Гармонические колебания. Гармонические колебания
![]()
|
Гармонические колебания Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания называются свободными (собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Колебания, встречающиеся в природе и технике, часто близки к гармоническим, различные периодические процессы можно представить как наложение гармонических колебаний. Гармоническое колебание описывается уравнениями типа ![]() ![]() где x – смещение от положения равновесия колеблющейся точки, A – амплитуда колебаний, ![]() ![]() ![]() Период колебаний – это промежуток времени, за который происходит одно полное колебание (фаза колебания получает приращение 2π): ![]() Величина, обратная периоду колебаний – частота, т.е. число колебаний, совершаемых системой в единицу времени: ![]() Скорость колеблющейся точки - первая производная по времени от гармонически колеблющейся величины х: ![]() Ускорение колеблющейся точки - вторая производная по времени от гармонически колеблющейся величины х: ![]() Амплитуда величин ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из последнего уравнения следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний: ![]() Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси х, под углом φ, равным начальной фазе колебания, откладывается вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() φ ![]() O x Уравнение гармонического колебания можно записать и в комплексной форме: ![]() Кинетическая энергия колеблющейся точки массы m ![]() Потенциальная ![]() Полная ![]() Гармонический осциллятор. Пружинный, математический и физический маятники Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания описываемые уравнением вида: ![]() Пружинный маятник – груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы ![]() Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс тела. Математический маятник – идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Описание колебаний маятников
Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Проанализируем выражение для амплитуды результирующего колебания. ![]() тогда ![]() ![]() тогда ![]() Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Складываемые колебания ![]() Складываются гармонические колебания одинаковой частоты ![]() ![]() Уравнение траектории результирующего колебания ![]() Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называют эллиптически поляризованными. Свободные затухающие колебания Колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний ![]() где x – колеблющаяся величина, ![]() Решение дифференциального уравнения ![]() Где ![]() ![]() ![]() Циклическая частота ![]() Колебание ![]() не является периодическим, а тем более гармоническим. Однако в случае малого затухания ( ![]() ![]() Характеристики затухающих колебательных систем Декремент затухания ![]() где А(t)иA(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период. Время релаксации - промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз. ![]() Логарифмический декремент затухания ![]() где τ – время релаксации, Ne – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Добротность колебательной системы ![]() Так как затухание мало ( ![]() Вынужденные механические колебания Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний: ![]() Решение дифференциального уравнения ![]() где ![]() Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом. Резонансная частота ![]() резонансная амплитуда ![]() |