К.р. №8 в. 6 Функции комплексной переменной и операционное исчисление. К.р. №8 в. 6 Функции комплексной переменной и операционное исчис. Функции комплексной переменной и операционное исчисление
 Скачать 260 Kb.
|
|
Высшая математика. Контрольная работа №8. Тема: Функции комплексной переменной и операционное исчисление. 366.Представить заданную функцию w=f(z), где z=x+iy, в виде w=u(x,y)+iv(x,y); проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение её производной в заданной точке z0:  Решение. Так как  , то представим функцию  в виде  .  . Умножим числитель и знаменатель на  , далее используем формулу сокращенного умножения  . Получим Тогда  Функция является аналитической, то выполняются условия Коши – Римана  Вычислим частные производные,    , .Получим  ,  , условие Коши-Римана выполняется.Вычислим производную в точке  , тогда  .376.Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z0:  Решение. Представим функцию в виде  . Используем формулу тригонометрии  . Тогда .Далее используем разложение в ряд функций  и  . Тогда получим разложение 386.Определить область (круг) сходимости данного ряда и исследовать сходимость его (расходится, сходится условно, сходится абсолютно) в точках z1, z2, z3:  Решение. Для данного степенного ряда  . Тогда  . Получим .Область сходимости ряда определяется неравенством  , которое выражает внутренность круга с центром в точке  радиусом 2.Точка  лежит вне круга сходимости. Следовательно, ряд в точке расходится.Точка  лежит внутри круга сходимости. Поэтому ряд в точке сходится абсолютно.Точка  лежит на границе круга сходимости. Исследуем на сходимость в этой точке. Подставим , получим ряд .Сравним данный ряд с рядом  . Этот ряд сходится как обобщенный гармонический ряд  с показателем  . Следовательно, ряд в точке сходится абсолютно.396.При помощи вычетов вычислить данный интеграл по контуру l:  Решение. Функция  внутри контура интегрирования имеет особые точки:  - полюс второго порядка;  - полюс первого порядка.  .Тогда интеграл равен  .Ответ:  .406.Найти изображение заданного оригинала f(t):  Решение. По таблице основные оригиналы и их изображения  . Далее используем теорему дифференцирования изображения .Ответ:  .416. Найти изображение заданного оригинала f(t):  Решение. По таблице оригиналов и используя свойство линейности  . По теореме интегрирования изображения  . Пычислим несобственный интеграл. Для этого дробь  представим в виде  . Найдем коэффициенты .Тогда  Получим  . Интегрируем  По теореме интегрирования оригинала  .426.Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:  Решение. Пусть  , тогда по правилу дифференцирования оригинала имеем  и  . По таблице основные оригиналы и их изображения  . Подставим в уравнение, получим , ,  .Представим дробь  в виде суммы простых дробей, т.е.  . Найдем коэффициенты , .Тогда  Получим  .Переходя к оригиналам, получаем  .Ответ: . |