Этапы. Этапы эконометрического моделирования
 Скачать 1.53 Mb.
|
|
Этапы эконометрического моделирования Выделяют следующие этапы: постановочный; априорный; спецификация модели; информационный; идентификация модели; верификация модели; интерпретация результатов. Причины наличия в регрессионной модели случайного отклонения. Среди таких причин можно выделить наиболее существенные: не включение в модель всех объясняющих переменных, неправильный выбор функциональной формы модели, агрегирование переменных, ошибки измерений, ограниченность статистических данных, непредсказуемость человеческого фактора. Типы моделей и переменных, применяемых в эконометрике. Чем регрессионная модель отличается от функции регрессии? Для моделирования эконометрических взаимосвязей между экономическими явлениями чаще всего применяется три типа моделей и три типа переменных. Типы моделей: 1) Модели временных рядов - Модель представляет собой зависимость результативного признака от переменной времени или переменных, относящихся к другим моментам времени. 2) Модели регрессии - это уравнение, в котором объясняемая переменная представляется в виде функции от объясняющих переменных (например, модель спроса на некоторый товар в зависимости от его цены и дохода покупателей). 3) Системы одновременных уравнений - системы уравнений, состоящие из регрессионных уравнений и тождеств, в каждом из которых помимо объясняющих – независимых – переменных содержатся объясняемые переменные из других уравнений системы. Типы переменных: 1) Экзогенные (внешние, независимые)- это внешние для модели переменные, управляемые из вне, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них. Х-обознач. 2) Эндогенные (внутренние, зависимые)- это внутренние, формируемые в модели переменные, зависимые от предопределенных переменных. Y-обоз. 3) Предопределенные (экзогенные и лаговые эндогенные)-называют экзогенные переменные х и лаговые эндогенные переменные yt-l. Регрессионная модель – это уравнение, в котором объясняемая переменная представляется в виде функции от объясняющих переменных. Функция регрессии –функция f(x1,x2..)описывает зависимость условного среднего значения результативной переменной y от заданных объясняющих переменных. Суть метода наименьших квадратов (мнк). Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данныха и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов. Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных. Вывод формул для нахождения коэффициентов. Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции по переменныма и b, приравниваем эти производные к нулю Предпосылки МНК: 1 - случайный характер остатков; 2 - гомоскедастичность – дисперсия остатков одинакова для всех значений фактора; 3 - отсутствие автокорреляции остатков (то есть остатки распределены независимо друг от друга); 4 - остатки подчиняются нормальному закону распределения. Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью (постоянством дисперсии отклонений). Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью (непостоянством дисперсий отклонений) Баланс для сумм квадратов отклонений результативного признака. или Q = Qr + Qe, где Q – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней, Qr и Qe – соответственно, сумма квадратов, обусловленная регрессией, и остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтённых факторов. Общая СКО равна факторной, когда прочие факторы не влияют на результат, y связан с x функционально, и остаточная СКО равна нулю. , Нулевая гипотеза принимается, если . Проверка гипотез об общем статистическом качестве модели множественной линейной регрессии. (1) Гипотеза о статистической незначимости коэффициента детерминации . , где – значение критической точки распределения Фишера при уровне значимости и значениях степеней свободы , . (2) Гипотеза о равенстве двух коэффициентов детерминации вложенных моделей. Пусть для выборке из n наблюдений получено уравнение регрессии вида. , (А). и коэффициент детерминации для этой модели равен . Исключим из рассмотрения k экзогенных переменных, предположив, не нарушая общности, что это переменные при последних k коэффициентах Использование критерия Стьюдента для проверки значимости параметров регрессионной модели Проверка статистической значимости параметров регрессионного уравнения (коэффициентов регрессии) выполняется по t-критерию Стьюдента, который рассчитывается по формуле:  где P - значение параметра; Sp - стандартное отклонение параметра. Рассчитанное значение критерия Стьюдента сравнивают с его табличным значением при выбранной доверительной вероятности (как правило, 0.95) и числе степеней свободы N-k-1, где N-число точек, k-число переменных в регрессионном уравнении (например, для линейной модели Y=A*X+B подставляем k=1). Если вычисленное значение tp выше, чем табличное, то коэффициент регрессии является значимым с данной доверительной вероятностью. В противном случае есть основания для исключения соответствующей переменной из регрессионной модели. Величины параметров и их стандартные отклонения обычно рассчитываются в алгоритмах, реализующих метод наименьших квадратов. Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. Согласно F-критерию Фишера, выдвигается «нулевая» гипотеза H0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии. Наблюдаемые значения результативного признака yi можно представить в виде суммы двух составляющих ŷi и εi: yi = ŷi+ εi. Из данного уравнения следует следующее соотношение между дисперсиями наблюдаемых значений переменной D(y), ее расчетных значений D(ŷ) и остатков D(е) (остаточной дисперсией Dост = D(ε))  Статический смысд Коэффициент детерминации - это статистическое измерение, которое исследует, как различия в одной переменной могут быть объяснены различием во второй переменной при прогнозировании исхода данного события. Другими словами, этот коэффициент, более известный как r-квадрат (или r2), оценивает, насколько сильна линейная зависимость между двумя переменными, и на него в значительной степени полагаются инвесторы при проведении анализа тренда. Какова связь между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии в линейной модели парной регрессии? ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 10 коэффициент детерминации рассчитывается как квадрат линейного коэффициента корреляции r 2. Он характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:  Величина коэффициента детерминации служит одним из критериев оценки качества линейной модели. Чем больше доля объясненной вариации, тем соответственно меньше роль прочих факторов, и, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака При линейной регрессии в качестве показателя тесноты связи выступает линейный коэффициент корреляции  . Коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц в среднем изменится У, когда Х увеличивается на одну единицу. Однако он зависит от единиц измерения переменных. Как показателя тесноты связи нужна такая стандартная система единиц измерения, в которой данные по различным характеристикам оказались бы сравнимы между собой. Имеется следующая гипотетическая структурная модель: Y1 = b12Y2 + a11X1 + a12X2 Y2 = b21Y1 + b23Y3 + a22X2 Y3 = b32Y2 + a31X1 + a33X3 Приведенная форма модели имеет вид: Y1 = 3X1 - 6X2 + 2X3 Y2 = 2X1 + 4X2 + 10X3 Y3 = -5X1 + 6X2 +5X3 Требуется проверить структурную форму модели на идентификацию проверить структурную форму модели на идентификацию. Решение: Для того чтобы система одновременных уравнений была идентифицируема, необходимо, чтобы каждое уравнение системы было идентифицируемо, т.е. выполнялись необходимое и достаточное условия идентификации. Необходимое условие идентификации можно записать в виде следующего счетного правила: * если D+1<Н, то уравнение неидентифицируемо; * если D+1=Н, то уравнение идентифицируемо; * если D+1>Н, то уравнение сверхидентифицируемо, где Н - число эндогенных переменных в уравнении; D - число предопределенных переменных, которые содержатся в системе уравнений, но не входят в данное уравнение. Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено, если определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного. Проверим первое уравнение системы Y1 = b12Y2 + a11X1 + a12X2 на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации. В этом уравнении две эндогенные переменные Y1 и Y2 (Н=2). В нем отсутствуют эндогенная переменная Y3 и экзогенная переменная X3 (D=2). Уравнение сверхидентифицируемо, т.к. D+1>H; (3>2), а значит необходимое условие идентификации выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных Y3 и X3, взятых в других уравнениях.
Определитель полученной матрицы не равен нулю, т.к. b23*a33 - (-1)*0 = 0, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и первое уравнение идентифицируемо. Проверим второе уравнение системы Y2 = b21Y1 + b23Y3 + a22X2 на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации. В этом уравнении три эндогенные переменные Y1, Y2 и Y3 (H=3). В нем отсутствуют две экзогенные переменные X1 и X3 (D=2). Уравнение идентифицируемо, т.к. D+1=H; (3=3), а значит необходимое условие идентификации выполнено. , взятых в других уравнениях.
Определитель полученной матрицы не равен нулю, т.к. a11*a33 - a31*0 = 0, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо. Проверим третье уравнение системы Y3 = b32Y2 + a31X1 + a33X3 на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации. В этом уравнении две эндогенные переменные Y2 и Y3 (H=2). В нем отсутствуют эндогенная переменная Y1 и экзогенная переменная X2 (D=2). Уравнение сверхидентифицируемо, т.к. D+1>H; (3>2), а значит необходимое условие идентификации выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных Y1 и X2, взятых в других уравнениях.
  Задача 1.Зависимость объема продаж (Y) от расходов на рекламу (X) характеризуется по 12 предприятиям концерна следующим образом:  Задание: определите линейный коэффициент парной корреляции, регрессионную сумму квадратов отклонений, постройте таблицу дисперсионного анализа для оценки значимости уравнения в целом, определите F-статистику, t-статистику и доверительный интервал коэффициента регрессии. Решение: Для определения коэффициента корреляции применим формулу:  Значение коэффициента корреляции свидетельствует о тесной линейной взаимосвязи между объемом продаж и расходами на рекламу. Коэффициент детерминации составит:  Определим регрессионную сумму квадратов отклонений:  Составим таблицу дисперсионного анализа и определим F-cтатистику Фишера. Дисперсионный анализ результатов регрессии
Поскольку Fфакт >Fтабл, то признается статистическая значимость, надежность уравнения регрессии. Связь между F-статистикой Фишера, t-статистикой Стьюдента для коэффициента регрессии, t-статистикой Стьюдента для коэффициента корреляции выражается равенством:  Значит,  . Табличное значение t-статистики для α=0,05, v=10 составляет 2,2281. Поскольку tфакт>tтабл, то коэффициент регрессии b статистически значимо отличен от нуля.Экономическая интерпретация параметров линейной модели парной регрессии.  Экономический смысл свободного коэффициента Параметр а, или свободный коэффициент регрессионного уравнения, имеет экономический смысл: он показывает значение результативного признака y, если факторный x = 0. b — коэффициент регрессии. Показывает, на какую величину в среднем изменится y при увеличении фактора х на 1 единицу.  8.Модели нелинейной регрессии, коэффициент эластичностиСреди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция:  Связано это с тем, что параметр bв ней имеет четкое экономическое истолкование, т. е. он являетсякоэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента bпоказывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %. Например, если зависимость спроса от цен характеризуется уравнением вида  , то с увеличением цен на 1 % спрос снижается в среднем на 1,12 %.В силу того, что коэффициент эластичности для нелинейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения х, то обычно рассчитывается средний показатель эластичностипо формуле:  Поскольку коэффициенты эластичности представляют экономический интерес, а виды моделей не ограничиваются только степенной функцией, приведем формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессии. Коэффициенты эластичности по разным видам регрессионных моделей. 1.Линейная  .2. Парабола 2 порядка  .3. Гипербола  .4. Показательная  .5. Степенная  .6. Полулогарифмическая  .7. Логистическая  .8. Обратная  .       Недостатком коэффициента детерминации является то, что он увеличивается при добавлении новых объясняющих переменных, что необязательно означает улучшение качества регрессионной модели. По этой причине, для устранения этого недостатка, на практике чаще используется скоректированный коэффициент детерминации. В случае линейной зависимости коэффициент детерминации R2 и выборочный коэффициент корреляции rxy связаны соотношением r2xy = R2.    Модель зависимости объемов продаж компании от расходов на рекламу имеет вид y = -0,31 + 1,5 x t + 3 x t-1 + 4,5 x t-2 + 0,5 x t-3 Краткосрочный, долгосрочный мультипликатор и средний лаг равны: —краткосрочный 0,5, долгосрочный 9,2, средний лаг 2,3 +—краткосрочный 1,5, долгосрочный 9,5, средний лаг 0,791 —краткосрочный -0,67, долгосрочный 9,2, средний лаг 0,7 15.Спецификация эмпирического уравнения линейной модели множественной регрессии. Что измеряют коэффициенты регрессии линейной модели множественной регрессии? Линейная модель множественной регрессии. Эмпирическая форма записи: На любой экономический показатель чаще всего оказывает влияние не один, а несколько факторов. Например, спрос на некоторое благо определяется не только ценой данного блага, но и ценами на замещающие и дополняющие блага, доходом потребителей и многими другими факторами. В этом случае вместо парной регрессии рассматривается множественная регрессия Основной целью множественной регрессии является по строение модели с большим числом факторов, а также определение влияния каждого фактора в отдельности и совокупного их воздействия на моделируемый показатель. . Большая часть анализа является непосредственным расширением парной регрессионной модели, но здесь также появляются и некоторые новые проблемы, из которых следует выделить две. Первая проблема касается исследования влияния конкретной независимой переменной на зависимую переменную, а также разграничения её воздействия и воздействий других независимых переменных. Второй важной проблемой является спецификация модели, которая состоит в том, что необходимо ответить на вопрос, какие факторы следует включить в регрессию (1), а какие – исключить из неё. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||