Геометрия 7 класс, шпаргалки. Геометрия 7 класс
 Скачать 2.61 Mb.
|
Геометрия - 7 класс геометрия - изучает фигуры (состоящие из точек, линий) на плоскости (планиметрия) или в пространстве (стереометрия) - их форму, размеры, взаимное расположение базовые понятия (без определения) - точка, прямая, плоскость, пространство, расстояние, площадь, объем аксиомы планиметрии - через любые две точки можно провести прямую, и только одну - на луче можно отложить отрезок заданной длины, и только один - из трех точек прямой только одна лежит между двумя другими - от луча в полуплоскость можно отложить угол заданной величины, и только один - точка, принадлежащая прямой, разбивает ее на два луча - длина отрезка равна сумме длин его частей - прямая, принадлежащая плоскости, разбивает ее на две полуплоскости - величина угла равна сумме величин углов, на которые он разбивается - аксиома параллельных прямых («пятый постулат Евклида»): через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и только одну углы между параллельными прямыми и секущей 𝛼2 = 𝛼3 - вертикальные 𝛼1 + 𝛽1 = 180° - смежные 𝛼1 = 𝛼2 - внутренние накрест лежащие 𝛼1 + 𝛽2 = 180° - внутренние односторонние 𝛼1 = 𝛼3 - соответственные прямая, перпендикулярная параллельным прямым 𝑎 ∥ 𝑏 𝑐 ⊥ 𝑎 𝑐 ⊥ 𝑏 неравенство треугольника 𝑐 < 𝑎 + 𝑏 𝑐 > 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝑎 > 𝑏 ⇔ 𝛼 > 𝛽 сумма углов треугольника 𝜶 + 𝜷 + 𝜸 = 𝟏𝟖𝟎° биссектрисы смежных и внутренних односторонних углов ⊥ медиана биссектриса высота биссектриса треугольника лежит между медианой и высотой (𝑚 ≥ 𝑏 ≥ ℎ) прямоугольный треугольник с углами 45° с углами 30° и 60° равнобедренный треугольник боковые стороны и углы при основании равны медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают равносторонний треугольник все стороны и все углы равны внешний угол 𝛾 ′ = 𝛼 + 𝛽 признаки равенства треугольников пр: равные∆ Задачи на построение угол, равный данному биссектриса деление отрезка пополам перпендикулярная прямая через точку лежащую на прямой не лежащую на прямой параллельная прямая через точку первый способ: возьмем на прямой любые две точки A1 и A2, построим угол A1AA3, равный AA1A2 второй способ: проведем окружность через точку A с центром в любой точке O прямой, точки пересечения B1 и B2, окружность радиуса AB1 с центром в точке B2 пересекает первую окружность в точке A1, искомая прямая AA1 касательная к окружности из точки вне окружности центр окружности точка пересечения серединных перпендикуляров к любым двум хордам неразрешимые задачи: трисекция угла - разбить угол на три равные части; удвоение куба - построить ребро куба вдвое большего по объёму, чем данный куб; квадратура круга - построить квадрат, равный по площади данному кругу; построить треугольник по трём биссектрисам ; если не задан отрезок единичной длины, то нельзя построить 𝑎 2 и √𝑎 деление отрезка на n равных частей из точки A проести любую прямую и отложить на ней n равных отрезков любой длины, соединить точки An и B, из точек Ai провести прямые параллелно AnB среднее геометрическое √𝒂𝒃 построим окружность радиуса 𝑎 + 𝑏 и проведем перпендикуляр из точки соединения отрезков до пересечения с окружностью четвертое пропорциональное 𝒃𝒄 𝒂 построим любой угол с вершиной в точке O, на одной стороне угла отложим отрезки OA=a, OB=b, на другой стороне отрезок OC=c, соединим точки A и C, через точку B проведем прямую BD параллельно OC, OD - искомый отрезок треугольник по трем сторонам по углу и двум сторонам по двум сторонам и медиане к третьей по двум углам и стороне по двум сторонам и медиане к одной из них по трем медианам по стороне, медиане и высоте (к этой ст-не) по трем высотам Геометрия - 8 класс выпуклые многоугольники сумма внутренних углов (𝑛 − 2) ⋅ 180° сумма внешних углов 360° число диагоналей 𝑛(𝑛−3) 2 параллелограмм признаки параллелограмма свойства параллелограмма 𝛼 + 𝛽 = 180° биссектриса отсекает равнобедренный ∆: формулы площади прямоугольник 𝑆 = 𝑎𝑏 параллелограмм 𝑆 = 𝑎ℎ 𝑎 = 𝑏ℎ 𝑏 трапеция 𝑆 = 𝑎+𝑏 2 ℎ = 𝑚ℎ ромб 𝑆 = 𝑑 1 𝑑 2 2 = 𝑎ℎ треугольник 𝑆 = 1 2 𝑎ℎ 𝑎 = 1 2 𝑏ℎ 𝑏 формула Герона S= √𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄) 𝒑 = 𝒂+𝒃+𝒄 𝟐 полупериметр признаки подобия треугольников теорема Пифагора 𝒄 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ⇒ 𝑐 = √𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 = √𝑐 2 − 𝑏 2 𝑏 = √𝑐 2 − 𝑎 2 средняя линия треугольника 𝑚 = 𝑎 2 подобные фигуры отношение периметров, площадей , объемов 𝑃 2 = 𝑘𝑃 1 𝑆 2 = 𝑘 2 𝑆 1 𝑉 2 = 𝑘 3 𝑉 1 пр: подобные ∆ ∆𝐴𝐵𝐶∆𝐴 1 𝐵 1 𝐶 𝑘 = cos ∠𝐶 теорема Фалеса 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 = 𝒚 𝟏 𝒚 𝟐 теорема Вариньёна отрезки, соединяющие середины сторон четырехугольника, образуют параллелограмм высота, проведенная к гипотенузе 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 = ( 𝑎 𝑏 ) 2 𝒉 𝒄 = √𝒄 𝒂 ⋅ 𝒄 𝒃 𝒂 = √𝒄 𝒂 ⋅ 𝒄 𝒃 = √𝒄 𝒃 ⋅ 𝒄 биссекриса 𝒄 𝒂 𝒄 𝒃 = 𝒂 𝒃 𝑙 𝑐 = √𝑎𝑏 − 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 медиана при решении задач удобно достроить до паралле- лограмма S 1 = S 2 = ⋯ = S 6 𝑚 𝑐 = 1 2 √2𝑎 2 + 2𝑏 2 − 𝑐 2 медиана, проведенная к гипотенузе 𝒎 = 𝒄 𝟐 высота, проведенная к гипотенузе, образует три подобных ∆; их гипотенузы и все схожие элементы составляют «теорему Пифагора» окружность` сумма дуг окружности теорема о вписанном угле 𝑎1 + 𝑎2 = 360° вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается углы, опирающиеся на одну дугу, равны углы, опирающиеся на полуокружность (диаметр) равны 90° угол между секущими 𝑎 = 𝑎1+𝑎2 2 𝑎 = 𝑎1−𝑎2 2 отрезки секущих 𝐴𝐵 1 ⋅ 𝐴𝐵 2 = 𝐴𝐶 1 ⋅ 𝐴𝐶 2 𝐴𝐵 1 ⋅ 𝐴𝐵 2 = 𝐴𝐶 1 ⋅ 𝐴𝐶 2 𝐴𝐵 2 = 𝐴𝐶 1 ⋅ 𝐴𝐶 2 равносторонний треугольник и окружности т.О - центр вписанной и описанной окружностей, т. пересечения медиан, высот, биссектрис ℎ = 3𝑟 𝑅 = 2𝑟 ℎ = 𝑎√3 2 𝑅 = 𝑎√3 3 𝑟 = 𝑎√3 6 𝑆 = 1 2 𝑎 2 sin 60° = 𝑎 2 √3 4 прямоугольный треугольник и окружности c = (a-r) + (b-r) ⇒ 𝒓 = 𝒂+𝒃−𝒄 𝟐 𝑹 = с 𝟐 = 𝒎 касательная отрезки касательных P ∆ABC = 2AK описанный четырехугольник 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 + 𝐴𝐷 вписанный четырехугольник 𝐴 + 𝐶 = 180° 𝐵 + 𝐷 = 180° ГМТ геометрическое место точек - точки, удовлетворяющие заданному условию биссектриса ГМТ равноудаленных от сторон угла четыре замечательные точки треугольника пересечение биссектрис и центр вписанной окружности пересечение медиан (центроид) 𝐴𝑂 ∶ 𝑂𝑀 = 2 ∶ 1 серединный перпендикуляр ГМТ равноудаленных от концов отрезка пересечение серединных перпендикуляров и центр описанной окружности пересечение высот (ортоцентр) 𝒉 𝒂 : 𝒉 𝒃 : 𝒉 𝒄 = 𝟏 𝒂 : 𝟏 𝒃 : 𝟏 𝒄 𝟏 𝒉 𝒂 + 𝟏 𝒉 𝒃 + 𝟏 𝒉 𝒄 = 𝟏 𝒓 окружность ГМТ равноудаленных от центра площадь треугольника и окружности 𝑺 = 𝒑𝒓 𝒑 = 𝒂+𝒃+𝒄 𝟐 𝑺 = 𝒂𝒃𝒄 𝟒𝑹 для вписанного четырехугольника: теорема Птолемея: 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 = 𝑑 1 𝑑 2 формула Брахмагупты: 𝑆 = √(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)(𝑝 − 𝑑) (подходит для равнобед. трапеции) для описанного: 𝑆 = 𝑝𝑟 для (одновременно) вписанного и описанного: 𝑆 = √𝑎𝑏𝑐𝑑 отрезки общих внешних и внутренних касательных равны √𝑑 2 − (𝑅 ∓ 𝑟) 2 общая хорда пересек-ся окружностей делит пополам отрезок их общей касат-ой биссектриса и серед. перпенд-р к противоп-ой стороне пересекаются на описанной окружности прямая Эйлера ортоцентр, центр описанной окружности и точка пересечения медиан лежат на одной прямой 𝑀𝐻 = 2 ⋅ 𝑀𝑂 𝐴𝐻 = 2 ⋅ 𝜌(𝑂, 𝐶𝐵) свойства трапеции средняя линия 𝑚 = 𝑎+𝑏 2 отрезок, соединяющий середины диагоналей 𝑚 𝑑 = 𝑎−𝑏 2 в трапеции четыре точки лежат на одной прямой: пересечение диагоналей, пересечение (продолжений) боковых сторон; середины оснований равнобед. трапеция равнобед. трапеция с ⊥ диагоналями равнобед. трапеция описанная трапеция описанная трапеция вписанная ⇒ равнобед. метод сдвига диагонали: 𝑀𝐵 ∥ 𝐴𝐶 ⇒ 𝑆 𝑀𝐵𝐷 = 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝑀𝐵𝐷 = ∠𝐴𝑂𝐷 ∆𝑀𝐵𝐷 − равноб. ⇔ 𝐴𝐵𝐶𝐷 − равноб. 𝐵𝐻 = 𝐾𝑃 𝑆 𝐴𝐵𝑂 = 𝑆 𝐷𝐶𝑂 𝑆 𝐴𝐵𝑆 = 1 2 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 Основы тригонометрии отношения сторон в прямоугольном треугольнике 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 𝑏 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑎 𝑐 𝑡𝑔 𝛼 = 𝑏 𝑎 𝑐𝑡𝑔 𝛼 = 𝑎 𝑏 противолежащий катет к гипотенузе прилежащий катет к гипотенузе противолежащий катет к прилежащему прилежащий катет к противолежащему дополнительные углы 𝜷 = 𝟗𝟎° − 𝜶 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑡𝑔 𝛽 = 𝑐𝑡𝑔 𝛼 𝑐𝑡𝑔 𝛽 = 𝑡𝑔 𝛼 тригонометрический круг выражение сторон прямоугольного треугольника с помощью тригонометрических функций: 𝑏 = 𝑐 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑏 = 𝑎 ⋅ 𝑡𝑔 𝛼 𝑎 = 𝑐 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑎 = 𝑏 ⋅ 𝑐𝑡𝑔 𝛼 𝑐 = 𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛼 значения тригонометрических функций основных углов 𝟎° 𝟑𝟎° 𝟒𝟓° 𝟔𝟎° 𝟗𝟎° 𝒔𝒊𝒏 𝜶 0 𝟏 𝟐 √𝟐 𝟐 √𝟑 𝟐 1 𝒄𝒐𝒔 𝜶 1 √𝟑 𝟐 √𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 0 𝒕𝒈 𝜶 0 √𝟑 𝟑 1 √𝟑 - 𝒄𝒕𝒈 𝜶 - √𝟑 1 √𝟑 𝟑 0 основное тригонометрическое тождество 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶 = 𝟏 другие тригонометрические равенства 1 + 𝑡𝑔 2 𝛼 = 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 1 + 𝑐𝑡𝑔 2 𝛼 = 1 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 𝒕𝒈 𝜶 = 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒕𝒈𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝑡𝑔 𝛼 ⋅ 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 1 Геометрия - 9 класс Теорема синусов 𝒂 𝒔𝒊𝒏 𝜶 = 𝒃 𝒔𝒊𝒏 𝜷 = 𝒄 𝒔𝒊𝒏 𝜸 = 𝟐𝑹 Теорема косинусов 𝒄 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝜸 Формулы площади треугольника 𝑆 = 1 2 𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝛾 параллелограмма 𝑆 = 𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝛾 четырехугольника 𝑆 = 1 2 𝑑 1 𝑑 2 𝑠𝑖𝑛 𝛾 свойство диагоналей параллелограмма 𝒅 𝟏 𝟐 + 𝒅 𝟐 𝟐 = 𝟐(𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ) Векторы на плоскости вектор - направленный отрезок (величина + направление) противоположный вектор (та же величина, противоположное направление)𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ сумма векторов: правило треу- гольника правило парал- лелограмма правило много- угольника разность векторов: 𝑎 − 𝑏⃗ = 𝑎 + (−𝑏⃗ ) (сумма с противоположным вектором) произведение вектора на число: величина меняется в k раз, при 𝑘 < 0 направление меняется на противоположное коллинеарные (параллельные) векторы: 𝑎 ∥ 𝑏⃗ 𝑎 ⇈ 𝑏⃗ (сонаправленные) или 𝑎 ⇅ 𝑏⃗ (противоположно направленные) 𝑎 ∥ 𝑏⃗ ⇒ ∃𝑘: 𝑏 ⃗⃗ = 𝑘𝑎 𝑎 ∥ 𝑏⃗ , 𝑎 {𝑥 𝑎 ; 𝑦 𝑎 }, 𝑏⃗ {𝑥 𝑏 ; 𝑦 𝑏 } ⇒ 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑦 𝑎 𝑦 𝑏 (или 𝑥 𝑏 = 𝑦 𝑏 = 0) разложение вектора по двум неколлинеарным векторам: 𝑐 = 𝑘 𝑎 𝑎 + 𝑘 𝑏 𝑏⃗ (𝑘 𝑎 , 𝑘 𝑏 - коэффициенты разложения) Метод координат на плоскости разложение векторапо координатным векторам𝑖 , 𝑗 ∶ 𝑎 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 ⇒ координаты вектора 𝒂 ⃗⃗ {𝒙; 𝒚} координаты векторов (суммы, разности, произведения на число): 𝑎 {𝑥 𝑎 ; 𝑦 𝑎 }, 𝑏 ⃗⃗ {𝑥 𝑏 ; 𝑦 𝑏 } ⇒ (𝒂 ⃗⃗ ± 𝒃 ⃗⃗ ) {𝒙 𝒂 ± 𝒙 𝒃 ; 𝒚 𝒂 ± 𝒚 𝒃 } 𝒌𝒂 ⃗⃗ {𝒌𝒙 𝒂 ; 𝒌𝒚 𝒂 } связь между координатами точек и векторов: координаты точки (A) равны координатам ее радиус-вектора (𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {𝒙 𝒃 − 𝒙 𝒂 ; 𝒚 𝒃 − 𝒚 𝒂 } длина вектора: |𝒂 ⃗⃗ | = √𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 |𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝒙 𝒃 − 𝒙 𝒂 ) 𝟐 + (𝒚 𝒃 − 𝒚 𝒂 ) 𝟐 середина отрезка: 𝑀 { 𝑥 𝑎 +𝑥 𝑏 2 ; 𝑦 𝑎 +𝑦 𝑏 2 } - точка M делит отрезок AB в отношении 𝒎: 𝒏 = ℷ⇒ 𝑀 { 𝑥 𝑎 +ℷ𝑥 𝑏 1+ℷ ; 𝑦 𝑎+ ℷ𝒚 𝒃 1+ℷ } - точка пересечения медиан треугольника 𝑀 { 𝑥 𝑎 +𝑥 𝑏 +𝑥 𝑧 3 ; 𝑦 𝑎 +𝑦 𝑏 +𝑦 𝑧 3 } скалярное произведение векторов: 𝑎𝑏 ̅̅̅ = 𝑎 ⋅ 𝑏⃗ = 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 + 𝑦 𝑎 𝑦 𝑏 = |𝑎 ||𝑏⃗ | cos 𝜑 ⇒ cos 𝜑 = 𝑎𝑏 ̅̅̅ |𝑎⃗ ||𝑏⃗ | (𝜑 - угол между векторами) 𝑎 ⊥ 𝑏⃗ ⟺ 𝑎𝑏 ̅̅̅ = 0 (𝑎 , 𝑏⃗ ≠ 0 ⃗ ) ∠𝜑 - острый ⟺ 𝑎𝑏 ̅̅̅ > 0 ∠𝜑 - тупой ⟺ 𝑎𝑏 ̅̅̅ < 0 Правильные многоугольники (все стороны и углы равны) угол n-угольника 𝛼 𝑛 = 𝑛−2 𝑛 180° сторона n-угольника 𝑎 𝑛 = 2𝑅 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 180 𝑛 = 2𝑟 ⋅ 𝑡𝑔 180 𝑛 = площадь n-угольника 𝑆 𝑛 = 𝑝𝑟 Окружность длина окружности 𝐶 = 2𝜋𝑅 площадь круга 𝑆 = 𝜋𝑅 2 длина дуги 𝑙 𝛼 = 𝛼 360 2𝜋𝑅 площадь сегмента 𝑆 𝛼 = 𝛼 360 𝜋𝑅 2 уравнение окружности (𝑥 − 𝑥 0 ) 2 + (𝑦 − 𝑦 0 ) 2 = 𝑅 2 радиуса R с центром в точке (x 0 ; y 0 ) взаимное расположение окружностей - концентрические - касающиеся внутренним образом - касающиес внешним образом Движения движение - отображение плоскости на саму себя (т.е. каждой точке плоскости ставится в соответствие другая точка плоскости), при котором сохраняется расстояние между точками Уравнения прямой - с угловым коэффициентом: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 прямые ∥ если 𝑘1 = 𝑘2 (𝑏1 ≠ 𝑏2) прямые ⊥ если 𝑘1 ⋅ 𝑘2 = −1 угол между прямыми: 𝑡𝑔 𝜑 = | 𝑘 1 −𝑘 2 1+𝑘 1 ⋅𝑘 2 | - общее (через нормаль): 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑛⃗ (𝑎; 𝑏) - нормальный вектор ( ⊥ прямой) если прямая проходит через точку (𝑥 0 ; 𝑦 0 ) ⇒ 𝑎(𝑥 − 𝑥 0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦 0 ) = 0 расстояние от точки 𝑀 до прямой: 𝑑 = | 𝑎𝑥 𝑚 +𝑏𝑦 𝑚 +𝑐 √𝑎 2 +𝑏 2 | угол между прямыми равен углу между их нормалями - каноническое (через две точки): 𝑥−𝑥 1 𝑥 2 −𝑥 1 = 𝑦−𝑦 1 𝑦 2 −𝑦 1 (через точку и направляющий вектор): 𝑥−𝑥 0 𝑥 𝑎 = 𝑦−𝑦 0 𝑦 𝑎 - в отрезках: 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 = 1 - параметрическое: { 𝑥 = 𝑎 1 𝑡 + 𝑥 0 𝑦 = 𝑎 2 𝑡 + 𝑦 0 - нормальное: 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑝 = 0 (подставив координаты точки получим расстояние от точки до прямой) теоремы Чевы и Менелая пусть точки N, M, K лежат на сторонах треугольника (или продолжениях сторон) прямые AN, BK, CM пересекаются в одной точке ⟺ 𝐴𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝐵𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝐶𝐾 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 точки N, K, M лежат на одной прямой ⟺ 𝐴𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝐵𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝐶𝐾 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −1 метод площадей (или объемов) для нахождения высоты часто в задачах для нахождения высоты используют формулы площади (или объема), записанные разными способами пр: найти высоту ℎ 𝑆 ∆ = 1 2 𝑎𝑏 = 1 2 𝑐ℎ ⇒ ℎ = 𝑎𝑏 √𝑎 2 +𝑏 2 Геометрия - 10 класс аксиомы стереометрии - через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и только одна - если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости - если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую (пересекаются по прямой) взаимное расположение прямых 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑀 пересекаются (одна общая точка) 𝑎 || 𝑏 параллельны (лежат в одной плоскости и не имеют общих точек) 𝑎 ∸ 𝑏 скрещиваются (не лежат в одной плоскости) признак скрещивающихся прямых одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой взаимное расположение прямой и плоскости 𝑎 ∩ 𝛼 = 𝑀 пересекаются (одна общая точка) 𝑎 || 𝛼 параллельны (не имеют общих точек) 𝑎 𝜖 𝛼 прямая лежит в плоскости (все точки) признак параллельности прямой и плоскости прямая не лежит в плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости взаимное расположение плоскостей 𝛼 ∩ 𝛽 = 𝑎 пересекаются (общая прямая) 𝛼 || 𝛽 параллельны (не имеют общих точек) признак параллельности плоскостей две прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости параллельность в пространстве через точку пространства, не лежащую на данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и только одну если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны если одна из параллельных прямых пересекает плость, то и другая пересекает эту плоскость если одна из параллельных прямых параллельна плости, то другая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат с ней в одной плоскости если прямая параллельна двум пересекающимся плоскостям, то она параллельна линии их пересечения если две плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны отрезки параллельных прямых между двумя параллельными плоскостями равны угол между прямыми пересекающимися скрещивающимися 0 ≤ 𝛼 ≤ 90° 𝑎 || 𝑎 2 𝑏 || 𝑏 1 || 𝑏 2 ∠(𝑎, 𝑏) = ∠(𝑎, 𝑏 1 ) = ∠(𝑎 2 , 𝑏 2 ) 𝛼 = 90° ⇒ перпендикулярные прямые 𝑎 ⊥ 𝑏 𝑎 ⊥ 𝑐 перпендикуляр к плоскости («опущенный» из точки) - прямая, перпендикулярная плоскости (т.е. любой прямой этой плоскости) H - основание перпендикуляра (проекция точки на плоскость) M - основание наклонной угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость ∠(𝒂, 𝜶) = ∠(𝒂, 𝒂′) двугранный угол (между полуплоскостями) равен углу между перпендикулярами к ребру двугранного угла, лежащими на гранях двугранного угла угол между плоскостями угол между перпендикуляром к линии пересечения плоскостей, лежащим в одной из этих плоскостей, и его проекцией на другую плоскость ∠(𝜶, 𝜷) = ∠(𝒂, 𝒃) признак перпендикулярности плоскостей одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости если плоскость перпендикулярна линии пересечения двух плоскостей, то она перпендикуляра этим плоскостям теорема о трех перпендикулярах прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной ⇔ перпендикулярна проекции наклонной пр: 𝑑 2 ⊥ 𝑑 1 ⇒ 𝑑 2 ⊥ 𝑑 𝑎 ⊥ 𝑚 ⇒ 𝑎 ⊥ 𝑏 способы задания плоскости 𝛼 = (𝐴𝐵𝐶) 𝛼 = (𝐴, 𝑎) 𝛼 = (𝑎𝑏) расстояния в пространстве между точками = длине отрезка, соединяющего эти точки от точки до прямой = длине перпендикуляра, проведенного от точки до прямой от точки до плоскости = длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость между параллельными прямыми = расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой между скрещивающимися прямыми = длине общего перпендикуляра (или расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые, или расстоянию от любой точки одной прямой до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую) от прямой до параллельной ей плоскости = расстоянию от любой точки прямой до плоскости между параллельными плоскостями = расстоянию от любой точки одной плоскости до другой плоскости Многогранники Призма (плоскости оснований и боковые ребра параллельны) площадь поверхности 𝑆 пов = 2𝑆 осн + 𝑆 бок объем 𝑉 = 𝑆 осн ℎ Пирамида (вершина и основание - многоугольник) площадь поверхности 𝑆 пов = 𝑆 осн + 𝑆 бок объем 𝑉 = 1 3 𝑆 осн ℎ наклонная прямая (боковые ребра ⊥ основанию) l - боковое ребро h - высота пирамиды a - сторона основания ℎ 𝑎 - апофема𝛼 1 - угол наклона бокового ребра к основанию 𝛼 2 - угол наклона боковой грани к основанию r - радиус вписанной окружности R - радиус описанной окружности ℎ = 𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝛼 l - боковое ребро 𝛼 - угол наклона бокового ребра к основанию h - высота призмы 𝑆 осн 𝑆 бок - площади основания и боковой поверхности 𝑆 бок = 𝑃 ⊥ 𝑙𝑉 = 𝑆 ⊥ 𝑙 𝑃 ⊥ 𝑆 ⊥ - периметр и площадь перпендикулярного сечения 𝑆 бок = 𝑃 осн ℎ 𝑃 осн - периметр основания правильная (основание - правильный многоугольник, все боковые ребра равны) правильная (прямая, основание - правильный многоугольник) треугольная четырехугольная параллелепипед (четырехугольная призма, основание -параллелограмм) наклонный прямой состоит из шести равных по объему пирамид ℎ = 𝑙 sin 𝛼 1 = 𝑅 tg 𝛼 1 = ℎ 𝑎 sin 𝛼 2 = 𝑟 tan 𝛼 2 𝑎 = √3𝑅 = 2√3𝑟 𝑆 осн = √3 4 𝑎 2 𝑆 бок = 3 ⋅ 1 2 𝑎ℎ 𝑎 𝑎 = √2𝑅 = 2𝑟 𝑆 осн = 𝑎 2 𝑆 бок = 4 ⋅ 1 2 𝑎ℎ 𝑎 куб (все грани - квадраты) прямоугольный (прямой, основание -прямоугольник) в треугольную пирамиду можно вписать сферу, причем 𝑅 сф = 3𝑉 пир 𝑆 пов.пир тетраэдр - треугольная пирамида правильный тетраэдр - все ребра равны усеченная (два основания) 𝑉 = 1 3 (𝑆 1 + 𝑆 2 + √𝑆 1 𝑆 2 )ℎ боковые грани - трапеции a, b, c - «измерения» - «линейные размеры» d - диагональ параллелепипеда, диагональное сечение прямоугольная (боковое ребро⊥основанию) 𝑑 = 𝑎√3 𝑑 0 = 𝑎√2 𝑆 пов = 6𝑎 2 𝑉 = 𝑎 3 𝑑 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑆 пов = 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑) 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 пирамида, вписанная и описанная окружности - если все боковые ребра пирамиды равны, то основание высоты является центром описанной окружности - если все апофемы пирамиды равны, то основание высоты является центром вписанной окружности пр: если в пирамиде все ребра равны, а в основании - прямоугольный треугольник, то основание высоты пирамиды лежит на середине гипотенузы площадь прямоугольной проекции 𝑆 ′ = 𝑆 cos 𝛼 свойство трехгранного угла если два плоских угла при вершине трехгранного угла равны, то их общее ребро проецируется на биссектрису третьего плоского угла ∠𝐵 1 𝐴𝐶 = ∠𝐵 2 𝐴𝐶 ⟺ ∠𝐵 1 𝐴𝐶′ = ∠𝐵 2 𝐴𝐶′ свойство диагонали куба диагональ 𝑑 куба ⊥ плоскостям 𝛼 и 𝛽 (и делится на три равных отрезка) Правильные многогранники в выпуклом многограннике сумма плоских углов при каждой вершине меньше 360° число ребер = 1 2 ⋅ число граней число ребер при вершине методы построения сечений: аксиоматический (построение параллельных прямых) метод следов (построение проекций прямых на опорную плоскость) внутреннее проецирование (построение внутренних проекций) теорема Эйлера (для любого многогранника) число вершин + число граней - число ребер = 2 Геометрия - 11 класс Тела вращения цилиндр (вращение прямоугольника) h - высота цилиндра r - радиус основания 𝑆 пов = 2𝑆 осн + 𝑆 бок 𝑆 осн = 𝜋𝑟 2 𝑆 бок = 2𝜋𝑟ℎ 𝑉 = 𝑆 осн ℎ = 𝜋𝑟 2 ℎ осевое сечение сечение, параллельное оси сечение, параллельное основанию конус (вращение прямоугольного треугольника вокруг катета) h - высота конуса r - радиус основания l - образующая 𝑆 пов = 𝑆 осн + 𝑆 бок 𝑆 осн = 𝜋𝑟 2 𝑆 бок = 𝜋𝑟𝑙 𝑉 = 1 3 𝑆 осн ℎ = 1 3 𝜋𝑟 2 ℎ осевое сечение сечение через вершину и хорду сечение, параллельное основанию наклонный цилиндр и наклонный конус усеченный конус 𝑆 пов = 𝑆 1 + 𝑆 2 + 𝑆 бок = = 𝜋𝑟 1 2 + 𝜋𝑟 2 2 + 𝜋(𝑟 1 + 𝑟 2 )𝑙 𝑉 = 1 3 (𝑆 1 + 𝑆 2 + √𝑆 1 𝑆 2 )ℎ = = 1 3 𝜋 ( 𝑟 1 2 + 𝑟 2 2 + √ 𝑟 1 𝑟 2 ) ℎ 𝑉 = 𝑆 осн ℎ = 𝑆 ⊥ 𝑙 𝑉 = 1 3 𝑆 осн ℎ сфера и шар шаровой сегмент шаровой сектор шаровой слой 𝑆 пов = 4𝜋𝑅 2 𝑉 = 4 3 𝜋𝑅 3 𝑆 пов = 2𝜋𝑅ℎ + 𝜋𝑟 2 𝑉 = 𝜋ℎ 2 (𝑅 − 1 3 ℎ) 𝑆 пов = 2𝜋𝑅ℎ + 𝜋𝑟𝑅 𝑉 = 2 3 𝜋𝑅 2 ℎ 𝑆 пов = 2𝜋𝑅ℎ + 𝜋𝑟 1 2 + 𝜋𝑟 2 2 𝑉 = 𝑉 ш − (𝑉 сег1 + 𝑉 сег2 ) уравнение сферы: (𝑥 − 𝑥 0 ) 2 + (𝑦 − 𝑦 0 ) 2 + (𝑧 − 𝑧 0 ) 2 = 𝑅 2 с центром в точке (𝑥 0 ; 𝑦 0 ; 𝑧 0 ) и радиусом R подобные фигуры: соотношение периметров, площадей, объемов 𝑃 2 = 𝑘𝑃 1 𝑆 2 = 𝑘 2 𝑆 1 𝑉 2 = 𝑘 3 𝑉 1 если все линейные размеры фигуры изменить в k раз, то периметр изменится в k раз, площадь - в 𝑘 2 раз, объем - в 𝑘 3 раз Векторы и метод координат в пространстве (см. векторы и метод координат на плоскости) сложение векторов, правило параллелепипеда: коллинеарные векторы: 𝑎 ∥ 𝑏⃗ ⇒ 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑦 𝑎 𝑦 𝑏 = 𝑦 𝑎 𝑧 𝑏 (или 𝑥 𝑏 = 𝑦 𝑏 = 𝑧 𝑏 0) компланарные векторы: при откладывании от одной точки лежат в одной плоскости (один из этих векторов можно разложить по двум другим) разложение вектора по трем некомпланарным векторам: 𝑎 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗ все действия с векторами в пространстве аналогичны действиям с векторами на плоскости, но в трехмерном пространстве вектор имеет три координаты 𝑎 (𝑥; 𝑦; 𝑧) углы в пространстве: угол между прямыми - угол между направляющими векторами прямых угол между прямой и плоскостью - угол, дополнительный к углу между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости sin 𝜑 = cos 𝛼 угол между плоскостями - угол (острый) между нормалями к плоскостям чтобы найти нормаль 𝑛⃗ к плоскости (𝑎 , 𝑏⃗ ), нужно решить уравнения 𝑛⃗ 𝑎 = 0 и 𝑛⃗ 𝑏⃗ = 0, одну координату можно выбрать произвольно, например, равной 1 (или 0, если 1 не подойдет) уравнение плоскости: 𝑛⃗ (𝐴; 𝐵; 𝐶) ⇒ 𝐴𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 (чтобы найти коэфиициент D нужно подставить координаты какой-нибудь точки плоскости) расстояние от точки до плоскости: 𝑴(𝒙 𝟎 ; 𝒚 𝟎 ; 𝒛 𝟎 ) ⇒ 𝜌(𝑀, 𝛼) = |𝐴𝑥 0 +𝐷𝑦 0 +𝐶𝑧 0 +𝐷| √𝐴 2 +𝐵 2 +𝐶 2 иногда расстояния удобно находить методом объемов удобное расположение прямоугольной системы координат при решении задач: |