конспект 2. Геометрия Евклида первая естественнонаучная теория
 Скачать 21.07 Kb.
|
|
Геометрия Евклида — первая естественно-научная теория Исторический обзор обоснования геометрии. Основным методом современной математики, в частности геометрии, является аксиоматический метод, который берет свое начало от «Оснований геометрии» Д. Гильберта. Геометрия, прежде чем стать аксиоматической теорией, прошла долгий путь эмпирического развития. Первые сведения о геометрии были получены цивилизациями Древнего Востока — в Египте, Китае, Индии — в связи с развитием земледелия, ограниченностью плодородных земель и др. В этих странах геометрия носила эмпирический характер и представляла собой набор отдельных «рецептов-правил» для решения конкретных задач. Уже во II тысячелетии до н.э. египтяне умели точно вычислить площадь треугольника, объем усеченной пирамиды, площадь круга, а вавилоняне знали теорему Пифагора. Заметим, что доказательств не было, а указывались правила для вычислений. Греческий период развития геометрии начался в VII—VI вв. до н. э. под влиянием египтян. Отцом греческой математики считается знаменитый философ Фолес (640—548 гг. до н.э.). Фолесу, точнее его математической школе, принадлежат доказательства свойств равнобедренного треугольника, вертикальных углов. В дальнейшем геометром Древней Греции были получены результаты, охватывающие почти все содержание современного школьного курса геометрии. Философская школа Пифагора (570—471 гг. до н.э.) открыла теорему о сумме углов треугольника, доказала теорему Пифагора, установила существование пяти типов правильных многогранников и несоизмеримых отрезков. Демокрит (470-370 гг. до н.э.) открыл теоремы об объемах пирамиды и конуса. Евдокс (410-356 гг. до н.э.) создал геометрическую теорию пропорций (т. е. теорию пропорциональных чисел). Менехм и Аполлоний изучили конические сечения. Архимед (289-212 гг. до н.э.) открыл правила вычисления площади поверхности и объема шара и других фигур. Он же нашел приближенное значение числа тт. Особая заслуга древнегреческих ученых состоит в том, что они первыми поставили проблему строгого построения геометрических знаний и решили ее в первом приближении. Проблему поставил Платон (428—348 гг. до н.э.). Аристотелю (384-322 гг. до н.э.) — крупнейшему философу, основателю формальной логики принадлежит четкое оформление идеи построения геометрии в виде цепи предложений, которые вытекают одно из другого на основе лишь правил логики. Эту задачу пытались решить многие греческие ученые (Гиппократ, Федий). Евклид (330—275 гг. до н. э.) — крупнейший геометр древности, воспитанник школы Платона, жил в Египте (в Александрии). Составленные им «Начала» дают систематическое изложение начал геометрии: выполнение на таком научном уровне, что многие века преподавание геометрии велось по его сочинению. «Начала» состоят из 13 книг (глав): I—VI — планиметрия; VII—IX — арифметика в геометрическом изложении; X — несоизмеримые отрезки; XI—XIII — стереометрия. Замечание 1. В «Начала» были включены не все сведения, известные в геометрии. Например, в эти книги не вошли: теория конических сечений, кривые высших порядков. Замечание 2. Каждая книга начинается с определения тех понятий, которые в ней встречаются. Например, в книге 1 даны 23 определения. Приведем определения первых четырех понятий: Точка есть то, что не имеет частей. Линия есть длина без ширины. Границы линии суть точки. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам. Евклид приводит предложения, принимаемые без доказательства, разделяя их на постулаты и аксиомы. Постулатов у него пять, а аксиом — семь. Вот некоторые из них. Постулаты (...) IV. И чтобы все прямые углы были равны. V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых. Аксиомы I. Равные порознь третьему равны между собой. II. И если к равным прибавить равные, то получим равные. (...) VII. И совмещающиеся равны. Замечание 1. Евклид не указал, в чем заключается различие между постулатами и аксиомами. До сих пор нет окончательного решения этого вопроса. Замечание 2. Евклид излагает теорию геометрии так, как требовали греческие ученые, особенно Аристотель, т.е. теоремы расположены так, что каждая следующая доказывается только на основе предыдущих. Иначе говоря, Евклид развивает геометрическую теорию строго логическим путем. В этом и заключается историческая заслуга Евклида перед наукой. «Начала» Евклида сыграли огромную роль в истории математики и всей человеческой культуры. Эти книги переведены на все основные языки мира, после 1482 г. они выдержали около 500 изданий. Недостатки системы Евклида. С точки зрения современной математики изложение «Начал» следует признать несовершенным. Назовем основные недостатки этой системы: многие понятия включают такие понятия, которые, в свою очередь, должны быть определены (например, в определениях 1-4 главы 1 используются понятия ширины, длины, границы, которые, в свою очередь, должны быть определены); список аксиом и постулатов недостаточен для построения геометрии строго логическим путем. Например, в этом списке нет аксиом порядка, без которых нельзя доказать многие теоремы геометрии; заметим, что на это обстоятельство обратил внимание Гаусс. В указанном списке отсутствуют также определения понятия движения (совмещения) и свойств движения, т.е. аксиом движения. В списке не хватает также аксиомы Архимеда (одной из двух аксиом непрерывности), которая играет важную роль в теории измерений длин отрезков, площадей фигур и объектов тел. Заметим, что на это обратил внимание современник Евклида Архимед; постулат IV явно лишний, его можно доказать как теорему. Особо отметим пятый постулат. В книге I «Начал» первые 28 предложений доказаны без ссылок на пятый постулат. Попытка минимизировать список аксиом и постулатов, в частности доказать постулат V как теорему, проводилась со времен самого Евклида. Прокл (V в. н. э.). Омар Хайям (1048-1123), Валлис (XVII в.), Саккери и Ламберт (XVIII в.), Лежандр (1752-1833) также пытались доказать постулат V как теорему. Их доказательства были ошибочными, но они привели к положительным результатам — к рождению еще двух геометрий (Римана и Лобачевского). Неевклидовы геометрические системы. Н. Лобачевский (1792-1856), который открыл новую геометрию -1 геометрию Лобачевского, также начал с попытки доказательства постулата V. Николай Иванович развил свою систему до объема «Начал» в надежде получить противоречие. Не получил, но сделал (1826) правильный вывод: существует геометрия, отличная от геометрии Евклида. На первый взгляд этот вывод кажется недостаточно обоснованным: может быть, развивая его дальше, можно прийти к противоречию. Но этот же вопрос относится и к геометрии Евклида. Иначе говоря, обе геометрии равноправны перед вопросом о логической непротиворечивости. Дальнейшие исследования показали, что из непротиворечивости одной следует непротиворечивость другой геометрии, т. е. имеет место равноправие логических систем. Лобачевский был первым, но не единственным, сделавшим вывод о существовании другой геометрии. Гаусс (1777—1855) высказал эту идею еще в 1816 г. в частных письмах, но в официальных публикациях заявление не сделал. Три года спустя после публикации результатов Лобачевского (1829), т. е. в 1832 г., вышла работа венгра Я. Бойяи (1802—1860), который в 1823 г. пришел к выводу о существовании другой геометрии, но опубликовал идею позже и в менее развитом, чем у Лобачевского, виде. Поэтому справедливо, что эта геометрия носит имя Лобачевского. Общему признанию геометрии Лобачевского в значительной степени способствовали работы геометров после Лобачевского. В 1868 г. итальянский математик Э. Бельтрами (1825—1900) доказал, что на поверхности постоянной отрицательной кривизны (так называемая псевдосфера) имеет место геометрия Лобачевского. Уязвимым местом доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского, основанного на интерпретации Бельтрами, было то, что, как показал Гильберт (1862—1943), в евклидовом пространстве не существует полной поверхности постоянной отрицательной кривизны без особенностей. Поэтому на поверхности постоянной отрицательной кривизны можно интерпретировать только часть плоской геометрии Лобачевского. Этот недостаток был устранен Пуанкаре (1854— 1912) и Клейном (1849-1925). Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского было вместе с тем и доказательством независимости пятого постулата от остальных. Действительно, в случае зависимости геометрия Лобачевского была бы противоречивой, так как она содержала бы два взаимно исключающих утверждения. Дальнейшие исследования евклидовой геометрии показали неполноту системы аксиом и постулатов Евклида. Исследование аксиоматики Евклида завершил в 1899 г. Гильберт. Аксиоматика Гильберта состоит из пяти групп: аксиомы связи (принадлежности); аксиомы порядка; аксиомы конгруэнтности (равенства, совпадения); аксиомы непрерывности; аксиома параллельности. Эти аксиомы (всего 20) относятся к объектам трех родов: точек, прямых, плоскостей, а также к трем отношениям между ними: принадлежит, лежит между, конгруэнтен. Конкретный смысл точек, прямых, плоскостей и отношений не указан. Они косвенно определены через аксиомы. Благодаря этому построенная на основе аксиом Гильберта геометрия допускает различные конкретные реализации. Геометрическая система, построенная на перечисленных аксиомах, называется евклидовой геометрией, так как совпадает с геометрией, изложенной Евклидом в «Началах». Геометрические системы, отличные от евклидовой, называются неевклидовыми геометриями. Согласно общей теории относительности, в пространстве ни та, ни другая не являются абсолютно точными, однако в малых масштабах (земные масштабы являются также достаточно «малыми») они вполне пригодны для описания пространства. Причиной того, что на практике применяются евклидовы формулы, является их простота. Гильберт всесторонне исследовал свою систему аксиом, показал, что она непротиворечива, если не противоречива арифметика (т. е. на самом деле доказана содержательная или, так называемая, внешняя непротиворечивость). Он завершил многовековые исследования геометров по обоснованию геометрии. Эта работа была высоко оценена и в 1903 г. отмечена премией имени Лобачевского. В современном аксиоматическом изложении геометрии Евклида не всегда пользуются аксиомами Гильберта: учебники по геометрии построены на различных модификациях этой системы аксиом. В XX в. было обнаружено, что геометрия Лобачевского не только имеет важное значение для абстрактной математики, как одна из возможных геометрий, но и непосредственно связана с приложениями математики. Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, открытая в работах А. Эйнштейна и других в рамках специальной теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского. |