Курсовая на тему Системы линейных уравнений и их решения. Курсовая Халиуллина. Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
 Скачать 1.09 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный педагогический университет» (ТГПУ) Физико-математический факультет Кафедра математики, теории и методики обучения математике СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЙ Курсовая работа по дисциплине «Алгебра» Выполнила студентка Халиуллина Алина Рафаиловна физико-математический факультет, 482 группа Руководитель курсовой работы: Шайдо Юлия Александровна доцент кафедры МТиМОМ, к.физ.-мат.н Томск – 2020 г. 2 Оглавление Введение .................................................................................................................. 3 Глава I. Введение в теорию систем линейных уравнений .................................. 4 1.1.Фундаментальные понятия и теоремы теории систем линейных уравнений ............................................................................................................... 4 1.1.1. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий совместности общей системы линейных уравнений .......................................................................... 6 1.1.2. Исследование однородной системы линейных уравнений ............... 7 1.1.3. Общие решения однородной и неоднородной систем линейных уравнений ......................................................................................................... 10 Глава II. Основные методы решения систем линейных уравнений ................ 11 2.1. Матричный метод ...................................................................................... 11 2.2. Метод Гаусса .............................................................................................. 15 2.3. Метод Крамера ........................................................................................... 19 Заключение ............................................................................................................ 24 Список литературы ............................................................................................... 26 3 Введение Системы линейных уравнений (употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) и методы их решения изучаются еще в школьном курсе математики, но недостаточно широко. Именно поэтому необходимо уделить особое внимание более углубленному изучению данной темы в курсе «Алгебра» студентами, обучающимся по программе «Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки), «Математика» и «Информатика»; «Математика» и «Физика»» в ТГПУ. Ведь теория систем линейных уравнений используется для решения экономических задач, задач на движение и расчет электронных цепей в физике, а также находит особое применение в линейном программировании. Гипотеза исследования: СЛУ можно эффективно решить множеством различных способов. Целью данной работа является обобщение теории, полученной мной еще на 1 курсе, а также ее закрепление с помощью практики. Задачи работы: 1)изучить теоретические основы и методы решения систем линейных уравнений; 2)рассмотреть примеры решения систем линейных уравнений изученными методами. 4 Глава I. Введение в теорию систем линейных уравнений 1.1.Фундаментальные понятия и теоремы теории систем линейных уравнений Общая система m линейных уравнений с n неизвестными записывается в виде: (1) где х 1 , х 2 , …, – неизвестные действительные числа, а 11 , а 12 , …, а mn – коэффициенты при неизвестных системы, а , , …, - её свободные члены. Рассмотрим индексы коэффициентов системы а ij (i = 1, 2,…,m; j = 1, 2,...,n) и свободные члены b i (i=1, 2,…,m). Индекс i коэффициента а ij соответствует номеру уравнения, а индекс j - номеру неизвестной х i при данном коэффициенте. Индекс i свободного члена b i соответствует номеру уравнения, в которое входит данное b i Решением СЛУ вида (1) будет называться совокупность чисел ( ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных (х 1 , х 2 , …, ) дает тождество. Представим вышеприведенную систему (1) в матричном виде или в виде матричного уравнения: , где – матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных; – матрица-столбец, элементами которой являются свободные члены; 5 – матрица-столбец, элементами которой являются неизвестные. ; ; ; Матрица называется матрицей системы, а матрица – расширенной матрицей системы. Получена она была путем присоединения к матрицы столбца . Далее определим базовую классификацию систем линейных уравнений. Две системы линейных уравнений являются равносильными или эквивалентными в случае если они имеют одно и то же множество решений. Преобразования, приводящие к равносильным или эквивалентным системам: 1)перемена местами двух любых уравнений, 2)умножение всех частей любого уравнения в системе на произвольное число не равное нулю, 3)сложение обеих частей любого уравнения с соответствующими частями другого уравнения, умноженных на любое действительное число. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Если решение одно, то система называется определенной. Если же решений множество, то система неопределенная. 6 Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. 1.1.1. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий совместности общей системы линейных уравнений Пусть дана общая система m линейных уравнений с n неизвестными. Определим признак который делает ее совместной, то есть указывает на наличие решений. Построим матрицу системы и расширенную матрицу: , Введем понятие ранга и минора матрицы. Ранг матрицы – это наибольшее число линейно-независимых строк (или столбцов) матрицы. Минор– определитель, составленный из элементов, состоящих на пересечении произвольно выделенных k строк и k столбцов данной матрицы или определителя. Минор r-го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры (r+1)-гo порядка равны нулю или их вообще не существует. ТЕОРЕМА (ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ). Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений являлась совместной необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы , т.е . Доказательство. Необходимость. 7 Предположим, что система совместна. Тогда существуют такая совокупность решений , при подстановке которых вместо х 1 , х 2 , …, справедливы выражения (2): (2) Следовательно, столбец свободных членов из компонент , , …, есть линейная комбинация всех остальных столбцов , ,…, с коэффициентами матрицы . Из свойств ранга матрицы известно, что если из системы его столбцов вычеркнуть столбец, который является линейной комбинацией других столбцов, то ранг не изменится. Вычеркнем последний столбец расширенной матрицы из компонент , , …, и из матрицы получаем матрицу . Таким образом делаем вывод, что если – решение системы, то Достаточность. Пусть Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Логично, что он будет базисным минором и для . Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы , , …, будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть всех столбцов матрицы . И вновь будут справедливы выражения (2) Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы . Теорема доказана. 1.1.2. Исследование однородной системы линейных уравнений 8 Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система, которая состоит лишь из таких уравнений, сама называется однородной. (3) Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная система линейных уравнений всегда решаема (то есть является совместной), поскольку ее расширенная матрица отличается от основной последним нулевым столбцом, что не меняет ее рангового свойства. Ясно, что каждая однородная СЛАУ имеет нулевое решение . Это доказывается с помощью непосредственной подстановки. Необходимо выяснить имеет ли она ненулевые решения. ТЕОРЕМА. Для того чтобы однородная система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n (r Доказательство. Необходимость Пусть система (3) имеет ненулевое решение. Тогда система автоматически становится неопределенной, так как она обязательно имеет нулевое решение. Ранг матрицы системы не может быть равен числу неизвестных, так как система имела бы тогда лишь одно решение. Соответственно ранг . А также ранг матрицы системы не может быть больше числа неизвестных. Поэтому . 9 Достаточность. Пусть Как мы доказали ранее система имеет множество решений и только одно из них нулевое, значит остальные решения ненулевые. Теорема доказана. Далее рассмотрим однородную СЛУ с квадратной матрицей системы. (4) ТЕОРЕМА. Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю. Пусть . Применяем правило Крамера к системе (4) и видим что для однородной системы все =0, т.к каждый из этих определителей будет содержать столбец, состоящий из нулей Запишем систему, равносильную системе (4) в следующем виде: Из этой системы следует, что однородная система имеет единственное нулевое решение, когда . В противном же случае (то есть при такая система имеет множество ненулевых решений. Теорема доказана. В случае бесконечного множества решений встаёт вопрос о виде общего решения однородной системы. 10 Введем некоторые важные при решении однородной СЛУ понятия и теорему. Множество ненулевых решений х 1 , х 2 , …, однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений(ФСР) при условии, что х 1 , х 2 , …, – линейно независимые, а также если любое ненулевое решение из множества можно представить в виде линейной комбинации остальных следующим образом: ТЕОРЕМА (О ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ РЕШЕНИЙ). Если r ранг матрицы системы однородной СЛУ. Примем данную теорему без доказательства. Фундаментальная система решений обозначается следующим образом: ФСР называется нормированной, если получается с общего решения, когда свободным переменным последовательно придаются значения: ; ; ;…; 1.1.3. Общие решения однородной и неоднородной систем линейных уравнений Общее решение для однородной системы уравнений: 11 в этом случае – свободные постоянные; , – фундаментальная система решений. Неоднородной принято считать систему в которой есть хотя бы один свободный член, не равный 0. Общее решение для неоднородной системы линейных уравнений : одн неодн где одн общее решение соответствующей однородной системы, а неодн произвольное частное решение неоднородной системы. Глава II. Основные методы решения систем линейных уравнений 2.1. Матричный метод Пусть нам дана следующая СЛАУ: (8) Название метода говорит само за себя. Приведем систему (8) к матричному виду , где как мы уже разобрали ; ; 12 На данном этапе мы можем предположить, что матрица имеет обратную матрицу , т.е. A =0; Далее умножим матричное уравнение на и получим . (9) По определению обратной матрицы имеем , при этом является единичной матрицей. Следовательно выражение (9) можем записать так: (10) Так как =X , то выражение (10) принимает следующий вид: (11) Таким образом, делаем вывод о том, что для решения СЛАУ (8) достаточно выполнить умножение обратной матрицы на столбец свободных членов Рассмотрим примеры решения СЛУ матричным методом: Пример 1. Решить систему уравнений матричным методом: Решение. Запишем эту систему в матричном виде . Получится следующее: 13 Составим для матрицы обратную ей. Для этого найдем определитель матрицы системы 3 4 (-1) + (-2) (-2) 2 + 4 3 (-1) - 4 4 2 – 3 (-2) (-1) - (-2) 3 (-1) = -12 + 8 - 12 - 32 - 6 - 6 = -60. Определитель матрицы отличен от нуля, значит обратная матрица существует. Для вычисления обратной матрицы найдем дополнительные миноры и алгебраические дополнения матрицы 1)Найдем минор M 11 и алгебраическое дополнение A 11. Для этого вычеркнем первую строку и первый столбец. M 11 ; A 11 M 11 = 2)По тому же принципу найдем минор M 12 и алгебраическое дополнение A 12 . Вычеркнем столбец и строку на пересечении которых находится a 12 , то есть первую строку и второй столбец. M 12 ; A 12 M 11 = По этому алгоритму находим остальные алгебраические дополнения. A 13 = A 21 = A 22 = A 23 = A 31 = A 32 = A 33 = 14 Сразу же найдем транспортированную матрицу Обратная матрица: Найдем решение: ; X = = Ответ: ; Важно заметить, что обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, это означает, что матричный метод можно использовать решать только для решения систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. 15 2.2. Метод Гаусса Метод Гаусса – метод решения систем линейных уравнений. Данный метод исключает необходимость делать предварительную проверку системы уравнений на совместность. Еще одним плюсом метода Гаусса является возможность решать как системы с совпадающими по количеству уравнениями и переменными, так и противоположные им, где количество уравнений не совпадает с количеством неизвестных. Рассмотрим прямой и обратный ходы Гаусса. Интерпретируем их. Прямой ход Гаусса – процесс последовательного исключения неизвестных. Обратный ход Гаусса – процесс последовательного нахождения неизвестных от последнего уравнения к первому. Рассмотрим алгоритм метода Гаусса. Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными (12) и определитель матрицы этой системы не равен нулю. Также a 11 не равен 0. Этого всегда можно добиться перестановкой уравнений. Теперь исключим все переменные из всех уравнений, кроме первого и прибавим ко второму уравнение первое, умноженное на . И так 16 последовательно (то есть прибавить к третьему первое, умноженное на и т.д.). Получим где Проделаем аналогичные действия относительно следующих уравнений в системе. Считается, что не равен 0. Приступаем к исключению неизвестной переменной из всех уравнений, начиная с третьего. Прибавим к третьему уравнению второе, умноженное на . Прибавим к четвертому второе, умноженное на и т.д.. Получаем 17 где Приступаем к исключению неизвестной , действуя аналогично. В итоге получим: / После того как система приняла вид данный вид, можно начать обратный ход метода Гаусса. Он заключается в нескольких последовательных действиях: Cначала вычисляем из последнего уравнения как . С помощью находим из предпоследнего уравнения и т.д., в итоге находим из первого уравнения. Таким образом, систему решаем снизу вверх. В результате получится единственное решение или же множество решений, которые записываются в виде общего решения. Пример 2. Решить систему уравнений методом Гаусса: Видим, что коэффициент a 11 отличен от нуля, соответственно приступаем к прямому ходу, т.е к последовательному исключению 18 неизвестных по вышеприведенному алгоритму, начиная с Для того, чтобы это сделать, прибавляем к левой и правой частям 2-го уравнения левую и правую части 1-го, умноженные на , а к левой и правой части 3-го, левую и правую части 1-го, умноженные на ; Сгруппируем слагаемые с одинаковыми неизвестными переменными и сложим их соответственно. Мы успешно исключили неизвестную . Приступим к переменной Вновь сгруппируем слагаемые с одинаковыми неизвестными переменными и сложим их соответственно. Приступим к обратному ходу. В итоге мы имеем: 19 . Подставим полученное во второе уравнение системы и получим. Подставим полученные и в первое уравнение системы и находим последнюю переменную Ответ: ; 2.3. Метод Крамера Данный способ решения подходит для квадратных СЛАУ с ненулевым определителем матрицы системы. Мы уже упоминали его при исследовании однородных систем уравнения, а теперь рассмотрим более подробно. Пусть дана система Вспомним матричный вид записи такой системы , где ; ; 20 Если мы говорим о методе Крамера, то мы основываемся на двух свойствах определителя матриц: 1) Определитель матрицы cистемы равняется сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения: a p 1 A p 1 + a p2 A p2 +.....+ a pn A pn = a 1q A 1q + a 2q A 2 + +.....+ a nq A nq 2) Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю: a p 1 A p 1 + a p2 A p2 +...+ a pn A pn =0; a 1q A 1q + a 2q A 2q +...+ a nq A nq =0 , где p=1, 2, ..., n, q=1, 2, ..., n, p не р ≠ q. Выведем основные формулы, используемые при решении методом Крамера. Найдем переменную . Для этого умножим уравнения системы на соответствующие им алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы : Складываем левые части уравнений системы, группируя слагаемые при неизвестных, и приравниваем получившуюся в итоге сумму к сумме правых частей уравнения: 21 ( … + 1 2+ + 1 1 1+ 1 2 2+ … + 1 = 11 1++ 12 2+ + 13 3. Обратимся к свойствам определителя и получим: Также будет справедлива следующая запись: Вычислим Аналогичным образом находим остальные неизвестные. Введем следующие обозначения: 22 Эти определители получены из матрицы путем замены k-столбца на матрицу-столбец свободных членов. Введение этих обозначений помогает получить формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера. Запишем их. Напишем четкий алгоритм решения СЛУ методом Крамера и рассмотрим пример. 1) Вычислить определитель матрицы системы и убедиться в том, что он не равен 0; 2) Найти определители и ; 3) Вычислить неизвестные переменные при помощи формул: 4)Записать общее решение. Пример 3. Решить систему уравнений методом Крамера: Найдем определитель матрицы системы : 1 (-1) (-1) + 2 3 3 + 5 1 (-6) – 5 (-1) 3 – 1 3 (-6) – 2 1 (-1) = 1 +18 - 30 + 15 + 18 + 2 = 24. 23 , значит система имеет решения. Найдем определители (-9) (-1) (-1) + 2 3 25 + 5 2 (-6)-5 (-1) 25 -(-9) 3 (-6) -2 2 (-1)= -9 + 150 - 60 + 125 - 162 + 4 = 48. 1 2 (-1) + (-9) 3 3 + 5 1 25 – 5 2 3 – 1 3 25 - (-9) 1 (-1) = -2 - 81 + 125 - 30 - 75 - 9 = -72. =1 (-1) 25 + 2 2 3 + (-9) 1 (-6) - (-9) (-1) 3 - 1 2 (-6) - 2 1 25 = -25 + 12 + 54 - 27 + 12 - 50 = -24. Найдем неизвестные переменные при помощи формул. ; ; Ответ: ; 24 Заключение В представленной работе были исследованы теоретические основы, а также практически применялись различные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. В процессе выполнения работы были решены следующие задачи: 1) изучена теория систем линейных уравнений: введены основные понятия, доказана теорема Кронекера-Капелли, исследованы однородные системы линейных уравнений, изучены и основные методы решения СЛУ: матричный, Крамера и Гаусса; 2) рассмотрены примеры решения систем линейных уравнений изученными методами. После изучения теории СЛУ и основных методов их решения были сделаны следующие выводы. Теорема Кронекера-Капелли является важнейшим инструментом для исследования систем линейных уравнений на наличие решений. Для того, чтобы однородная система имела только тривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся количеству неизвестных системы. Для того, чтобы однородная система имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был меньше количества неизвестных системы. Методы матричный и Крамера основаны на действиях с матрицами и определителями. Важно знать, что эти с помощью этих методов можно произвести решение лишь систем линейных уравнений, в которых число неизвестных переменных равняется числу уравнений. С ростом числа уравнений в системе процесс нахождения решения становится более 25 трудоемким, так происходит по причине обязательного вычисления обратной матрицы определителей матриц. Метод Гаусса имеет более универсальное применение. Найти решение системы методом Гаусса гораздо легче по сравнению с матричным методом и методом Крамера, потому что существует возможность решать как системы с совпадающими по количеству уравнениями и неизвестными переменными, так и противоположные им, где количество уравнений не совпадает с количеством неизвестных. Таким образом, задачи выполнены, и поставленная цель исследовательской работы достигнута. Знания, приобретенные в процессе выполнения работы актуальны, и будут мной использованы для продолжения образования в ВУЗе, а также в будущей профессиональной деятельности. 26 Список литературы 1. Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д. В. Беклемишев. – Москва : «Физматлит», 2008. – 307 c. – ISBN 978-5-9221- 0979-6. – URL: https://e.lanbook.com/book/48199 , свободный. (дата обращения: 11.04.2020). 2. Винберг, Э. Б. Курс алгебры / Э. Б. Винберг. – 2-е изд., испр. и доп. – Москва : «Факториал Пресс», 2001. – 544 с. – URL: https://goo.su/0Who , свободный. (дата обращения: 12.04.2020). 3. Газизов, Т. Р. Итерационные методы решения СЛАУ с плотной матрицей: учебное методическое пособие / Т. Р. Газизов, C. П. Куксенко. – Томск : кафедра ТУ, ТУСУР, 2012. – 59 с. URL: https://textarchive.ru/c-1231422.html , свободный. (дата обращения: 14.04.2020). 4. Демидович, Б. П. Краткий курс высшей математики : учебное пособие / Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. – Москва : АСТ; Астрель, 2001. – 656с. – ISBN 5-17-004601-4. – URL: https://may.alleng.org/d/math/math418.htm , свободный. (дата обращения: 14.04.2020). 5. Ильин, В. А. Высшая математика: учебник / В. А. Ильин, А. В. Куркина. – Москва : ОО «ТК Велби», 2002. – 592 с. – ISBN 5-902171-29-6. – URL: https://may.alleng.org/d/math-stud/math-st856.htm , свободный. (дата обращения: 12.04.2020). 6. Кострикин, А. И. Введение в алгебру. В 3-х частях. Часть II. Линейная алгебра: Учебник для вузов / А. И. Кострикин. – Москва : «Физико- математическая литература», 2000. 368 с. – ISBN 5-9221-0018-1. – URL: https://vk.com/doc-145125017_459148313 , свободный. (дата обращения: 13.04.2020). 27 7. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. – Санкт-Петербург : «Лань», 2011. – 432 c. – ISBN 978-5-8114-0521-3. 8. Математический энциклопедический словарь / С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков [и др.], под ред. Ю. В. Прохорова. – Москва : «Советская энциклопедия», 1988. – 847 c. – URL: http://en.bookfi.net/book/770058 , свободный. (дата обращения: 13.04.2020). 9. Неоднородные системы линейных уравнений. Лекция 15 [Электронный ресурс] // Студопедия. Информационный студенческий ресурс : сайт. – URL: https://clck.ru/NfPx7 (дата обращения: 12.04.2020). 10. Система линейных алгебраических уравнений [Электронный ресурс] // Википедия. Свободная энциклопедия : сайт. – URL: https://goo.su/0wKj (дата обращения: 11.04.2020). 11. Фундаментальная система решений [Электронный ресурс] // Википедия. Свободная энциклопедия : сайт. – URL: https://goo.su/0WJx (дата обращения: 11.04.2020). 28 29 30 31 |