При изучении функций нескольких переменных во многом используется уже разработанный в предыдущих главах математический аппарат. А именно: любой функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следует иметь в виду, что хотя функции ![]() ![]() ![]() ![]() Графиком функции двух переменных ![]() ![]() ![]() График функции двух переменных ![]() Для построения графика функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример: Построить график функции ![]() Решение: Сечения поверхности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Как видно, график функции двух переменных — значительно более сложный объект, чем график функции одной переменной. Как правило, построение поверхности оказывается довольно трудной задачей. В то же время поверхность в пространстве обладает гораздо меньшей наглядностью, чем линия на плоскости. Поэтому в случае двух переменных для изучения поведения функции желательно использовать другие, более наглядные инструменты. Важнейшим из них являются линии уровня. Определение._Линией_уровня'>Определение. Линией уровня функции двух переменных ![]() ![]() На рис. 15.3 изображены линии уровня, соответствующие значениям ![]() Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели и меридианы на глобусе — это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм — линий уровня температуры. В § 15.10 мы рассмотрим примеры использования линий уровня функций нескольких переменных в экономическом анализе. Построение линий уровня оказывается существенно более легкой задачей, чем построение графиков самих функций. Пример: Построить линии уровня функции ![]() Решение: Линия уровня ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Точка ![]() ![]() ![]() Предел и непрерывность Большая часть понятий математического анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай двух переменных. Определение. Число называется пределом функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Обозначается предел так: ![]() Пример: Найти предел ![]() Решение: Обозначим ![]() ![]() ![]() ![]() Как правило, вычисление пределов функций двух переменных оказывается существенно более трудной задачей по сравнению со случаем одной переменной. Причина заключается в том, что на прямой существуют всего два направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке — а именно, справа и слева. На плоскости же таких направлений — бесконечное множество, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать. Пример: Доказать, что ![]() Решение: Будем приближаться к точке ![]() ![]() Если ![]() Получили, что значение предела зависит от углового коэффициента прямой. Но так как предел функции не должен зависеть от способа приближения точки ![]() ![]() ![]() Определение. Функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Геометрический смысл непрерывности очевиден: график в точке ![]() Частные производные Дадим аргументу приращение , аргументу — приращение Тогда функция получит наращенное значение ![]() ![]() ![]() ![]() Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных, т.е. ![]() Пример: Найти частные и полное приращения функции ![]() Решение: ![]() ![]() ![]() Получили, что ![]() Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, для функции ![]() ![]() Геометрический смысл частных производных функции ![]() ![]() Пусть график функции ![]() ![]() В этом случае производная выражает угловой коэффициент касательной к кривой , в заданной точке ![]() ![]() ![]() Из определения частных производных (15.1), (15.2) следует, что для нахождения производной ![]() ![]() Пример: Найти частные производные функций: ![]() Решение: а) Чтобы найти частную производную по , считаем постоянной величиной. Таким образом, ![]() ![]() ![]() б) При фиксированном у имеем степенную функцию от . Таким образом, ![]() ![]() Пример: Поток пассажиров выражается функцией ![]() Решение: Производная ![]() ![]() Дифференциал функции Дифференциал функции ![]() ![]() Обобщая определение дифференциала функции на случай двух независимых переменных, приходим к следующему определению. Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е. ![]() Учитывая, что для функций ![]() ![]() ![]() или ![]() Определение. Функция ![]() ![]() ![]() где — дифференциал функции, ![]() ![]() Таким образом, дифференциал функции двух переменных, как и в случае одной переменной, представляет главную, линейную относительно приращений ![]() Можно показать, что если полное приращение функции представляет геометрически приращение аппликаты поверхности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следует отметить, что для функции одной переменной ![]() ![]() ![]() Для функции нескольких переменных дело обстоит иначе: существование частных производных является лишь необходимым, но недостаточным условием дифференцируемости функции. Следующая теорема выражает достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных. Теорема. Если частные производные функции ![]() ![]() ![]() ![]() |