Геометрия масс не рассматривается. Используя обычные методы при решении задач на отношение длин, решения получаются достаточно объемными. Но благодаря данному методу решение задач становится рациональным
 Скачать 45.99 Kb.
|
|
Центр масс В школьном курсе математики тема «Геометрия масс» не рассматривается. Используя обычные методы при решении задач на отношение длин, решения получаются достаточно объемными. Но благодаря данному методу решение задач становится рациональным. Родоначальником метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс. В частности, этим способом им была установлена теорема о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Соображения Архимеда были позднее использованы и развиты многими геометрами, такими как Папп, Чева, Гюльден, Люилье и др. Чтобы понять, что такое центр масс, рассмотрим на примере детских качелей (рис.1).  Рис.1 Многие замечали, что более тяжелый ребёнок перевешивает. Но стоит ему начать приближаться ближе к центру, как качели постепенно приходят в равновесие. И узнать то, насколько близко он должен подвинуться, нам поможет метод масс. Переведём задачу на язык математики:  Рис.2 Пусть качели – отрезок AB, где m1, m2 – массы, расположенные на концах качелей (m1 >m2). Центром масс данной системы двух точек будет такая точка О данного отрезка АВ, что АО*m1 = BO*m2, или  =  .Теперь найдём центр масс треугольника. В точках A, B, C расположены массы m1, m2, m3 (рис.3).  Если нам дана система из нескольких точек с массой в каждой из них, то вместо любой пары точек мы можем рассмотреть их центр масс, в котором сосредоточена сумма масс этих точек. Таким образом центр масс нашего треугольника (точка D) будет совпадать с центром масс точек O (центр масс для точек A и B) и C (рис.4).  В математике и физике барицентр или геометрический центр двумерной области — это среднее арифметическое положений всех точек фигуры. Неформально — это точка равновесия фигуры, вырезанной из картона в предположении, что картон имеет постоянную плотность и гравитационное поле постоянно по величине и направлению. Геометрический барицентр выпуклого объекта всегда лежит внутри объекта. Невыпуклый объект может иметь барицентр, лежащий вне фигуры. Барицентр кольца, например, лежат вне фигуры. В частности, барицентром параллелограмма является пересечение диагоналей. Вообще говоря, это неверно для других четырёхугольников. Барицентр треугольника называется центроидом и лежит на пересечении трёх медиан В частности, если  — центроид треугольника  , то для любой точки O верно, что  .Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин треугольника:  [Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины Задача №1. В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=1:5, а АМ: МС=1:2. Найти ВО:ОМ и АО:ON, где О - точка пересечения чевиан.  Чевиана — это отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне. Часто рассматриваются три таких отрезка, пересекающихся в одной точке, которые совместно называются чевианами. |