Метод конечных элементов. Физические основы метода. Физические основы метода
![]()
|
Физические основы метода МКЭ является универсальным методом решения задач механики сплошной среды, в том числе механики упругого твердого тела, а также расчета строительных, авиационных, ракетных, машиностроительных и других конструкций. Это обусловлено инвариантностью метода по отношению к геометрии конструкции, условиям ее закрепления и нагружения, а также высокой степенью приспособленности к автоматизации основных этапов расчета. Основная процедура МКЭ состоит в представлении перемещений конечных элементов через перемещения их узлов с помощью некоторых функций, называемых базисными функциями. Таким образом, полная потенциальная энергия ![]() ![]() В состоянии равновесия конструкции ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() 8.2. Матрица жесткости и вектор нагрузки конечного элемента Имеется некоторый конечный элемент (КЭ). Форма КЭ пока не конкретизируется. Представим перемещения ![]() ![]() Здесь ![]() ![]() ![]() Введем вектор, содержащий узловые перемещения КЭ: ![]() Имея данный вектор выражения (8.1) можно представить в виде ![]() где ![]() Подставляя данное представление в выражение (7.1) и принимая обозначения ![]() ![]() ![]() В состоянии равновесия КЭ ![]() ![]() Отсюда с учетом условия ![]() ![]() где ![]() – соответственно матрица жесткости и вектор внешних узловых сил (вектор нагрузки) конечного элемента. С помощью формул (8.2) выражение для ![]() ![]() 8.3. Матрица жесткости и вектор нагрузки ферменного конечного элемента Ферменный КЭ (рис. 8.1) применяется для моделирования прямолинейных стержней, находящихся в одноосном однородном напряженном состоянии. Элемент имеет два узла. Считается, что площадь поперечного сечения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Постоянные ![]() ![]() . Это дает систему уравнений ![]() Отсюда следует: ![]() ![]() ![]() Здесь ![]() Выражение (8.3) можно записать в виде ![]() где ![]() Для нахождения матрицы жесткости и вектора нагрузки ферменного КЭ воспользуемся общими формулами (8.2) полагая в них ![]() Таким образом, получаем ![]() ![]() Будем считать, что нагрузка ![]() ![]() Подставляя этот результат в выражение для ![]() ![]() 8.4. Матрица жесткости и вектор нагрузки балочного конечного элемента Балочный КЭ (рис. 8.2) применяется для моделирования поперечного изгиба стержней. Узловыми перемещениями элемента являются прогибы ![]() ![]() ![]() ![]() Представим прогиб ![]() ![]() Постоянные ![]() ![]() Это дает систему уравнений ![]() Отсюда следует: ![]() Подставляя это в выражение для ![]() ![]() ![]() Здесь ![]() ![]() – базисные функции. Для получения матрицы жесткости элемента воспользуемся первой формулой в (8.2), полагая в ней ![]() ![]() Матрица ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда следует: ![]() ![]() Интеграл по площади ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() После нахождения интегралов получаем окончательное выражение для вычисления матрицы жесткости балочного КЭ: ![]() Вектор нагрузки вычисляется по второй формуле в (8.2) при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для вычисления вектора ![]() ![]() ![]() Это дает ![]() После нахождения определенных интегралов окончательно получаем ![]() 8.5. Матрица жесткости и вектор нагрузки рамного конечного элемента Рамный КЭ (рис. 8.4) применяется для моделирования стержней конструкции, работающих на растяжение-сжатие и изгиб. Вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из рис. 8.4 видно, что от перемещений ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Символы ![]() ![]() Символы ![]() |