Геометрические характеристики поперечных сечений. Геометрические характеристики поперечных сечений
 Скачать 2.76 Mb.
|
|
Геометрические характеристики поперечных сечений Основные геометрические характеристики Поперечное сечение стержня представлено в виде произвольной плоской фигуры, сориентированной относительно системы координат. A – площадь всей фигуры, dA – элемент площади, вырезанный вокруг произвольной точки фигуры с координатами x, y. Статическими моментами сечения S x и S y относительно осей X и Y называются выражения: 𝑆 𝑥 = 𝐴 𝑦𝑑𝐴 ; 𝑆 𝑦 = 𝐴 𝑥𝑑𝐴 Размерность статических моментов: [см 3 , м 3 ]. Статический момент сечения служит геометрической характеристикой в расчетах прочности по касательным напряжениям (формула Журавского): 𝜏 = 𝑄 𝑦 𝑆 𝑥 𝐼 𝑥 𝑏 Основные геометрические характеристики Осевыми моментами инерции сечения I x и I y называются выражения: 𝐼 𝑥 = 𝐴 𝑦 2 𝑑𝐴 ; 𝐼 𝑦 = 𝐴 𝑥 2 𝑑𝐴 Полярным моментом инерции сечения I ρ называется выражение: 𝐼 𝜌 = 𝐴 𝜌 2 𝑑𝐴 Центробежным моментом инерции сечения I xy называется выражение: 𝐼 𝑥𝑦 = 𝐴 𝑥𝑦𝑑𝐴 Размерность моментов инерции: [см 4 , м 4 ]. Осевой момент инерции сечения служит геометрической характеристикой в расчетах прочности по касательным напряжениям (формула Журавского), а также в расчетах жесткости: 𝑓 𝑥 = 5 384 𝑞 𝑥 н 𝑙 4 𝐸𝐼 𝑦 f x – абсолютный прогиб однопролетной шарнирной балки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой. Основные геометрические характеристики Осевыми моментами сопротивления сечения W x и W y относительно осей X и Y называются выражения: 𝑊 𝑥 = 𝐼 𝑥 𝑦 𝑚𝑎𝑥 ; 𝑊 𝑦 = 𝐼 𝑦 𝑥 𝑚𝑎𝑥 𝑦 𝑚𝑎𝑥 , 𝑥 𝑚𝑎𝑥 – расстояния от осей X и Y до наиболее удаленных точек сечения. Осевой момент сопротивления сечения служит геометрической характеристикой в расчетах прочности по нормальным напряжениям: 𝜎 𝑥 = 𝑀 𝑥 𝑊 𝑦 Полярным моментом сопротивления сечения Wρ называется выражение: 𝑊 𝜌 = 𝐼 𝜌 𝜌 𝑚𝑎𝑥 𝜌 𝑚𝑎𝑥 – расстояние от начала координат до наиболее удаленной точки сечения. Размерность моментов сопротивления: [см 3 , м 3 ]. Основные геометрические характеристики Осевыми радиусами инерции сечения i x и i y относительно осей X и Y называются выражения: 𝑖 𝑥 = 𝐼 𝑥 𝐴 ; 𝑖 𝑦 = 𝐼 𝑦 𝐴 Размерность радиусов инерции: [см, м]. Осевой радиус инерции сечения служит геометрической характеристикой при определении гибкости стержня: 𝜆 𝑥 = 𝑙 0 𝑖 𝑥 Главная центральная система координат Величины геометрических характеристик существенно зависят от выбранной системы координат. Чтобы одна и та же геометрическая характеристика не меняла своего значения для одного и того же стержня, необходимо связать систему координат с рассчитываемым сечением. Если начало координат поместить в центр тяжести сечения, то можно получить множество координатных осей CXY, CX 1 Y 1 , CX 2 Y 2 , CX 3 Y 3 , которые называются центральными. Найдутся такие оси, относительно которых центробежный момент инерции будет равен нулю. Такая система называется главной центральной системой координат. Геометрические характеристики поперечного сечения всегда определяются относительно главных центральных осей. Основные теоремы и формулы Определение положения центра тяжести сечения: 𝑋 𝐶 = 𝑆 𝑦 𝐴 = 𝑋 𝑖 𝐴 𝑖 𝐴 ; 𝑌 𝐶 = 𝑆 𝑥 𝐴 = 𝑌 𝑖 𝐴 𝑖 𝐴 Вычисление величины статического момента: 𝑆 𝑥 = 𝑌 𝐶 ∙ 𝐴; 𝑆 𝑦 = 𝑋 𝐶 ∙ 𝐴 Статический момент сечения относительно любой центральной оси равен нулю. Свойство главных осей: Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось и ось, перпендикулярная ей, образуют главную систему координат. Основные теоремы и формулы Теорема о параллельном переносе осей: Пусть известны моменты инерции сечения относительно центральных осей системы координат CX C Y C . Для другой системы координат моменты инерции относительно осей, параллельных центральным, определятся по формулам: 𝐼 𝑋 = 𝐼 𝑋 𝐶 + 𝑎 2 ∙ 𝐴 𝐼 𝑌 = 𝐼 𝑌 𝐶 + 𝑏 2 ∙ 𝐴 a и b – координаты точки O в системе координат CX C Y C Геометрические характеристики простейших сечений Геометрические характеристики простых сечений, имеющих форму геометрических фигур (круг, полукруг, кольцо, прямоугольник, треугольник), зависят от характерных размеров этих сечений (ширины, высоты, диаметра) и приводятся в справочных таблицах. В строительных конструкциях часто используются более сложные, эффективные формы поперечных сечений: уголки, швеллеры, двутавры. Размеры и геометрические характеристики таких сечений приводятся в таблицах государственных стандартов, называемых сортаментами. Геометрические характеристики плоских сечений Пример сортамента прокатных профилей Геометрические характеристики составных сечений Если поперечное сечение состоит из нескольких простых, геометрические характеристики которых либо рассчитываются как геометрические характеристики простых геометрических фигур, либо приводятся в сортаментах, то вычисление геометрических характеристики такого сечения разбивается на несколько шагов: 1. Рассчитываются или определяются по сортаменту геометрические характеристики простых фигур, составляющих сечение. 2. Определяется положение центра тяжести составного сечения. 3. Вычисляется площадь поперечного сечения составного сечения как алгебраическая сумма площадей поперечных сечений простых фигур. 4. Вычисляются статические моменты сдвигаемых частей относительно главных центральных осей составного сечения. Геометрические характеристики составных сечений 5. Вычисляются осевые моменты инерции каждой простой фигуры относительно главных центральных осей составного сечения как суммы осевого момента инерции этой фигуры относительно собственной центральной оси и произведения площади этой фигуры на квадрат расстояния между собственной центральной осью фигуры и главной центральной осью составного сечения. 6. Вычисляются осевые моменты инерции составного сечения как суммы осевых моментов инерции каждой простой фигуры относительно главных центральных осей составного сечения. 7. Вычисляются осевые моменты сопротивления составного сечения от соответствующих моментов инерции относительно главных центральных осей. 8. Вычисляются осевые радиусы составного сечения от соответствующих моментов инерции относительно главных центральных осей. Геометрические характеристики составных сечений Приведенные геометрические характеристики Деревянная балка для повышения несущей способности и жесткости усилена стальной полосой. Следовательно, сечение балки состоит из разнородных материалов. Несущая способность балки зависит от момента сопротивления поперечного сечения, а величина деформации (прогиба) - от момента инерции того же поперечного сечения. Но в данном случае поперечное сечение балки состоит из разных материалов, а у этих материалов различные расчетные сопротивления и модули упругости. Как в таком случае определить несущую способность и жесткость? Нужно привести фактически имеющееся сечение из материалов с разными модулями упругости к некоему условному сечению, имеющему один модуль упругости. Такое сечение называется приведенным. Приведенные геометрические характеристики Модуль упругости стали составляет 2×10 5 МПа, а модуль упругости древесины – 10 4 МПа, то есть модуль упругости стали в 20 раз выше модуля упругости древесины. Из этого следует, что ширина, площадь, статический момент и момент инерции той части приведенного сечения, которая заменяет металлическую полосу, тоже будут в 20 раз больше. Примечание. Из 2-х размеров прямоугольного сечения увеличивается именно ширина сечения, поскольку во всех формулах геометрических характеристик поперечного сечения ширина сечения присутствует только в 1-ой степени. В отличие от высоты сечения. |