Новый документ. Формулировка и доказательство теоремы косинусов
![]()
|
Формулировка и доказательство теоремы косинусовТеорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора для произвольного треугольника. Формулировка теоремы косинусовДля плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение: ![]() ![]()
Полезные формулы теоремы косинусов: ![]() Как видно из указанного выше, с помощью теоремы косинусов можно найти не только сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними, можно, зная размеры всех сторон треугольника, определить косинусы всех углов, а также вычислить величину любого угла треугольника. Вычисление любого угла треугольника по его сторонам является следствием преобразования формулы теоремы косинусов. Доказательство теоремы косинусов![]() Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Предположим, что нам известна величина стороны AC (она равна некому числу b), величина стороны AB (она равна некому числу c) и угол между этими сторонами, величина которого равна α. Найдем величину стороны BC (обозначив ее длину через переменную a) Для доказательства теоремы косинусов проведем дополнительные построения. Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD. Найдем длину стороны AB. Как видно из рисунка, в результате дополнительного построения можно сказать, что AB = AD + BD Найдем длину отрезка AD. Исходя из того, что треугольник ADC является прямоугольным, нам известны длина его гипотенузы (b) и угол (α) то величину стороны AD можно найти из соотношения его сторон, пользуясь свойствами тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике: AD / AC = cos α откуда AD = AC cos α AD = b cos α Длину стороны BD найдем как разность AB и AD: BD = AB - AD BD = c − b cos α Теперь запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC: для треугольника BDC CD2 + BD2 = BC2 для треугольника ADC CD2 + AD2 = AC2 Обратим внимание на то, что оба треугольника имеют общую сторону - CD. Определим ее длину для каждого треугольника - вынесем ее значение в левую часть выражения, а остальное - в правую. CD2 = BC2 - BD2 CD2 = AC2 - AD2 Поскольку левые части уравнений (квадрат стороны CD) равны, то приравняем правые части уравнений: BC2 - BD2 = AC2 - AD2 Исходя из сделанных ранее вычислений, мы уже знаем что: AD = b cos α BD = c − b cos α AC = b (по условию) А значение стороны BC обозначим как a. BC = a (Именно его нам и нужно найти) Получим: BC2 - BD2 = AC2 - AD2 Заменим буквенные обозначения сторон на результаты наших вычислений a2 - ( c − b cos α )2 = b2 - ( b cos α )2 перенесем неизвестное значение (а) на левую сторону, а остальные части уравнения - на правую a2 = ( c − b cos α )2 + b2 - ( b cos α )2 раскроем скобки a2 = b2 + c 2 - 2c b cos α + ( b cos α )2 - ( b cos α )2 получаем a2 = b2 + c 2 - 2bc cos α Теорема косинусов доказана. Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному. Теорема синусовТеорема синусов устанавливает зависимость между величиной углов треугольника и противолежащих ему сторон. Формулировка теоремы синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов или, ![]() где R - радиус описанной вокруг треугольника окружности a, b, c - стороны треугольника α, β, γ - величины противолежащих этим сторонам углов Доказательство теоремы синусов![]() Доказательство теоремы синусов происходит с помощью дополнительных построений. Построим произвольный треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC. Дополнительно построим диаметр окружности, в который вписан произвольный треугольник, но так, чтобы он проходил через один из его углов. Диаметр равен двойному радиусу окружности (2R). Примем во внимание, что одним из свойств прямоугольного треугольника, вписанного в окружность является то, что его гипотенуза, является диаметром окружности, в которую он вписан. Обозначим диаметр для описанной окружности как BD. Образовавшийся треугольник BCD является прямоугольным, поскольку его гипотенуза лежит на диаметре описанной окружности (свойство углов, вписанных в окружность). Таким образом, дополнительно построенный треугольник, у которого одна общая сторона с построенным ранее произвольным треугольником, а гипотенуза совпадает с диаметром окружности - является прямоугольным. То есть треугольник DBC - прямоугольный. Для доказательства всей теоремы, поскольку размеры треугольника ABC выбраны произвольным образом, достаточно доказать, что соотношение одной произвольной стороны к противолежащему ей углу равно 2R. Пусть это будет 2R = a / sin α, то есть если взять по чертежу 2R = BC / sin A. Поскольку, углы, вписанные в окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то угол CDB либо равен углу CAB (если точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC), либо равен π - CAB (в противном случае). Обратимся к свойствам тригонометрических функций. Поскольку sin( π − α ) = sin α, то указанные варианты построения треугольника все равно приведут к одному результату. Вычислим значение 2R = a / sin α, по чертежу 2R = BC / sin A. Для этого заменим sin A на соотношение соответствующих сторон прямоугольного треугольника. 2R = BC / sin A 2R = BC / ( BC / DB ) 2R = DB А, поскольку, DB строился как диаметр окружности, то равенство выполняется. Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем: ![]() Теорема синусов доказана. |