семинар 2. Этапы и методы его формирования Стоит отметить, что данная тема для углубленного изучения
 Скачать 0.76 Mb.
|
|
Тема: Сущность и роль вероятностного (содержательного, субъективного) подхода к определению количества информации, этапы и методы его формирования. Этапы и методы его формирования Стоит отметить, что данная тема для углубленного изучения. В учебной литературе она изучается только у Семакина в 7 классе в качестве дополнения к 1 главе Основные цели: Дать учащимся представление о подходе к измерению информации с содержательной точки зрения. Ввести единицу измерения информации — бит. Научить детей вычислять количество информации в частном случае сообщения о событии с известной вероятностью (из данного конечного множества). Изучаемые вопросы: Количество информации в сообщении об одном из N равновероятных событий. От чего зависит информативность сообщения, принимаемого человеком. Единица измерения информации Количество информации в сообщении об одном из N равновероятных событий. Этапы: С позиции содержательного подхода просматривается следующая цепочка понятий: информация — сообщение — информативность сообщения — единица измерения информации — информационный объем сообщения. Рассмотрим более подробно каждый из них. Вопрос об измерении информации необходимо раскрывать в контексте рассматриваемого подхода к определению информации. При субъективном подходе информация – это сведения, знания, которые человек получает из различных источников. То есть информация рассматривается с субъективной точки зрения, с точки зрения конкретного человека. Исходная посылка получается: информация — это знания людей. Следующий вопрос: что такое сообщение? Сообщение — это информационный поток, который в процессе передачи информации поступает к принимающему его субъекту. Сообщение — это и речь, которую мы слушаем (радиосообщение, объяснение учителя), и воспринимаемые нами зрительные образы (фильм по телевизору, сигнал светофора), и текст книги, которую мы читаем и т.д. Правило: информативным назовем сообщение, которое пополняет знания человека, т. е. несет для него информацию. Для разных людей одно и то же сообщение, с точки зрения его информативности, может быть разным. Если сведения «старые», т. е. человек это уже знает, или содержание сообщения непонятно человеку, то для него это сообщение неинформативно. Таким образом, сообщение информативно (содержит ненулевую информацию), если оно пополняет знания человека. В этом случае количество информации в сообщении не равно нулю, если сообщение пополняет знания человека. Вопрос об информативности сообщения следует обсуждать на примерах, предлагаемых учителем и учениками. Например, учитель может предложить: прогноз погоды на завтра – информативное сообщение, а сообщение о вчерашней погоде неинформативно: нам это уже известно; 2×2=4 информативно для первоклассника, изучающего таблицу умножения, и неинформативно для старшеклассника. Сообщение несет информацию для человека, если содержащиеся в нем сведения являются для него новыми и понятными. Особенность: Нельзя отождествлять понятия «информация» и «информативность сообщения». Следующий пример иллюстрирует различие понятий. Вопрос: «Содержит ли информацию вузовский учебник по высшей математике с точки зрения первоклассника?». Ответ: «Да, содержит с любой точки зрения! Потому что в учебнике заключены знания людей: авторов учебника, создателей математического аппарата (Ньютона, Лейбница и др.), современных математиков». Эта истина — абсолютна. Другой вопрос: «Будет ли информативным текст этого учебника для первоклассника, если он попытается его прочитать? Иначе говоря, может ли первоклассник с помощью этого учебника пополнить собственные знания?» Очевидно, что ответ отрицательный. Дополнительно: При объяснении этой темы можно предложить ученикам поиграть в своеобразную викторину. Например, учитель предлагает детям перечень вопросов, на которые они молча записывают ответы на бумагу. Если ученик не знает ответа, он ставит знак вопроса. После этого учитель дает правильные ответы на свои вопросы, а ученики, записав ответы учителя, отмечают, какие из них оказались для них информативными (+), какие — нет (—). При этом для сообщений, отмеченных минусом, нужно указать причину отсутствия информации: не новое (это я знаю), непонятное. Например, список вопросов и ответы одного из учеников могут быть следующими.
Введение понятия «информативность сообщения» является первым подходом к изучению вопроса об измерении информации в рамках содержательной концепции. Если сообщение неинформативно для человека, то количество информации в нем, с точки зрения этого человека, равно нулю. Количество информации в информативном сообщении больше нуля. Для измерения информации нужна единица измерения, тогда мы сможем определять, в каком сообщении информации больше, в каком меньше. Единица измерения информации называется «бит». В учебнике дано следующее определение единицы информации: «Сообщение, уменьшающее неопределенность знаний в 2 раза, несет 1 бит информации». Немного дальше приводится определение для частного случая: «Сообщение о том, что произошло одно событие из двух равновероятных, несет 1 бит информации». Определение бита — единицы измерения информации может оказаться сложным для понимания учениками. В этом определении содержится незнакомое детям понятие «неопределенность знаний». Прежде всего нужно раскрыть его. Учитель должен хорошо понимать, что речь идет об очень частном случае: о сообщении, которое содержит сведения о том, что произошло одно из конечного множества (N) возможных событий. Лучше всего это пояснить на примерах. Допустим, вы бросаете монету, загадывая, что выпадет: орел или решка? Есть всего два варианта возможного результата бросания монеты. Причем, ни один из этих вариантов не имеет преимущества перед другим. В таком случае говорят, что они равновероятны. Так вот, в этом случае перед подбрасыванием монеты неопределенность знаний о результате равна двум. Игральный кубик с шестью гранями может с равной вероятностью упасть на любую из них. Значит, неопределенность знаний о результате бросания кубика равна шести. Следовательно, можно сказать так: Неопределенность знаний о некотором событии – это количество возможных результатов события. Теперь возвращаем детей к примеру, с монетой. После того, как вы бросили монету и посмотрели на нее, вы получили зрительное сообщение, что выпал, например, орел. Произошло одно из двух возможных событий. Неопределенность знаний уменьшилась в два раза: было два варианта, остался один. Значит, узнав результат бросания монеты, вы получили 1 бит информации. Еще одной сложностью является понятие равновероятности. Здесь следует воспользоваться интуитивным представлением детей, подкрепив его примерами. События равновероятны, если ни одно из них не имеет преимущества перед другими.С этой точки зрения выпадения орла и решки — равновероятны; выпадения каждой из шести граней кубика — равновероятны. Полезно привести примеры и неравновероятных событий. Например, в сообщении о погоде в зависимости от сезона сведения о том, что будет дождь или снег могут иметь разную вероятность. Летом наиболее вероятно сообщение о дожде, зимой — о снеге, а в переходный период (в марте или ноябре) они могут оказаться равновероятными. Понятие «более вероятное событие» можно пояснить через родственные понятия: более ожидаемое, происходящее чаще в данных условиях. В рамках базового курса не ставится задача понимания учениками строгого определения вероятности, умения вычислять вероятность. Но представление о равновероятных и неравновероятных событиях должно быть ими получено. Ученики должны научиться приводить примеры равновероятных и неравновероятных событий. При наличии учебного времени полезно обсудить с учениками понятия «достоверное событие» — событие, которое обязательно происходит, и «невозможное событие». От этих понятий можно оттолкнуться, чтобы ввести интуитивное представление о мере вероятности. Достаточно сообщить, что вероятность достоверного события равна 1, а невозможного — 0. Это крайние значения. Значит, во всех других «промежуточных» случаях значение вероятности лежит между нулем и единицей. В частности, вероятность каждого из двух равновероятных событий равна  . Возвращаясь к вопросу об измерении количества информации, заключенной в сообщении об одном из N равновероятных событий, предлагаю следующую логическую цепочку раскрытия темы. Объяснение удобно начать с частного определения бита как меры информации в сообщении об одном из двух равновероятных событий. Обсуждая традиционный пример с монетой (орел — решка), следует отметить, что получение сообщения о результате бросания монеты уменьшило неопределенность знаний в два раза: перед подбрасыванием монеты было два равновероятных варианта, после получения сообщения о результате остался один единственный. Далее следует сказать, что и для всех других случаев сообщений о равновероятных событиях при уменьшении неопределенности знаний в два раза передается 1 бит информации. Примеры, приведенные в учебнике, учитель может дополнить другими, а также предложить ученикам придумать свои примеры. Индуктивно, от частных примеров учитель вместе с классом приходит к обобщенной формуле: 2i = N. Здесь N — число вариантов равновероятных событий (неопределенность знаний), а i — количество информации в сообщении о том, что произошло одно из N событий. Количество информации i, содержащейся в сообщении о том, что произошло одно из N равновероятных событий, определяется из решения показательного уравнения: 2i=N Если N— известно, а i является неизвестной величиной, то данная формула превращается в показательное уравнение. Как известно, показательное уравнение решается с помощью функции логарифма: i= log2N. Здесь учителю предоставляются два возможных пути: либо с опережением уроков математики объяснить, что такое логарифм, либо «не связываться» с логарифмами. Во втором варианте следует рассмотреть с учениками решение уравнения для частных случаев, когда N есть целая степень двойки: 2, 4, 8, 16, 32 и т.д. Объяснение происходит по схеме: Если N = 2 = 21, то уравнение принимает вид: 2i = 21, отсюда i = 1. Если N = 4 = 22, то уравнение принимает вид: 21 = 22, отсюда i = 2. Если N = 8 = 23, то уравнение принимает вид: 2i = 23, отсюда i = 3 и т. д. В общем случае, если N = 2k, где k — целое число, то уравнение принимает вид 2i = 2kи, следовательно, i = k. Ученикам полезно запомнить ряд целых степеней двойки хотя бы до 210 = 1024. С этими величинами им предстоит еще встретиться в других разделах. Для тех значений N, которые не являются целыми степенями двойки, решение уравнения 2i = N можно получать из приведенной в учебнике таблицы. Совсем не обязательно говорить ученикам, что это таблица логарифмов по основанию 2. Например, желая определить, сколько же бит информации несет сообщение о результате бросания шестигранного кубика, нужно решать уравнение: 2i = 6. Поскольку 22 < 6 < 23, то следует пояснить ученикам, что 2 < i < 3. Заглянув в таблицу, узнаем (с точностью до пяти знаков после запятой), что i = 2,58496 бит.  Примеры решения задач Задачи по теме «Измерение информации. Содержательный подход» связаны с использованием уравнения 2i = N. Возможны два варианта условия задачи: 1) дано N, найти i; 2) дано i, найти N. В случаях, когда N равно целой степени двойки, желательно, чтобы ученики выполняли вычисления «в уме». Как уже говорилось выше, полезно запомнить ряд целых степеней числа 2 хотя бы до 210. В противном случае следует использовать таблицу решения уравнения 2i = N, в которой рассматриваются значения N от 1 до 64. Для изучения базового курса предлагаются задачи, связанные с сообщениями о равновероятных событиях. Ученики должны это понимать и обязательно качественно обосновывать, используя термин «равновероятные события». Пример 1. Сколько бит информации несет сообщение о том, что из колоды в 32 карты достали даму пик? Решение. При случайном вытаскивании карт из перемешанной колоды ни одна из карт не имеет преимущества быть выбранной по сравнению с другими. Следовательно, случайный выбор любой карты, в том числе и дамы пик — события равновероятные. Отсюда следует, что неопределенность знаний о результате вытаскивания карты равна 32 — числу карт в колоде. Если i — количество информации в сообщении о результате вытаскивания одной карты (дамы пик), то имеем уравнение: 2i = 32. Поскольку 32 = 25, то, следовательно, i = 5 бит. На тему данной задачи учитель может предложить еще несколько заданий. Например: сколько информации несет сообщение о том, что из колоды карт достали карту красной масти? (1 бит, так как красных и черных карт одинаковое количество). Сколько информации несет сообщение о том, что из колоды карт достали карту бубновой масти? (2 бита, так как всего в колоде 4 масти и количество карт в них равные). Пример 2. Проводится две лотереи: «4 из 32» и «5 из 64». Сообщение о результатах какой из лотерей несет больше информации? Решение. У этой задачи есть «подводный камень», на который может натолкнуться учитель. Первый путь решения тривиальный: вытаскивание любого номера из лотерейного барабана — события равновероятные. Поэтому в первой лотерее количество информации в сообщении об одном номере равно 5 бит (25 = 32), а во второй — 6 бит (2б = 64). Сообщение о четырех номерах в первой лотерее несет 54 = 20 бит. Сообщение о пяти номерах второй лотереи несет 65 = 30 бит. Следовательно, сообщение о результатах второй лотереи несет больше информации, чем о результатах первой. Но возможен и другой путь рассуждения. Представьте себе, что вы наблюдаете за розыгрышем лотереи. Выбор первого шара производится из 32 шаров в барабане. Результат несет 5 бит информации. Но 2-й шар будет выбираться уже из 31 номера, 3-й — из 30 номеров, 4-й — из 29. Значит, количество информации, которое несет 2-й номер, находится из уравнения: 2i = 31. Используя таблицу решения этого уравнения, находим: i = 4,95420 бит. Для 3-го номера: 2i = 30; i = 4,90689 бит. Для 4-го номера: 2i' = 29; i = 4,85798 бит. В сумме получаем: 5 + 4,95420 + 4,90689 + 4,85798 = = 19,71907 бит. Аналогично и для второй лотереи. Конечно, на окончательном выводе такие подсчеты не отразятся. Можно было вообще, ничего не вычисляя, сразу ответить, что второе сообщение несет больше информации, чем первое. Но здесь интересен сам путь вычислений с учетом «выбывания участников». Последовательность событий в этом случае не является независимой друг от друга (кроме первого). Это, как мы увидели, отражается в различии информативности сообщений о каждом из них. Первый (тривиальный) вариант решения задачи получен в предположении независимости событий и является в таком случае неточным. Основные понятия: Содержательный подход позволяет измерить объём информации в сообщении о том, что произошло одно из N событий. Сообщение о том, что произошло одно из двух равновероятных событий несет 1 бит информации. Для определения количества информации (i), содержащейся в сообщении о том, что произошло одно из N равновероятных событий, нужно решить показательное уравнение: N = 2 |