Решение Уравнение линий уровня имеют вид Рассмотрим некоторые из них прямая две прямые

• Название: Решение Уравнение линий уровня имеют вид Рассмотрим некоторые из них прямая две прямые
• Дата: 08.01.2023
• Размер: 121.79 Kb.
• Имя файла: _8683513.docx
• Тип: Решение; #876285

Задание 1. Найти уравнения и выполнить построение линий уровня

функций:



Решение:

Уравнение линий уровня имеют вид:



Рассмотрим некоторые из них:



прямая



две прямые



две прямые

Таким образом, линии уровня представляют собой семейство прямых, параллельных прямой .

Построим линии уровня:



Задание 2. Найти частные производные первого порядка:



Решение:















Задание 3. Найти стационарные точки и исследовать на экстремум

функции:



Решение:



Решим систему:





















Из условий и следует, что

Учитывая ограниченность функции



Таким образом, уравнение решений не имеет.

А значит, исходная функция экстремумов не имеет.

Задание 4. Найти производную z(x, y) по направлению вектора l в

точке М:



Решение:

Производная по направлению имеет вид:















Задание 5. Найти интегралы:







Решение:



















Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
























Задание 6. Вычислить интегралы:



Решение:




















Задание 7. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:



Решение:

Построим фигуру, площадь которой требуется найти:

окружность с центром в точке (0;0) радиуса

парабола, ветви вправо.


Т.к. фигура симметрична относительно оси Ох, следовательно, можно найти площадь половины фигуры и умножить ее на 2.

Найдем пределы интегрирования:















Первая система решений не имеет, решениями второй системы являются точки (2;2), (2;-2)
















Задание 8. Вычислить или установить расходимость несобственных

интегралов:



Решение: