Решение Уравнение линий уровня имеют вид Рассмотрим некоторые из них прямая две прямые
![]()
|
Задание 1. Найти уравнения и выполнить построение линий уровня функций: ![]() Решение: Уравнение линий уровня имеют вид: ![]() Рассмотрим некоторые из них: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, линии уровня представляют собой семейство прямых, параллельных прямой ![]() Построим линии уровня: ![]() Задание 2. Найти частные производные первого порядка: ![]() Решение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание 3. Найти стационарные точки и исследовать на экстремум функции: ![]() Решение: ![]() Решим систему: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из условий ![]() ![]() ![]() Учитывая ограниченность функции ![]() ![]() Таким образом, уравнение ![]() А значит, исходная функция экстремумов не имеет. Задание 4. Найти производную z(x, y) по направлению вектора l в точке М: ![]() Решение: Производная по направлению имеет вид: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание 5. Найти интегралы: ![]() ![]() ![]() Решение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание 6. Вычислить интегралы: ![]() Решение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание 7. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями: ![]() Решение: Построим фигуру, площадь которой требуется найти: ![]() ![]() ![]() ![]() Т.к. фигура симметрична относительно оси Ох, следовательно, можно найти площадь половины фигуры и умножить ее на 2. Найдем пределы интегрирования: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Первая система решений не имеет, решениями второй системы являются точки (2;2), (2;-2) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание 8. Вычислить или установить расходимость несобственных интегралов: ![]() Решение: ![]() ![]() ![]() |