курсовая. Союнов_Производная26.04.22. Физикоматематический факультет Кафедра математики и методики преподавания математики
 Скачать 0.67 Mb.
|
2.5. Применение производной при решении задач в разных науках2.5.1 Задачи по геометрииПо аналитической геометрииПример 7. Найти угол между касательной к графику функции  в точке  и осью  .Решение. Найдем угловой коэффициент касательной к кривой в точке , т.е. значение производной этой функции при  .Производная функции  равна  . По формуле  находим  , откуда  .Пример 8. Найти уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой  .Решение. Значение функции и ее производной в точке равны:  . Используя формулу  , найдем искомое уравнение касательной: или  .Пример 9. Доказать, что касательная к параболе  в точке с абсциссой  пересекает ось в точке  .Решение. Пусть  , тогда  и  .По формулу находим уравнение касательной: .Найдем точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Из равенства  находим .Пример 10. Найти тангенсы углов наклона касательной к кривой в точках  Решение. Имеем  ; следовательно, По дифференциальной геометрии Пример 11. Найти геодезическую кривизну винтовой линии  , лежащей на прямом геликоиде ,  ,  .Решение. Запишем формулу для вычисления  : . ,  , .Положим  , тогда  ,  . Применяя формулу для вычисления , получим  .Пример 12. Для кривой  ,  ,  составить уравнение касательной, главной нормали, бинормали в точке  .Решение. Проверим, лежит ли точка  на кривой: .Точка лежит на кривой и соответствует значению параметра  .Напишем уравнение кривой в векторном виде:  . Тогда  ,  .В точке :  ,  .Уравнение касательной в точке имеет вид: .Найдем уравнение бинормали, ее направляющий вектор коллинеарен вектору  . , уравнение бинормали. Найдем направляющий вектор главной нормали: .Главная нормаль задается уравнением  .Пример 13. Найти длину дуги одного витка кривой:  ,  ,  (где   ) между двумя ее соседними точками пересечения с плоскостью  .Решение. Данная кривая пересекает плоскость , если  . Отсюда следует, что  ;  и  - значения параметра  между двумя соседними точками пересечения с плоскостью .Тогда  , ,  ,  , .В промежутке  , поэтому  . Следовательно , длина дуги  . [1, 343 ] |