Геом. Геометрична ймовірність. Геометричні ймовірності один із давніх об'єктів дослідження в теорії ймовірностей
 Скачать 2.17 Mb.
|
|
Геометричні ймовірності - один із давніх об'єктів дослідження в теорії ймовірностей. Протягом тривалого часу в цій області спостерігався застій. Великий інтерес до геометричної ймовірності обумовлений, насамперед, широким діапазоном її застосувань у природознавстві. В книжковій літературі тема геометричної ймовірності майже не знайшла висвітлення. У шкільних підручниках алгебри є тема «Елементи комбінаторики, статистики й теорії ймовірностей», але в них означення геометричної ймовірності відсутнє, а задачі на геометричні ймовірності є в збірниках задач. Коли ми розглядали класичне означення ймовірності, ми мали справу завжди з скінченним числом елементарних подій, але іноді результатів випробування може бути нескінченна кількість, наприклад, якщо випробування — це вибір точки з відрізка [0;1], в таких випадках допомагає геометрична ймовірність. Геометричні ймовірності - один із давніх об'єктів дослідження в теорії ймовірностей. Протягом тривалого часу в цій області спостерігався застій. Великий інтерес до геометричної ймовірності обумовлений, насамперед, широким діапазоном її застосувань у природознавстві. В книжковій літературі тема геометричної ймовірності майже не знайшла висвітлення. У шкільних підручниках алгебри є тема «Елементи комбінаторики, статистики й теорії ймовірностей», але в них означення геометричної ймовірності відсутнє, а задачі на геометричні ймовірності є в збірниках задач. Коли ми розглядали класичне означення ймовірності, ми мали справу завжди з скінченним числом елементарних подій, але іноді результатів випробування може бути нескінченна кількість, наприклад, якщо випробування — це вибір точки з відрізка [0;1], в таких випадках допомагає геометрична ймовірність. 1) Розглянемо відрізок F, довжина якого дорівнює LF, а в середині його відрізок D довжиною LD. Навмання на відрізку F вибирається точка. При цьому влучення точки на відрізок F достовірна подія, а на D - випадкова подія. Тоді геометричною ймовірністю події А називається відношення довжини відрізка D до довжини відрізка F, тобто P(A) = LD/LF, (1) Ймовірність такої події A називається геометричною ймовірністю прямої. 2) Розглянемо на площині деяку область F, що має площу SF, а всередині області F область D з площею SD. В області F випадково вибирається точка X. Цей вибір можна інтерпретувати як кидання точки X в область F. При цьому влучення точки в область F достовірна подія, а в D - випадкова подія. Тоді геометричною ймовірністю події А називається відношення площі області D до площі F, тобто P(A) = SD/SF, (2) 3) Розглянемо деякe просторове тіло F, що має об‘єм VF, а в його середині тіло D з об‘ємом VD. В тіло F навмання «кидається» точка X. Цей вибір можна інтерпретувати як кидання точки X в область F. При цьому влучення точки в область F достовірна подія, а в D - випадкова подія. Тоді геометричною ймовірністю події А називається відношення об‘єму області D до об‘єму F, тобто P(A) = VD/VF, (3) Геометрична ймовірність будь-якої події приймає значення між нулем та одиницею, 0 ≤ P(A) ≤ 1; Геометрична ймовірність неможливої події дорівнює 0; Геометрична ймовірність достовірної події дорівнює 1, P(F) = 1; Геометрична ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто P(A+B) = P(A)+P(B) Задача ( на вибір точки з фігури на площині) Розглянемо уявний експеримент: точку навмання кидають у квадрат, сторона якого дорівнює 1. Яка ймовірність події, що відстань від цієї точки до найближчої сторони квадрата не більше ніж ? Розв´язання: Фігура F, у цьому прикладі, це квадрат зі стороною 1. Тому SF = 1. Точка влучення від границі квадрата віддалена не більше ніж на , якщо вона потрапила в заштриховану на рисунку фігуру G. G F Щоб знайти площу заштрихованої фігури SG , потрібно від площі фігури Fвідняти площу внутрішнього квадрата зі стороною . Тоді ймовірність того, що точка потрапила у фігуру G, дорівнює Задача (на вибір точки з відрізка) В середині відрізка MN навмання вибирається точка Х. Знайдіть імовірність того, що точка Х ближче до точки N, ніж до точки M. Розв´язання: Нехай точка О – середина відрізка MN, подія відбудеться тоді, коли точка Х лежить усередині відрізка ON. Тоді Задача (на вибір точки з дуги кола) Точка А лежить на колі. Навмання на лінію кола «кидають» точку В. Яка ймовірність того, що довжина хорди АВ буде менше радіуса кола. Розв´язання: Нехай r – радіус кола. Для того, щоб хорда АВ була менше радіуса кола, точка В повинна потрапити на дугу В1АВ2, довжина якої дорівнює довжини кола, тому що, якщо AB1= r i AB2= r, тоді АОB1 і АОB2 по 60°, відповідно дуга В1АВ2 = 120° = С, ( С-довжина кола ) Ймовірність того, що довжина хорди АВ буде менше радіуса кола, дорівнює: Задача На прямолінійній ділянці газопроводу довжиною 80 км відбувся розрив. Яка ймовірність того, що розрив знаходиться від обох кінців ділянки на відстані, більше 30 км? Розв´язання. Ділянку газопроводу AВ розіб'ємо точками C і D на 3 частини (АС=30км, СD =20 км, DВ=30 км). Розрив газопроводу повинен відбутися на відрізку CD. Тоді, імовірність події дорівнює P = LCD/LAB = 20/80 = 0,25. |