Эллиптически поляризованные волны. Параметры Стокса
 Скачать 171.87 Kb.
|
|
1 Эллиптически поляризованные волны. Параметры Стокса. Поляризация оптического излучения характеризует поведение во вре- мени электрического вектора E. Декартовы компоненты монохроматической электромагнитной волны, распространяющейся в изотропной среде в поло- жительном направлении оси z в общем случае имеют вид: ( ) { } ( ) { } 0 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 = δ + ω − = ω − + δ − = = δ + ω − = ω − + δ − = = ω − ω − z t i y t i x E ) t kz cos( a t i ikz i exp a Re ) e E Re( E ) t kz cos( a t i ikz i exp a Re ) e E Re( E (1) Здесь ( ) ikz i exp a E + δ − = 1 1 1 и ( ) ikz i exp a E + δ − = 2 2 2 - комплексные ампли- туды x- и y-компонент электрического поля. Известные преобразования (1) приводят к уравнению вида δ = δ − + 2 2 2 1 2 2 2 1 2 sin cos a a E E a E a E y x y x , (2) где δ = δ 2 - δ 1 – разность фаз. Уравнение (2) представляет собой уравнение эллипса (см. рис.), т.е. конец вектора электрического поля Е=Е x x+E y y опи- сывает эллипс. Такая волна называется эллиптически поляризованной. При sin δ > 0 имеет место правая поляризация, а при sin δ < 0 – левая. Рис. 1 Эллипс поляризации 2 Для описания эллиптически поляризованной волны необходимы три параметра. Ими могут быть а 1 , а 2 , δ . В общем случае эллипс поляризации в его собственной плоскости описывается следующими параметрами (рис.1): 1. Азимутом ψ (азимут - угол между произвольно выбранным направлением, перпендикулярным направлению распространения излучения (например, осью x) и большой полуосью эллипса). Положительным направлением отсче- та азимута ψ считается направление против часовой стрелки при наблюдении навстречу направлению распространения излучения. 2. Эллиптичностью ε =b/a (эллиптичность - отношение длин малой полуоси b и большой полуоси a эллипса). 3. Направлением обхода эллипса поляризации, т.е. направлением вращения вектора E. Для описания эллипса поляризации используется также величина, на- зываемая углом эллиптичности χ: a b tg ± = χ , (3) причем знак плюс соответствует правой поляризации, а знак минус – левой. Многие оптические системы, особенно различные биоткани (например, кожа, хрящевая ткань, склера), способны уменьшать степень поляризации падающего излучения. Такие оптические системы называются деполяризую - щими. Для описания распространения света через деполяризующие системы используют формализм векторов Стокса. В этом формализме состояние све- товой волны, то есть ее поляризация и интенсивность, описываются векто - ром Стокса, компонентами которого являются параметры Стокса: 2 2 2 1 2 2 2 1 E E a a I + = + = , 2 2 2 1 2 2 2 1 E E a a Q − = − = , (4) ) E E Re( cos a a U * 2 1 2 1 2 2 = δ = , ) E E Im( sin a a V * 2 1 2 1 2 2 = δ = , 3 В представлении (1) амплитуды и фазы компонент поля полагались по- стоянными. Но даже в простейшем случае монохроматического света ампли- туды и фазы испытывают непрерывные колебания. Поскольку наблюдаемой величиной является средняя по времени интенсивность, т.е. видимые интен- сивности I x,y в направлениях x и y будут определяться средними величинами 2 2 1, y , x a I = , то и параметры Стокса должны выражаться через средние величины: 2 2 2 1 2 2 2 1 E E a a I + = + = , 2 2 2 1 2 2 2 1 E E a a Q − = − = , (5) * E E Re cos a a U 2 1 2 1 2 2 = δ = , . E E Im sin a a V * 2 1 2 1 2 2 = δ = Параметры Стокса полностью поляризованной волны связаны между собой очевидным соотношением 2 2 2 2 V U Q I + + = , (6) которое следует из (5). Уравнения (5,6) определяют три величины, однознач- но описывающие любую поляризованную волну. В случае частично поляризованной волны равенство (6) должно быть заменено на неравенство 2 2 2 2 V U Q I + + > (7) Параметры Стокса имеют простой физический смысл, который легко увидеть, рассмотрев параметры Стокса для некоторых частных случаев поля- ризации. Так, например, для линейно поляризованной волны, плоскость по- ляризации которой составляет угол ψ 0 с осью x 0 0 1 ψ = cos E a , 0 0 2 ψ = sin E a , 4 0 = δ , параметры Стокса равны 0 2 2 0 2 0 0 2 0 0 2 0 = ψ = ψ = = = V sin E U cos E Q I E I (8) Тогда из (8) следует, что в случае волны с азимутом ψ = 0º вектор Стокса S имеет вид = 0 0 , (9) а для линейно поляризованной волны с азимутом ψ = 90º = −0 0 (10) Для линейно поляризованных волн с азимутами ψ = ±45º = 0 ± 0 (11) Для волн с правой (левой) круговой поляризацией 0 2 1 E a a = = , 2 π = δ m , параметры Стокса равны 2 0 2E I = , 0 = Q , (12) 0 = U , 2 0 2E V m = 5 Из (5), (9)-(12) видно, что параметр I равен полной интенсивности из- лучения и всегда положителен. Параметр Q равен разности интенсивностей х- и у- компонент и имеет максимальное значение для линейно поляризован- ного излучения с азимутом ψ = 0, и наибольшее по модулю отрицательное значение при азимуте α = 90°. Параметр U отражает соотношение компонент линейно поляризованных с азимутами ψ = 45° и ψ = -45°. Если параметр U положителен, то волна поляризована преимущественно с азимутом ψ = 45°, а если параметр U отрицателен, то волна поляризована преимущественно с азимутом ψ = -45°. Если U = 0, то в волне не преобладает ни одна из этих двух поляризаций. Параметр V характеризует преобладание в волне либо право-, либо левоциркулярной компоненты, на которые может быть разложе- на волна. Параметр V положителен при преобладании правой циркулярной компоненты, отрицателен при преобладании левой циркулярной компоненты и равен нулю при их равенстве. Параметры Стокса могут быть выражены через интенсивности компо- нент, на которые может быть разложена волна = = + = + = + = − (13) = − = − , , , , , - интенсивности волны, прошедшей через идеальный по- ляризатор, пропускающий излучение с азимутами 0, 90°, +45º, -45° , а также право- и левоциркулярное поляризованное излучение. Параметры Стокса можно выразить через параметры эллипса I, χ и ψ : ψ χ = 2 2 cos cos I Q , ψ χ = 2 2 sin cos I U , (14) χ = 2 sin I V 6 Из (14) видно, чтопараметры I и V зависят только от полной интенсивности и от отношения полуосей и не зависят от ориентации эллипса. Напротив, пара- метры Q и U зависят от выбора системы координат. Из (14) найдем обратное преобразование (азимут ψ и угол эллиптично- сти χ можно выразить через параметры Стокса): = 1 2 arctg " # (15) ' = 1 2 arcsin +, - + - + - . (16) Выражениям (14) можно поставить в соответствие декартовы коорди- наты (X,Y,Z) точки (r, θ , ϕ ) на сфере радиуса r = I с угловыми координатами θ = π /2 - 2 χ и ϕ =2 ψ : ϕ θ = cos sin r X , ϕ θ = sin sin r Y , θ = cos r Z Такая сфера называется сферой Пуанкаре. Ее полюсы соответствуют круго- вым поляризациям: северный полюс соответствует левой круговой поляриза- ции, а южный – правой. Северная и южная полусферы отвечают левой и пра- вой эллиптической поляризации, а экватор – линейной поляризации. В общем случае вектор Стокса S частично поляризованного излучения можно разложить на две компоненты: полностью поляризованную компо- ненту и неполяризованную компоненту = непол + пол , (17) где непол = 56 − , - + - + - 7 , 0,0,08, (18) пол = 5, - + - + - , , , 8 (19) Тогда степень поляризации излучения, т.е. отношение интенсивности поля- ризованной составляющей оптического излучения к его полной интенсивно- сти, определяется соотношения 7 9 = ,: ; <= ; <> ; ? (20) Используя полную интенсивность I, степень поляризации Р, азимут ψ и угол эллиптичности χ полностью поляризованной компоненты, вектор Стокса можно записать в виде = 1 9@AB2'@AB2 9@AB2'BCD2 9BCD2' (21) Матрица Мюллера. Волну с произвольной поляризацией можно представить в виде вектора Стокса, элементами которого являются параметры Стокса. Так как при рас- сеянии состояние поляризации рассеянной волны, вообще говоря, отличается от состояния поляризации падающей волны, связь между векторами Стокса падающей и рассеянной волны можно представить в виде E = F , (22) или ′ ′ ′ ′ = H II H I- H -I H -- H IJ H I H -J H - H JI H J- H I H - H JJ H J H J H (23) Матрица M размером 4х4 называется матрицей Мюллера. Для недеполяри- зующей оптической системы матрицу Мюллера можно вычислить, исходя из матрицы Джонса. В этом случае из шестнадцати элементов матрицы М неза- висимы только семь. Когда оптическая система проявляет деполяризующие свойства, то ее матрица Мюллера не может быть выражена через матрицу Джонса, так как матрица Джонса для такой оптической системы просто не существует. Тогда все 16 элементов матрицы Мюллера будут независимы. Матрица Мюллера записывается в определенной базовой системе ко- ординат. Преобразование матриц Мюллера и векторов Стокса при переходе 8 из одной системы координат в другую осуществляется с помощью матриц поворота R(α) с помощью следующих соотношений: E = K(L) , (24) F′ = K(L)FK(L), (25) где K(L) = M N N N O 1 0 0 @AB2L 0 0 sin2α 0 0 −sin2α 0 0 @AB2L 0 0 1Q R R R S (26) Распространение света через деполяризующую среду описывается мат- рицей Мюллера вида F деп = (1 − U)V + UW (27) где d – степень деполяризации (очевидно, что 0 ≤ d ≤ 1, при этом d = 1 соот- ветствует полностью деполяризующей среде, d = 0 описывает идеальную пластину с единичным пропусканием, которая не изменяет состояние поля- ризации света, прошедшего через нее.), I - единичная 4x4 матрица, D – мат- рица Мюллера идеального деполяризатора W = M N N N O 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Q R R R S (28) Пропускание по интенсивности оптической системы по методу Мюл- лера находится как отношение параметров Стокса I’ и I (которые представ- ляют собой полную интенсивность) в векторах Стокса прошедшего и па- дающего излучения. Подставляя (21) в (22), найдем X = H II + P(H I- @AB2'@AB2 + H IJ @AB2'BCD2 + H I BCD2' (29) Формализм матрицы Мюллера специально предназначен для изучения распространения частично поляризованного света через деполяризующие оп- тические системы, хотя диапазон его применимости охватывает, очевидно, и 9 частные случаи, когда оптическая система является не деполяризующей, а падающий свет либо частично, либо полностью поляризован. В этих частных случаях формализм матрицы Мюллера является более мощным, чем это нужно. Измерение матрицы Мюллера. Для определения элементов матрицы Мюллера необходимо знать, ка- кой эффект оказывает данная оптическая система на излучение с четырьмя различными состояниями поляризации, например на естественный свет, на линейно поляризованный с азимутами ψ = 0 и ψ = 45º и на свет с круговой поляризацией. Если в каждом случае известен результат действия, то можно записать 4 матричных, т.е. 16 линейных уравнений для нахождения 16 неиз- вестных элементов матрицы Мюллера. Например, определим матрицу Мюллера неидеальной фазовой пла- стинки, оси которой совпадают с осями x и y. Фазовая задержка δ с , вносимая такой пластинкой, равна Z [ = 2\(D ] − D ^ )_/a, (30) где n o , n e – главные показатели преломления фазовой пластинки, l – ее толщи- на, λ- длина волны излучения. Падающее линейно-поляризованное с азимутом ψ = 0 излучение опи- сывается вектором Стокса S вида (9). Прошедшее излучение будет иметь то же состояние поляризации, т.е. его вектор Стокса S’ также имеет вид (9). В матричном виде 0 0 = H II H I- H -I H -- H IJ H I H -J H - H JI H J- H I H - H JJ H J H J H 0 0 (31) Из (31) получаем 10 b H II + H I- = 1, H -I + H -- = 1, H JI + H I- = 0, H I + H - = 0. c (32) Для падающего линейно-поляризованного с азимутом ψ = 45º излуче- ния вектор Стокса имеет вид (11). Прошедшее через фазовую пластинку из- лучение будет поляризовано в общем случае эллиптически. Если обозначить коэффициенты пропускания для x- и y- компонент через T x и T y , и ввести от- носительный коэффициент пропускания X = d e d f , то вектор Стокса для прошедшего излучения E = (X - + X - ) M N N N N O 1 d ; I d ; ; [ − -d d ; [ Q R R R R S (33) Подставляя (33) и (11) в (22), получим: g h i h j H II + H IJ = X - + X - , H -I + H -J = (X - + X - ) d ; I d ; H JI + H JJ = (X - + X - ) -d d ; [ , H I + H J = − -d d ; [ (X - + X - ). c (34) Аналогичным образом для излучения с круговой поляризацией найдем g h i h j H II − H I = X - + X - , H -I − H - = (X - + X - ) d ; I d ; H JI − H J = (X - + X - ) -d d ; [ , H I − H = -d d ; [ (X - + X - ). c (35) Для естественного света векторы Стокса падающего и прошедшего излучения совпадают и имеют вид 11 = ′ = 00 0 , (36) поэтому для элементов матрицы Мюллера получим b H II = , H -I = 0, H JI = 0, H I = 0. c (37) Уравнения (32), (34), (35) и (37) образуют систему из 16 уравнений для определения 16 неизвестных матричных элеемнтов. Решая эту систему, найдем искомую матрицу k = M N N N N N O 1 0 1 1 0 0 (X - + X - ) d ; I d ; - + X - ) d ; I d ; 0 0 (X - + X - ) -d[^lm n d ; - + X - ) -dlopm n d ; - + X - ) -dlopm n d ; - + X - ) -d[^lm n d ; R R R R R S (38) На рис. приведена схема так называемого Мюллер-поляриметра. Рис.2 Мюллер-поляриметр: 1 – источник излучения, 2- поляризатор, 3 – фа- зовая пластинка, 4 – исследуемый образец, 5 - компенсатор, 6 – анализатор, 7 – фотоприемник. Мюллер-поляриметр позволяет определять элементы матрицы Мюлле- ра исследуемых образцов методом четырех зондирующих поляризаций. Суть метода состоит в том, что исследуемый образец последовательно зондирует- ся излучением с четырьмя заданными состояниями поляризации, получен- 12 ными при четырех ориентациях фазовой пластинки (3) в зондирующем кана- ле поляриметра. Определяя состояния поляризации зондирующего излучения и излучения после взаимодействия с объектом, составляется система уравне- ний относительно элементов матрицы Мюллера. Анализ матрицы Мюллера позволяет определять анизотропные характеристики исследуемого объекта. |