Главная страница
Навигация по странице:

  • Бином Ньютона.

  • Биномиальная формула Ньютона

  • Свойства бинома Ньютона Бином Ньютона.

    		•

    Бином Ньютона. Треугольник Паскаля


    Скачать 0.49 Mb.
    НазваниеТреугольник Паскаля
    Дата07.06.2022
    Размер0.49 Mb.
    Формат файлаpptx
    Имя файлаБином Ньютона.pptx
    ТипДокументы
    #575360

    Бином Ньютона

    Треугольник Паскаля.




    Числа имеют очень красивую и знаменитую запись, которая имеет большое значение.

    Такая запись называется треугольником Паскаля:

    1623-1662 г.г.

    Блез Паскаль

    Треугольник Паскаля.


    Правило записи треугольника легко запомнить:

    Каждое число в треугольнике паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ними в предыдущей строке.

    Давайте распишем несколько строк:

    Математически свойство подсчета числа сочетаний без повторений можно записать еще вот так:

    1

    1
    1

    1
    2
    1

    1
    3
    3
    1

    1
    4
    6
    4
    1

    1
    5
    10
    10
    5
    1

    1
    6
    15
    20
    15
    6
    1
     

    1
    7
    21
    35
    35
    21
    7
    1

    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10

    0
    1

    1
    1
    1

    2
    1
    2
    1

    3
    1
    3
    3
    1

    4
    1
    4
    6
    4
    1

    5
    1
    5
    10
    10
    5
    1

    6
    1
    6
    15
    20
    15
    6
    1

    7
    1
    7
    21
    35
    35
    21
    7
    1

    8
    1
    8
    28
    56
    70
    56
    28
    8
    1

    9
    1
    9
    36
    84
    126
    126
    84
    36
    9
    1

    10
    1
    10
    45
    120
    210
    252
    210
    120
    45
    10
    1

    Бином Ньютона.




    Как оказалось треугольник Паскаля находит свое применение и в другой математической задаче. Давайте вспомним несколько правил возведения в квадрат суммы.

    Самое первое правило, которое мы с вами выучили это квадрат суммы:

    Довольно таки легко найти выражение и для следующей степени, используя правила перемножения многочленов:

    Проделаем эту же операцию и для четвертой степени:

    Бином Ньютона.


    Выпишем для наглядности все наши формулы:

    Давайте проведем небольшой анализ полученных формул.

    Первое на что стоит обратить внимание, показатель степени в левой части равен сумме показателей степеней в правой части, для любого слагаемого. Для четвертой степени, очевидно слева показатель равен четырем. В правой части показатель степени, при первом слагаемом, для а равен 4, для b равен 0, в сумме 4. Для второго слагаемого сумма показателей равна 3+1=4, для следующего 2+2=4, и так до самого конца сумма показателей равна 4.

    Ребята, посмотрите внимательно на коэффициенты в правой части, ни чего не напоминает? Правильно, коэффициенты образуют треугольник Паскаля.

    В теории многочленов часто двучлены называют биномами.

    • =1
    • =1
    • =1+2+1
    • = 1+3b+3+1
    • ==

      • = 1+4b+6+4+1

    • ==

      • = 1+5b+10+10+5+1

    Бином Ньютона.




    Полученная нами формула:

    Называется Бином Ньютона.

    Коэффициенты, стоящие перед слагаемыми – Биномиальные коэффициенты.

    Биномиальная формула Ньютона


    -биномиальные коэффициенты

     
    • Число слагаемых на 1 больше степени бинома.
    • Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля.
    • Коэффициенты симметричны.
    • Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются.
    • Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома.

    Свойства бинома Ньютона

    Бином Ньютона.


    Пример. Раскрыть скобки: а) б)

    Решение. Применим нашу формулу:

    а)

    Вычислим все коэффициенты:

    В итоге получаем:

    б)

    написать администратору сайта