Главная страница
Навигация по странице:

  • Т ема : ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

  • 1 2.

  • 2х+3у <

  • 2х+3у=50

  • –х+4у >

  • КР №1 по вышке 2 вариант. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии


    Скачать 0.53 Mb.
    НазваниеЭлементы векторной алгебры и аналитической геометрии
    АнкорКР №1 по вышке 2 вариант.doc
    Дата08.09.2018
    Размер0.53 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаКР №1 по вышке 2 вариант.doc
    ТипКонтрольная работа
    #24284
    КатегорияМатематика

    Факультет: З и Д О

    Курс:1

    Вариант:2

    Контрольная работа по высшей математике

    Контрольная работа №1

    Тема: ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

    2. Даны четыре вектора и

    в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

    Решение. Базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов является равенство их смешанного произведения нулю. Итак, находим

     





    Значит, векторы некомпланарны и образуют базис, то любой вектор можно представить в виде

    Составим систему уравнений (1.1) в координатном виде



    и найдем определители . Определитель найден выше.



    Применяя правело Крамера, имеем

    Значит:

    12. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж, если



    Решение. 1). Находим координаты вектора

    и длину ребра

    2). Угол между ребрами и вычисляется по формуле

    из скалярного произведения.



    Поэтому,

    3

    ). Угол между ребром и плоскостью - это угол между вектором и его ортогональной проекцией на грань.



    Вектор перпендикулярен грани , что вытекает из

    определения векторного произведения векторов и :

    Здесь Как и в предыдущем пункте, находим :

    4). Площадь грани находим , используя геометрический смысл векторного произведения



    5). Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля

    смешанного произведения векторов



    6). Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки и

    :



    В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Они могут быть записаны и в виде



    т.е. уравнение прямой как линии

    и пересечения двух плоскостей.

    7). Для составления уравнения плоскости. , проходящей через три заданные точки :

    8). Искомые уравнения высоты получим из канонических уравнений прямой, .

    где - точка, лежащая на искомой

    прямой, m, n, p - координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. . . Имеем

    .

    9). Сделаем чертеж



    22. На прямой 2x+y+11=0 найти точку, равноудалённую от двух данных точек A(1, 1) и B(3, 0).

    Решение. Пусть точка М(х, у) лежащая на прямой 2х+у+11=0, равноудалена

    От точек А и В , т.е. |AM| = |BM|.

    Применив формулу отрезка в декартовой системе координат, получим:

    и

    Тогда согласно условию составим систему уравнений:

    После преобразований получим



    Подставляя второе уравнение в первое имеем



    тогда: , следовательно координаты искомой точки

    32. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств.

    Решение. Рассмотрим по отдельности каждое неравенство:

    1). Чтобы решить неравенство 3х-у>9, построим прямую 3х-у=9 . Она проходит через две точки ( 3, 0) и (0, -9). При х=0 и у=0 неравенство является неверным. Следовательно, ему удовлетворяют все точки лежащие правее прямой 3х-у=9 и на прямой.

    2). Решаем второе неравенство таким же образом, т.е. строим прямую




    2х+3у<50 проходящую через две точки и .
    Точка (0, 0) также является верным для неравенства 2х+3у<50 , следовательно, ему удовлетворяют все точки лежащие ниже прямой 2х+3у=50 и на этой прямой.

    3). Находим точку А пересечения прямых 3х-у=9 и 2х+3у=50,решая систему



    4). Наконец решаем неравенство –х+4у>19 . Для этого строим прямую




    х+4у=19 проходящую через точки и . Точка (0, 0) также
    является неверным для неравенства –х+4у>19 следовательно, ему удовлетворяют все точки лежащие выше прямой ­–х+4у=19 и на этой прямой.

    Решая системы уравнений:




    Итак получили треугольник с вершинами А(7,30) , В(5б 24) и С(13, 8).



    Данной системе неравенств удовлетворяют все точки внутри треугольника АВС и на его границе.

    42. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки A(3,0), чем от оси ординат.

    Решение. Пусть М(x, y)произвольная точка данной линии, P- основание перпендикуляра, проведенного через точку М к прямой x=0 . Расстояние точки М до точки А и до прямой x=0 определяется соответственно




    формулами: . По условию задачи:




    . Преобразуем это уравнение:

    Выделим полные квадраты в левой части уравнения:

    Если перейти к новым координатам, Y=y и X=x+1 , последнее уравнение




    примет вид:




    Полученное уравнение определяет гиперболу с полуосями a=2 и b= .




    написать администратору сайта