гармонические функции и их свойства. Гармонические функции и их свойства. Гармонические функции и их свойства

• Название: Гармонические функции и их свойства
• Анкор: гармонические функции и их свойства
• Дата: 04.10.2020
• Размер: 308.69 Kb.
• Имя файла: Гармонические функции и их свойства.docx
• Тип: Лекция; #140973

^Лекция 5.

Тема: Гармонические функции и их свойства.

Аналитическая функция

Гармоническая функция.

Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема как в самой точке , так и в некоторой ее окрестности. Функция называется аналитической в области, если она является аналитической в каждой точке этой области. Точка , в которой функция является аналитической, называется правильной точкой функции.

Если же функция является аналитической в некоторой проколотой окрестности точки , но не является аналитической в самой точке или не определена в ней, то называется особой точкой функции .

Теорема. Главные значения основных элементарных функций комплексного переменного являются аналитическими функциями в области своего определения.

Теория функций комплексного переменного изучает не произвольные функции комплексного переменного, но функции голоморфные. С определения голоморфной функции мы и начнем.

Заметим, что -мерное комплексное пространство можно рассматривать как -мерное вещественное пространство . Имея в виду это отождествление, дадим

Определение 4.1. Пусть – открытое подмножество. Функция называется голоморфной, если она принадлежит классу как отображение из в и если для всякой точки ее производная является гомоморфизмом векторных пространств над (а не только над ). Аналогично определяется голоморфное отображение .

Замечание 4.1. В дальнейшем мы увидим, что на самом деле всякая голоморфная функция принадлежит классу (и даже более того).

В нашем курсе мы сосредоточимся на случае , а с функциями нескольких переменных будем иметь дело лишь постольку-поскольку. Начнем с нескольких замечаний о дифференциальных формах.

Из курса анализа вам известно понятие дифференциальной формы на гладком многообразии. Мы будем рассматривать комплексные дифференциальные формы: по определению, комплексная дифференциальная форма степени m на гладком многообразии – это объект, который в локальных координатах записывается в виде

(4.1)

и преобразуется по известным формулам при смене локальных координат; при этом предполагается, что – функции класса с комплексными значениями (это равносильно тому, что их вещественная и мнимая часть имеют класс ). Легко проверить (отделяя, например, вещественную и мнимую часть), что для комплексных дифференциальных форм выполнены все свойства обычных дифференциальных форм, включая теорему Стокса, которой мы вскоре воспользуемся. В частности, если – открытое множество и если координата в обозначена через , то на можно рассмотреть комплексные дифференциальные формы и .

Иногда мы будем также рассматривать «непрерывные» дифференциальные формы, у которых функции в выражении (4.1) предполагаются всего лишь непрерывными, но не обязательно гладкими; легко видеть, что для таких дифференциальных форм также имеют смысл понятия обратного образа при гладком отображении, интеграла (будь то по цепи или по многообразию) и внешнего произведения; дифференцировать такие формы мы не будем (хотя в некотором смысле возможно и это). Имея в виду все эти соглашения, можно сформулировать следующее простое

Предложение 4.1. Пусть – открытое подмножество, и пусть – функция класса . Тогда следующие условия эквивалентны:

1. 
   Функция голоморфна.
   
2. 
   Для всякого существует предел
   

(этот предел, естественно, обозначается и называется производной функции в точке ).

3. 
   Если обозначить , , то на выполнены тождества
   

,

(эти равенства называются равнениями Коши-Римана).

(3’) На выполнено тождество .

4. 
   Имеет место равенство , где – некоторая функция на .
   
5. 
   Дифференциальная форма замкнута на .
   

Кроме того, если голоморфна, то функция из пункта (4) совпадает с .

Доказательство. (1) ⇔ (2): условие (2), очевидно, равносильно тому, что для всякой существует такое число , что , а это, в свою очередь, равносильно тому, что производная представляет собой умножение на комплексное число , то есть является – гомоморфизмом из в .

(1) ⇔ (3): условие (3) равносильно тому, что матрица Якоби функции относительно координат является матрицей умножения на некоторое комплексное число, а это и есть условие (1).

(3) ⇔ (3’): это очевидно.

(3’) ⇔ (4): так как , , имеем





Поскольку дифференциальные формы и линейно независимы (над ) в каждой точке , условие (4) равносильно тому, что , то есть условию (3’).

Дифференциальные операторы («комплексные векторные поля») и обозначаются и соответственно (эти векторные поля образуют в комплексификации касательного пространства базис, дуальный к базису в пространстве комплексных дифференциальных форм); проведенное нами вычисление показывает, что для всякой гладкой функции выполнено равенство

, (4.2)
а уравнения Коши-Римана можно записать в форме .

(3’) ⇔ (5): имеем

,

откуда все очевидно.

Остается доказать равенство для голоморфной функции . Поскольку, очевидно, , имеем, ввиду равенства ,

,

и все следует из (3’) и формулы (4.2). □

Из пункта (4) доказанного предложения немедленно вытекает

Следствие 4.1. Пусть – голоморфнаяфункциянаоткрытоммножестве и – кусочно-гладкаякриваяв ,соединяющаяточки и (болееформально: – кусочно-гладкая1-цепь,причем ).Тогда . □

Если – голоморфная функция, то интеграл принято называть попросту интегралом функции по кривой .

Предложение 4.2. Пусть – отрезок и – кусочно-гладкая кривая вида ,где – открытоемножество.Тогдадлявсякойголоморфной функции имеем

,

где и – длина кривой .

Доказательство. Поскольку , предложение следует из неравенства



и определения длины кривой. □

Примерыголоморфныхфункций. Из пункта (2) предложения 4.2 с очевидностью следует, что всякий многочлен является голоморфной функцией на всем , причем его производная вычисляется по обычной формуле; это же верно и для многочленов от нескольких переменных. Функция также, как легко проверить с помощью пункта (2) предложения 4.2, будет голоморфна, причем верна привычная формула (можно также подождать до следующей лекции, из результатов которой эти утверждения следуют немедленно); функции синус и косинус также будут голоморфны на всем , и выполнены привычные формулы для их производных. Без труда проверяется, что сумма, произведение и частное двух голоморфных функций голоморфны (последнее – там, где знаменатель не обращается в нуль) и что формулы для производной суммы, произведения и частного остаются верными и в комплексном случае. Наконец, очевидно, что композиция голоморфных функций голоморфна, причем остается верной формула для производной сложной функции.

Предложение 4.3. Пусть – голоморфнаяфункциянаоткрытоммножестве .Есливточке имеем ,тосуществуеттакаяокрестность ,что взаимнооднозначнана ,множество открытов иобратнаяфункция голоморфнана .

Доказательство. Утверждения о существовании окрестности , взаимной однозначности на и открытости следуют из «теоремы об обратной функции» вещественного анализа, поскольку – гладкая (класса ) функция, якобиан которой в точке a отличен от нуля. Утверждение о голоморфности следует прямо из определения голоморфности: если –гомоморфизм комплексных векторных пространств –линеен и обратим, то обратный к нему гомоморфизм также –линеен. □


√
Поскольку отображения и являются накрытиями над и над соответственно, на всяком односвязном открытом множестве определены непрерывные функции, обратные к и ( ). Так как производная функции отлична от нуля вообще всюду, а производная функции отлична от нуля всюду на , из предложения 4.3 следует, что эти функции голоморфны. Функции, обратные к и , обозначаются и соответственно; они определены не однозначно, а с точностью до прибавления константы вида , где n ∈ Z (в случае логарифма) или с точностью до умножения на константу , где и (в случае корня); выбрать «арифметическое значение корня», годное для всей комплексной плоскости, или же пригодное на всем значение логарифма невозможно. Когда выбрана какая-то (одна из существующих на данном открытом множестве) обратная функция к экспоненте или степенной функции, говорят еще о выборе «ветви» логарифма или корня соответственно.

Будем называть областью с гладкой границей компактное подмножество , являющееся подмногообразием с краем в ; край этого многообразия (совокупность гладких кривых) будем называть границей области и обозначать ; дополнение к краю (внутренность ) будем обозначать . Всюду в дальнейшем мы будем считать, что комплексная плоскость (а стало быть, и все ее открытые подмножества) снабжена ориентацией, относительно которой дифференциальная форма dx∧dy положительна (равносильное условие: базис над , состоящий из чисел 1 и , взятых в указанном порядке, положительно ориентирован); при рассмотрении областей с гладкой границей мы будем считать, что область снабжена указанной ориентацией, а граница – индуцированной ориентацией (напомним, что в данном случае это означает следующее: касательный вектор к границе положительно ориентирован, если базис, в котором этот вектор идет первым, а вектор, направленный внутрь области, – вторым, положительно ориентирован).

Предложение 4.4 (теорема Коши). Если – областьс гладкойграницейи – функция,голоморфнаявокрестности , то .

Если – открытое множество, – голоморфная функция и – гладкая 2-цепь в , то .

Доказательство. Оба утверждения немедленно следуют из формулы Стокса и пункта (5) предложения 4.1. □

Замечание 4.2. Первое утверждение теоремы Коши поддается разнообразным формальным усилениям. Например, достаточно считать, что f голоморфна на и непрерывна на ; можно также считать, что граница области не обязательно гладкая, но кусочно-гладкая или даже всего лишь «спрямляемая». Мы не будем вдаваться в подробности, которые можно найти в любом достаточно полном учебнике комплексного анализа; в тех случаях, когда нам это будет нужно, читатель без труда сможет внести соответствующие уточнения самостоятельно.

Замечание 4.3. Для случая функций нескольких переменных доказанные нами результаты видоизменяются следующим образом. Принадлежащая классу функция , где – открытое подмножество в , голоморфна тогда и только тогда, когда для . Поскольку, как легко видеть, для любой гладкой функции выполнено тождество

,

равносильное условие состоит в том, что форма замкнута.

Очевидно также, что для голоморфных отображений справедливы теоремы об обратной и неявной функции (в формулировках слова «гладкое отображение» надо, естественно, заменить на «голоморфное отображение»).