Философия математики
 Скачать 120 Kb.
|
|
ЗАПАДНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ДЕПАРТАМЕНТА ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №37 ПРОЕКТНАЯ РАБОТА по теме: «Философия математики» Авторы работы: Лихачева Жанна Витальевна, Белолипецкая Анастасия Игоревна, ученицы 10 класса Научный руководитель: Шмакова Екатерина Геннадьевна, учитель математики Москва 2010 Оглавление
Введение Для того чтобы ориентироваться в мире необходимо адекватно воспринимать действительность, воспроизводить её в сознании. Это воспроизведение и составляет суть познавательного отношения к миру. Познавательное отношение человека к действительности представляет собой необходимую сторону всей системы его отношений к миру, а возможность адекватного воспроизведения реальности - мировоззренческую проблему. Познавая мир человечество получило знания. Знания являются основой деятельности, и чем больше человек знает, «тем больше он может преобразовывать окружающую его действительность»[6]. Обучение в школе связано с изучением разных дисциплин. Одной из них является математика. Изучая биографии известных математиков, мы узнали, что в процессе познания они не ограничивали себя только областью математики. Современники их считали философами. Поэтому у нас возник вопрос о том, как связана математика с философией, так как именно философия изучает познавательную деятельность. В настоящее время происходит интенсивное развитие различных специальных наук, исследующих познание: когнитивной психологии (психологии, изучающей познавательные процессы), логики и методологии научного познания, истории науки, науковедения, социологии знания и т.д. Все эти науки вносят ценный вклад в изучение познания, рассматривая его отдельные аспекты. Мы захотели узнать, а какова роль математики в познании окружающего мира, поэтому была поставлена цель проекта: определить, приводит ли изучение математики к познавательному изучению мира, к философии или философское познание окружающей действительности находит объяснение в математических теориях, установить связи между философией и математикой. Данная цель позволила сформулировать гипотезу: серьёзное изучение математики, науки о количественных и пространственных соотношениях реального мира путём идеализации необходимых для этого свойств объектов и формализации этих задач, приводит к изучению философии как особого способа познания. Для того чтобы достичь поставленной цели, мне необходимо решить следующие задачи: Изучить биографии известных математиков Древней Греции, Рима и проанализировать их исследования в области математики и философии. Рассмотреть взаимосвязь между философией и математикой. Выявить такое направление как философия математики. Метод проведения исследования – теоретический, который заключается в анализе научной и специальной литературы по проблеме исследования. Исследование выполнялось в соответствии с намеченным планом. План выполнения исследования: На первом этапе исследования были изучены биографии известных математиков Древней Греции, Рима и проанализированы их исследования в области математики и философии, были выбраны рабочие определения философии и математики в контексте данного исследования. На втором этапе исследования была обнаружена взаимосвязь между философией и математикой, выявлено такое направление как философия математики. На третьем этапе исследования была подтверждена гипотеза и сделан вывод о том, что исследование завершено. Глава I. Биография известных математиков Древней Греции, Рима и анализ их исследований в области математики и философии I.I. Представления о математике и философии Мы постарались выбрать наиболее актуальные, рабочие понятия. Математика – это наука, исторически основанная на решении задач о количественных и пространственных соотношениях реального мира путём идеализации необходимых для этого свойств объектов и формализации этих задач. Философия переводится с древнегреческого как любовь к мудрости. Это наиболее общая теория, одна из форм мировоззрения, одна из наук, одна из форм человеческой деятельности, особый способ познания. Общепринятого определения философии, равно как общепринятого представления о предмете философии, не существует. В истории существовало множество различных типов философии, отличающихся как своим предметом, так и методами. В самом общем виде под философией понимают деятельность, направленную на постановку и рациональное разрешение наиболее общих вопросов, касающихся сущности знания, человека и мира. Но самое важное то, что философия – это нахождение человеком ответов на главные вопросы своего бытия. Математика – это изучение закономерностей мира, абстрагируясь от их конкретных проявлений. Философия – это обостренно совестливое отношение человека к окружающему миру. Математика – это «область человеческой деятельности, в которой мы пытаемся понять, что такое правильное мышление» [7]. Философия – это наука, эстетика, мораль. Высшее назначение математики, по Винеру, состоит в том, «чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает». А назначение философии - возвышение человека, обеспечение универсальных условий его совершенствования. I.II.Философские и математические открытия учёных Древнего мира Вклад Аристотеля. Он пытался отличить предмет математики от предмета философии. При этом Аристотель различает "общую математику" и специальную математику - геометрию, астрономию. Специальные математические дисциплины занимаются отдельными областями сущего, поэтому они несопоставимы с философией, которая имеет дело со всем сущим, с бытием как таковым. Однако с философией сопоставима "общая математика", ибо "общая математика имеет отношение ко всему"[2]. Такая универсальная математика сопоставима с философией - обе науки имеют дело с сущим во всем его объеме. Надо сказать, что эта мысль Аристотеля не получила у него развития. Он сам математиком не был, математических работ не писал и математика в его представлении имеет дело с объектами неподвижными. Здесь следует оговорка, что речь идет о "некоторых отраслях" математики, не разъясняется: по-видимому, под другими отраслями имеется в виду исключительно астрономия, изучающая движения небесных тел. В целом, объявляя предметами математики неподвижные объекты, Аристотель отдает дань ограниченности античности в науке. Более прав он, считая, что объекты математики не существуют отдельно от материи. Проблема того, как и где существуют математические предметы, в центре внимания Аристотеля. Эту проблему он формулирует так: "Если существуют математические предметы, то они должны, либо находиться в чувственных вещах, как утверждают некоторые, либо быть отдельно от чувственных вещей (и это тоже некоторые говорят); а если они не существуют ни тем, ни другим путем, тогда они либо [вообще] не существуют, либо существуют в ином смысле: таким образом (в этом последнем случае) спорным у нас будет [уже] не то, существуют ли они, но каким образом [они существуют] " [2]. Аристотель, разумеется, не знал высшей математики, объекты которой как раз подвижны, поскольку там вводятся переменные величины и их зависимость друг от друга. Математика Аристотеля - статическая математика его эпохи. Ее предмет - натуральные числа, геометрические фигуры. Она не предназначена для изучения процессов и для открытия законов процессов, что стало делом науки нового времени. На этот вопрос Аристотель отвечает в том духе, что математические предметы не существуют ни отдельно от чувственных вещей как некие особые сущности, ни как таковые в самих чувственных вещах. Что касается первой возможности, то Аристотель говорит, что "предметы математики нельзя отделять от чувственных вещей, как это утверждают некоторые, и ... начало вещей - не в них" [2]. Аристотель вернул числа в вещи, но не по-пифагорейски, не путем наивного отождествления того и другого: в вещах находятся не сами числа, а такие их количественные и пространственные свойства, которые путем абстрагирующей работы мышления становятся в человеческом сознании числами, а также другими математическими предметами. Такова философия математики Аристотеля. Вклад Архимеда. Он (ок. 287-212 гг. до н. э.) родился в городе Сиракузы на острове Сицилия. Учился в Александрийской школе, но через некоторое время вернулся. Домой, в Сиракузы, он привез богатый опыт научных исследований в различных областях: математика, физика, астрономия, продолжил заниматься и делать открытия в инженерном деле. Связи с Александрийской школой он не прерывал. Большинство его работ написано в виде писем к его друзьям (Эратосфену, Конону, Досифею). В Сиракузах он живет без забот, он окружен почетом, вниманием и не нуждается в средствах. Впрочем, он мало думает о своем бытии, увлеченный вычислениями и изобретательством. В связи с этим он достиг больших успехов в математике. Математические открытия Архимеда. Первое – это «Задача о трисекции угла». Задача о делении угла на три равные части возникла из потребностей архитектуры и строительной техники. При составлении рабочих чертежей, разного рода украшений, многогранных колоннад, при строительстве, внутренней и внешней отделки храмов, надгробных памятников древние инженеры, художники встретились с необходимостью уметь делить окружность на три равные части, а это часто вызывало затруднения. Оригинальное и вместе с тем чрезвычайно простое решение задачи о трисекции угла дал Архимед. Второе – это Измерение круга . Задача о квадратуре круга заключается в следующем: построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Большой вклад в решение этой задачи внес Архимед. В своем трактате "Измерение круга" он доказывает сразу три теоремы. Третья последняя теорема интересна тем, чтоАрхимед получил верхнюю и нижнюю границы для числа путем последовательного рассмотрения отношений периметров к диаметру правильных описанных и вписанных в круг многоугольников, начиная с шестиугольника и кончая 96-угольником. Если приравнять верхней границе, то получим архимедово значение (архимедово число). Третье достижение – это Спираль Архимеда. Архимедова спираль плоская трансцендентная кривая. Она описывается точкой M, движущейся равномерно по прямой d, которая вращается вокруг точки O, принадлежащей этой прямой. В начальный момент движения M совпадает с центром вращения O прямой. Длина дуги между точками и площадь сектора, ограничиваемого дугой архимедовой спирали и двумя радиус-векторами и соответствующими углами. Четвертое – это Инфинитезимальные метод . В группу инфинитезимальных методов входят: метод исчерпывания, метод интегральных сумм, дифференциальные методы. Одним из самых ранних методов является метод интегральных сумм. Он применялся при вычислении площадей фигур, объемов тел, длин кривых линий. Дифференциальным методом Архимед находил касательную к спирали. Отношения Архимеда с философией. Во-первых, вклад Архимеда в геометрию неоценим, а древние философы считали геометрию самой главной среди наук, так как она изучала законы, применимые в любых случаях. Во-вторых, Архимед сумел ответить на вопрос, не поддавшийся ни одному философу: почему одни тела, попав в воду, плавают, а другие тонут? Камень весом в один килограмм идет ко дну, а пятидесятикилограммовое бревно нет? Архимед установил, что на всякое тело, погруженное в воду, действует выталкивающая сила. Величина этой силы равняется весу вытесненной этим телом воды. Если тело весит больше, чем вытесненная им вода, оно тонет. А если больше вес вытесненной воды, то плавает. Бревно вытесняет воды больше, чем маленький и тяжелый камень. Поэтому оно и держится на воде, а камень нет. Этот закон теперь называется законом Архимеда и остается одним из главных законов физики. Вклад Платона. Платон родился в 427г. до н.э. в Афинах. Особенно большое внимание он уделял задачам на построение. Высокая оценка математики определялась философскими установками Платона: он считал, что занятия математикой являются важным этапом на пути познания идеальных истин. Им впервые разработаны основные начала, на которых должна строиться геометрия, сформулированы основные методы доказательств, из которых до нас дошли "аналитико-синтетический метод" и "способ приведения к нелепости". В связи с решением задач на построение в платоновской школе выработалось понятие "о геометрическом месте точек", как о непрерывном ряде точек, удовлетворяющем определенному условию. Платон утверждал, что реальность и рациональность физического мира могут быть постигнуты только с помощью математики идеального мира. То, что идеальный мир устроен на математических началах, не вызывало сомнений. Математические законы платоники считали не только сущностью реальности, но и вечными и неизменными. Ему принадлежит ряд замечательных открытий, из которых выделяют следующие: 1) Способ находить стороны прямоугольного треугольника в рациональных числах. 2) Изобретение инструмента, при помощи которого механически решается вопрос о нахождении двух среднепропорциональных отрезков прямых между двумя данными. 3) Пополнил теорию иррациональных величин. 4) Продвинул вперед стереометрию, которая раньше отставала от планиметрии. 5) Подведение под геометрию логического фундамента. Платоники проводили резкое различие между миром вещей и миром идей. Тела и отношения в материальном мире несовершенны, преходящи и тленны, но существует другой, идеальный мир, в котором истины абсолютны и неизменны. Именно эти истины надлежит рассматривать философу. Вклад Демокрита. Он родился в городе Абдеры приблизительно в 460г. до н. э. Он целиком посвятил себя науке, а так же много путешествовал. Демокрит развил учение Левкиппа и превратил его в научную систему, заключавшую в себе учение о бытии и космосе, теорию познания, логику, этику, педагогику, математику, биологию и психологию. В своих философских воззрениях выступал с оппозиционной Элеатам точкой зрения в отношении мыслимости множества и мыслимости движения, однако полностью соглашался с ними в том, что истинно сущее бытие не может ни возникать, ни исчезать. Материализм Демокрита, что характерно практически для всех ученых той поры, является созерцательным и метафизическим. Достижения в математике. Демокриту приписывается ряд сочинений по математике. Древние считали, что он открыл, - правда не дав доказательств, - формулы для объема конуса и пирамиды (возможно, впрочем, что эти формулы принадлежали к числу сведений, приобретенных им в странах Востока). Геометрия строилась Демокритом, по-видимому, на основе идеи об атомистической структуре пространства: линии, поверхности, объемы считались им состоящими из большого числа конечных, но неделимых элементов. Вклад Пифагора Родился на острове Самосе в Эгейском море. Прославился своим учением о космической гармонии и переселении душ. Многое в учении Платона восходит к Пифагору и его последователям. Трудно и даже невозможно провести границу между идеями самого Пифагора и тем, что было привнесено его последователями, которые преклонялись перед его авторитетом, но в то же время приписывали ему позднейшие представления. Некоторые фундаментальные концепции, несомненно, принадлежат самому Пифагору. Первая из них – представление о космосе как о математически упорядоченном целом. Пифагор поставил геометрию на научную основу. Ему приписывают авторство теоремы, носящей ныне его имя (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов), и следствия из нее (диагональ квадрата несоизмерима с его стороной). Не подлежит сомнению, что многие теоремы, включенные впоследствии Эвклидом в его Начала, были открыты членами пифагорейского братства. Попытка применить математические открытия Пифагора к умозрительным физическим построениям приводила к любопытным результатам. Так, предполагалось, что каждая планета при своем обращении вокруг Земли издает, проходя сквозь чистый верхний воздух, или «эфир», тон определенной высоты. Высота звука меняется в зависимости от скорости движения планеты, скорость же зависит от расстояния до Земли. Вывод по первой главе Философы и математики Древнего мира стали основоположниками тех установившихся истин и положений, которые не потеряли своей актуальности, и большинство из них не изменились и по сей день. Глава II. Взаимосвязь между философией и математикой II.I. Появление направления «философия математики» Рассмотрим современные отношения, существующие между философией и математикой. В процессе познания математических истин и переноса их на познание окружающего мира появилось такое направление, как философия математики [3]. Основы классической философии математики были заложены мыслителями древнего мира, но появился и ряд новых направлений. С одной стороны, хотя есть признание стагнации в классической философии математики, и даже признание того, что “ничего из этого не работает”[3], существует ряд направлений, имеющих целью придать философии математики новое дыхание. С другой стороны, есть полное отрицание значимости классической философии математики, обоснованное убеждением, что философская оценка математической деятельности бесплодна: математическая деятельность не имеет в себе скрытого смысла, искомого философией, и сама философия неправильно следует в своих собственных стандартах строгости, на которых основывается философия математики, за этой самой математикой. Ясно, что с классической философией математики что-то не так, но в поисках нового дыхания этой фундаментальной области философии требуется ответить на упреки гуманистической математики. Таким ответом является эпистемологический поворот в исследованиях по основаниям математики и в целом в философии математики. Следует признать, что в последнее время в философии математики проделана большая работа. Быть может, главным обстоятельством здесь является то, что философия математики есть часть философии и на ней сказываются все те тенденции, которые свойственны всей философии. Философия даже относительно элементарных ветвей математики – это такая дисциплина, в которой ясно фокусируются теории о природе языка, знания, указания и истины. Именно это обстоятельство делает исследования в философии математики важным видом философского исследования. Такая тенденция выразилась в эпистемологическом уклоне в философии математики. В любом случае общепринятым мнением философской коммуны является то, что в философии математики в настоящее время наблюдается стагнация. Но не все так безнадежно. II.II. Взгляды на философию математики. Ниже мы приводим краткий перечень устаревших и новых взглядов в философии математики: Логицизм (математика есть логика в чужом одеянии); Логический позитивизм (математические истины суть истины благодаря правилам языка); Формализм (теория множеств и неконструктивная математика суть просто “идеальное” – и само по себе бессмысленное– расширение “реальной”– конечной и комбинаторной – математики); Платонизм (согласно Геделю, реально существуют математические объекты, и человеческий ум имеет способность, отличающуюся в некоторой степени от восприятия, с помощью которой он приобретает все лучшие интуиции относительно поведения таких объектов); Холизм (Куайн полагал, что математика должна рассматриваться не как отдельная наука, а как часть всей науки и что необходимость квантификации над математическими объектами в случае достаточно богатого языка для эмпирических наук есть наилучшее свидетельство для “постулирования множеств с той же серьезностью, с какой мы относимся ко всякому онтологическому постулированию”; множества и электроны рассматривались Куайном на пару как нечто такое, что нужно постулировать в процессе научного исследования); Модализм (мы можем переформулировать классическую математику таким образом, что вместо разговора о множествах, числах и других объектах будем просто утверждать возможность или невозможность определенных структур); Квазиэмпирический реализм (идея, о том, что есть нечто аналогичное эмпирическому исследованию в чистой математике); Интуиционизм (принятие математических утверждений как значимых, и в то же время отказ от реалистических посылок относительно истин, например, бивалентности). Несмотря на новые программы, все эти направления находятся в русле, если можно так выразиться, классической философии математики. Между тем возможен более радикальный взгляд на философию математики, который, как считает ученый Р. Херш, больше соответствует духу того, что делают работающие математики [8]. Он полагает, что в повороте философии математики по направлению к практике ряд философов высказали новые взгляды, суть которых состоит в следующем. Математика является человеческим предприятием и, стало быть, частью человеческой культуры. Значит, математика не есть описание фрегевских абстрактных концепций и вневременной объективной реальности. «Проблема роста научного знания всегда занимала умы учёных и мыслителей, независимо от их взглядов и пристрастий или принадлежности к различным направлениям науки или религии. В некоторых случаях данная проблема является ключевой для всей системы тех или иных научных изысканий. Математическое знание погрешимо. Подобно науке, математика прогрессирует через ошибки и их исправление» [4]. Существуют различные версии доказательства и строгости в зависимости от времени, места и множества других вещей. Использование компьютеров в доказательстве есть нетрадиционная версия строгости. Эмпирические свидетельства, числовое экспериментирование, вероятностные доказательства помогают нам решать, во что верить в математике. Аристотелевская логика не является наилучшим способом решения этих проблем. Математические объекты суть специальный вид социально-культурно-исторических объектов. Мы можем выделить математику из литературы или религии. Тем не менее математические объекты являются общими культурными идеями, подобно литературным персонажам или религиозным концепциям. Вывод по второй главе. В процессе познания математических и философских объектов появилось новое направление, получившее название «философия математики», которое продолжает развиваться и имеет ряд своих направлений. Глава III. Современная философия математики III.I. Связи между философией и математикой На данном этапе исследования мы проанализировали проблему взаимосвязи между философией и математикой и рассмотрели вопрос о том стоит ли связывать философию и математику в единую науку или это два совершенно разных направления и предмета для размышлений, над каждым из которых стоит задумываться отдельно и разбирать их независимо друг от друга. Рассмотрим радикальный тезис о том, что философия НЕ имеет отношения к математике. С этой точки зрения математика живет своей собственной жизнью независимо от каких-либо философских рассмотрений. Взгляды относительно статуса математических объектов или утверждений ничего не вносят в математику и являются худшей софистикой, бормотаньем и вмешательством посторонних. Надо признать, что большинство математиков вообще не интересуются философией, или онтологией, или семантикой. Ну а те математики, которые исповедуют философию, часто входят в противоречие со своей собственной практикой. В результате этого собственно философские утверждения о математике стали менее интересными. Больше того, многие полагают, что сама философия математики представляет не фундаментальные проблемы философии, а скорее, является результатом исторически случайного взаимодействия философии и математики. Так, Хао Ван полагает, что “интерес философов к основаниям математики возник как результат той исторической случайности, что Рассел и Фреге правильно или неправильно связали некоторые области математики с философией… Тем не менее, с устойчивостью этого интереса следует считаться, хотя и сожалея о бедности философии”[2]. С одной стороны, анализ истории развития философии и математики на протяжении рассмотренных полутора тысяч лет убеждает в том, что взаимосвязи между этими науками динамичны. Как правило, они приобретают более действенный характер, когда каждая из этих наук находится на подъеме. Если же в силу тех или иных факторов интенсивность философских или математических исследований падает, связи между ними ослабевают. С другой же стороны, хоть изначально философия и математика и были едины в неутомимом поиске ключей к бытию и в стремлении постичь тайны жизни и Вселенной, но по прошествии многих веков, вследствие самых разных причин интеллектуальная деятельность и экспериментальная практика разошлись настолько, что кажутся сейчас совершенно разными, даже противоположными вещами. Вывод по третьей главе Таким образом, традиционные взгляды на философию математики претерпевают значительное изменение. Среди хаоса мнений и предположений о том, в какой степени математика связана с философией, следует найти какой-то порядок, который смог бы дать точку опоры в будущей философии математики, если ей суждено выжить. Нельзя сказать точно стоит ли связывать философию и математику, но пока люди задумываются над такими загадками как, например, бесконечность числа, наука философии математики будет существовать. Заключение. Рассматривать математику с точки зрения философии, вникать в ее суть и смысл люди начали еще в глубокой древности. Благодаря этому нам известны имена представленных в проекте великих мыслителей. Безусловно, их вклад, как в философию, так и в математику неоценим. На протяжении многих лет философия математики развивалась и давала все больше поводов для размышлений. И в нынешнее время она не потеряла своей актуальности. С каждым годом появляются новые взгляды, прибавляются идеи, а современные ученые приходят к новым умозаключениям. Результат исследования: Исследование начато 18.09.2009, завершено 25.12.2009. В результате исследования подтверждена гипотеза и сделан вывод о том что, несмотря на различия в философии и математике общим является познание человеком окружающего мира, но разными методами и с разной целью. Список литературы Вейль Герман О философии математики М.:, КомКнига, 2005, 128 с. Гусев Д.А., Рябов П.В. Великие философы: Философы Древнего мира; Философы Средних веков и Возрождения; Философы Нового и Новейшего времени; Русские философы, М.: Издательство « АСТ Астрель Транзиткнига», 2005, 464 с. Кедровский О.И. Взаимосвязь философии и математики в процессе исторического развития. Киев, 1974. Лакатос И. Фальсификация и методология научно-исследовательских программ. - М.: "Медиум", 1995, 335 с. Фролов И.Т., Араб-Оглы Э.А., Борзенков В.Г. и др. Введение в философию. Учебное пособие для вузов. Издательство Республика, 2002 г.,624 стр. Фролов И.Т.Человек // Новая философская энциклопедия: в 4-х томах. - М.: Мысль, 2001. - Том 4. - 608 с. - С. 344-346. Соавтор: В.Г. Борзенков Штейнгауз Г. Математика — посредник между духом и материей (Перевод с польского Б. И. Копылова, под редакцией А. В. Хачояна). — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. — 351 с. Hersh R. A fresh winds in the philosophy of mathematics // Amer. Math. Monthly. - 1995. - Aug.-Sept. - P. 590-591. Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайтов: http://filosof.historic.ru http://ru.wikipedia.org/ http://www.krugosvet.ru/ |