Слайды по гидростатике. Гидростатика (сила давления) Единицей измерения напряжения в системе си является ПаНм2

• Название: Гидростатика (сила давления) Единицей измерения напряжения в системе си является ПаНм2
• Анкор: Слайды по гидростатике
• Дата: 24.08.2022
• Размер: 2.18 Mb.
• Имя файла: Gydrostatic 2.pptx
• Тип: Закон; #651910

ГИДРОСТАТИКА (сила давления)

Единицей измерения напряжения в системе СИ является Па=Н/м2.

Сила давления на дно и стенки сосуда

Рассмотрим действие сил давления покоящейся жидкости на дно и стенки сосуда с наклонными стенками, как наиболее общий случай. Полное гидростатическое давление жидкости в точке М на наклонной плоской стенке может быть определено по закону Паскаля: 𝑃= 𝑃0+𝜌𝑔𝑙sin𝛼.

В соответствии с этим, сила полного гидростатического давления dF на элементарную площадку dS будет равна:

𝑑𝐹=𝑃𝑑𝑆=(𝑃0+𝜌𝑔h)𝑑𝑆=(𝑃0+𝜌𝑔𝑙sin𝛼)𝑑𝑆.

Из этого следует, что сила давления F будет равна:

𝐹=𝑃0𝑆+𝜌𝑔 ∫h𝑑𝑆 =𝑃0𝑆+𝜌𝑔sin𝛼 ∫𝑙𝑑𝑆.

В полученных уравнениях интегралы ∫𝑑𝑆 и sin𝛼 ∫𝑙𝑑𝑆 выражают статический момент площади стенки S относительно оси, лежащей в плоскости свободной поверхности уровня x. Этот момент равен произведению площади S на расстояние еѐ центра тяжести до той же плоскости (hц или lц sin𝛼), поэтому:

𝐹=(𝑃0+𝜌𝑔hц)𝑆= (𝑃0+𝜌𝑔𝑙цsin𝛼)𝑆.

𝐹=(𝑃0+𝜌𝑔hц)𝑆= (𝑃0+𝜌𝑔𝑙цsin𝛼)𝑆

Полученное уравнение показывает, что сила полного гидростатического давления на плоскую стенку равна гидростатическому давлению в центре тяжести этой стенки, умноженному на еѐ площадь.

Сила же избыточного давления Fизб на рассматриваемую стенку будет равна: Fизб =𝜌𝑔hц𝑆=𝜌𝑔𝑙цsin𝛼𝑆.

Следует заметить, что полученное уравнение справедливо только в том случае, если давление над свободной поверхностью уровня жидкости в резервуаре Р0 равно давлению окружающей среды, т.е. барометрическому. В соответствии с полученным выражением, сила избыточного давления равна весу столба жидкости с основанием, равным площади стенки, и высотой, равной глубине погружения центра тяжести стенки.

Полученные выражения справедливы и для вертикальной стенки (𝛼 =900, hц=𝑙ц) и для горизонтальной. При этом следует иметь в виду, что в случае горизонтальной стенки величина hц равна высоте столба жидкости, опирающегося на горизонтальную стенку, например дно сосуда.

Точка приложения сил давления (Fи и F) на стенку называется центром давления. Координата этой точки (hД или 𝑙Д sin𝛼𝑆) находиться при помощи теоремы Вариньона:

Момент равнодействующей силы равен сумме моментов составляющих сил относительно одной и той же оси. Если принять за ось линию пересечения плоской стенки со свободной поверхностью уровня жидкости (x – x), то получим: Fи 𝑙д= ∫ 𝑙𝑑𝐹и.

Однако с учѐтом того, что: Fи 𝑙д = 𝜌𝑔hц𝑆𝑙д =𝜌𝑔S𝑙д 𝑙цsin𝛼 𝑆 и

𝑑𝐹и=𝜌𝑔h𝑑𝑆=𝜌𝑔𝑙sin𝛼𝑑𝑆.

Тогда, в конечном итоге, получим следующее равенство:

𝜌𝑔S𝑙д 𝑙цsin𝛼 𝑆 =𝜌𝑔sin𝛼∫𝑙2𝑑𝑆=𝜌𝑔𝐼𝑥sin𝛼,

здесь 𝐼𝑥 - момент инерции смоченной площади стенки сосуда относительно оси х – х.

Согласно положениям теоретической механики, момент инерции в свою очередь может быть определѐн по следующему уравнению:

𝐼𝑥=𝐼ц+𝑆𝑙ц2, где 𝐼ц - момент инерции смоченной площади стенки относительно оси, проходящей через еѐ центр тяжести и параллельной оси х – х.

Если подставить значение 𝐼𝑥 в уравнение

𝜌𝑔S𝑙д 𝑙цsin𝛼 𝑆 =𝜌𝑔sin𝛼 ∫𝑙2𝑑𝑆=𝜌𝑔𝐼𝑥sin𝛼,

то получим выражение для нахождения координаты точки центра давления:

𝑙д=𝑙ц+ 𝐼ц/𝑙ц𝑆.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что центр давления плоской стенки располагается глубже еѐ центра тяжести на величину 𝐼ц/𝑙ц𝑆. Так например, для вертикальной плоской стенки центр давления располагается ниже поверхности уровня на расстоянии, равном 2/3 Нур – высоты уровня жидкости. Полученные выше уравнения являются основой для осуществления конструктивно-механических расчѐтов ѐмкостей для хранения жидкостей.

Графо-аналитический метод расчёта силы давления и центра давления на прямоугольные поверхности

Графо-аналитический метод расчёта силы давления основан на построении эпюр гидростатического давления. Эпюры давления представляют собой равномерно распределённую нагрузку по ширине (или длине) плоской прямоугольной поверхности. Для поверхностей в виде круга, эллипса, треугольника и им подобных эпюра давления в объёмном представлении является довольно сложной фигурой, так как изменение давления следует учитывать при переменной глубине по всей плоской поверхности. Для таких поверхностей графо-аналитический метод не применяется.

Определим силу давления жидкости на прямоугольную стенку АВ высотой Н и длиной (l), перпендикулярной плоскости чертежа. Удерживаемый напор равен высоте стенки. Совместим прямоугольную стенку с плоскостью чертежа и покажем положение центра тяжести стенки точку - С.

Рассчитаем силу давления жидкости Fx аналитически и графически. Аналитический метод расчёта. Согласно формуле сила давления жидкости Fx =𝜌𝑔hС𝑆=, (где hС =Н/2, S=H∙l).

Положение центра давления рассчитываем по формуле:

hд= hС +=hС+ , где IС=lH3/12 - центральный момент инерции относительно горизонтальной оси для прямоугольника; α = 90°; sin α= 1,0.

Таким образом, hд= + = += H

 

Сила полного давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки (S) на полное давление на глубине погружения центра тяжести стенки в жидкость (рс)

Cила полного давления может быть представлена в виде двух составляющих:

сила внешнего, или поверхностного, давления

F0= p0 S

сила весового давления жидкости

Fж= 𝜌𝑔hc S

Сила полного давления Fполн находится как геометрическая сумма двух параллельных сил F0 и Fж :

Давление на поверхности жидкости, согласно закону Паскаля, передаётся внутрь жидкости всем точкам без изменения. Это значит, что эпюра внешнего давления (р0) представляет равномерно распределённую прямоугольную нагрузку, а равнодействующая такой нагрузки (F0) приложена в центре тяжести поверхности стенки, т. е. на глубине hc.

Составляющая от весового давления жидкости Fж приложена в точке, называемой центрам давления.

Центр давления силы Fж всегда располагается ниже центра тяжести стенки. Глубина погружения центра давления (hd) рассчитывается по формуле

hд= hС +=hС+ ,



Ic - центральный момент инерции плоской стенки относительно горизонтальной оси; α - угол наклона плоской стенки к горизонту.

 

 

e – эксцентриситет центра давления, его величина соответствует смещению центра давления относительно центра тяжести.

Для определения точки приложения силы полного давления Fполн нужно воспользоваться теоремой о моменте равнодействующей: момент равнодействующей относительно какой-либо оси равен сумме моментов её составляющих относительно той же оси.

Графо-аналитический метод расчёта силы давления и центра давления. Построим эпюру гидростатического давления. Давление жидкости в точке А: рA= 0, в точке В – рВ= pgH.

Эпюра давления в плоскости чертежа представляет равномерную нагрузку в виде треугольника, в объёмном представлении - это треугольная призма. Равнодействующая такой равномерной нагрузки равна объёму треугольной призмы и проходит через центр тяжести этой призмы, т. е. через центр тяжести эпюры гидростатического давления. Проверим:

l=

где 𝑆ЭП - площадь эпюры давления в виде треугольника.

Центр тяжести эпюры располагается на расстоянии 2/3 H (центр тяжести треугольника).

 

Вывод: графо-аналитически сила давления жидкости на прямоугольные поверхности равна произведению площади эпюры гидростатического давления на длину ( или ширину) плоской стенки и проходит через центр тяжести эпюры давления:



l; hD =hц.т.эп.

 

Если а = 0 (горизонтальное дно сосуда), то сила давления на дно будет равна F = (po + pgH )S

Вывод: различные по форме сосуды, имеющие одинаковые пло­щади днища и заполненные одинаковой жидкостью на одну и ту же высоту (рис. 2.9), будут иметь одинаковую силу давления на дно, не­зависимо от формы сосуда и количества находящейся в нем жидкости (гидростатический парадокс).

Пример 1. Определить горизонтальную силу, действующую на плоти­ну длиной L = 1000 м при высоте воды перед плотиной H1=100 м, а за плотиной H2=10 м.

Решение. Сила, действующая на плотину со стороны верх­него бьефа, определяется по формуле:

𝐹1=𝜌𝑔hц.т𝑆. Так как hц.т =Н1/2, S=H1 ∙ L, то

=1/2 ∙1000 ∙ 9.81 ∙ 1000 ∙ 1002=49.05 ГН

Сила, действующая на плотину со стороны нижнего бьефа,

=1/2 ∙1000 ∙ 9.81 ∙ 1000 ∙ 102=0,4905 ГН

 

Результирующая сила, дейст­вующая на плотину в горизонтальном направлении (сдвигаю­щая сила),

𝐹 = 𝐹1 —𝐹2 = 49,05—0,4905 = 48,56 ГН.

Пример 2. Определить равнодействующую F сил давления, действующих на плоскую прямоугольную стенку шириной b=2,0 м, наклоненную под углом α= 45° к горизонту, если глубина жидкости в открытом сосуде Н=1,5 м. Найти точку приложения равнодействующей.

Решение. Площадь стенки: S=a ∙ м2

 

Равнодействующая сил давления на плоскую стенку:

F=(p0 +ρ g hц.т ) S, hц.т= H/2

Для открытого сосуда

р0=pат P=1000 ∙ 9,81 ∙ 1,5/2 ∙ 3,53=25940 H



Точка приложения равнодействующей сил давления определяется расстоянием 𝑙цд: = 0,88 м

 

Здесь J ц т - момент инерции стенки относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести. Для прямоугольника

Jц т = b ∙ a3 / 12 = 2 ∙ 1,763 / 12 =0,909 м4

l = 0,88 + 0,909/(3,53 ∙ 0,88) = 1,18 м

 

Пример 3: Определить силу манометрического давления на дно сосудов а, б, в и г, наполненных водой. Высота стол­ба h = 60 см, a h1 = 50 см и h2 = 40 см. Площадь дна сосудов S = 1250 см2, а площадь сечения S1 = 12,50 см2. Найти силу, передаваемую в каждом случае на пол, прене­брегая весом сосуда.

Почему сила давления на дно не всегда совпадает с весом во­ды, заключенной в сосуде? Объ­ясните гидростатический парадокс, определив силу манометрического давления, воспринимаемую фасон­ной частью ABCD (б) или АВ (схемы в и г).

Решение. Манометриче­ское давление для всех сосудов будет одинаковым, так как глуби­на h везде одна и та же, т. е.

р = 𝜌𝑔h= 9 810 ∙ 0,6 = 5 886 н/м2 = 600 кГ/м2 = 0,06 кГ/см2. Сила ма­нометрического давления на дно для всех сосудов, как следует из

формулы F =𝜌𝑔h𝑆, будет одинаковой, так как площадь дна везде одна и та же: F =5886 ∙ 0,125=735,75 н=75 кГ

Сила, передаваемая на пол, будет различной, так как вес жид­кости, заключенной в сосудах, — разный. Вычислим силу, передаваемую на пол, пренебрегая весом со­суда.

По схеме:

а) Fа =𝜌𝑔h𝑆 = 5 886 ∙ 0,125 = 735,75 н = 75 кГ;

б)Fб =𝜌𝑔h1𝑆1 + 𝜌𝑔(h - h1) S=9810 • 0,5 • 0,00125+9810 •(0,6-0,5) •0,125=6,131+122,625=128,756 н =13,125 кГ;

в) Fв =𝜌𝑔h2𝑆1 + 𝜌𝑔(h – h2) S=9810 • 0,4 • 0,00125 + 9 810(0,60—0,40) • 0,125 = 4,905+245,25 = 250,155 н = 25,5 кГ;

r) Fг =2𝜌𝑔h1𝑆1 + 𝜌𝑔(h – h1) S = 2 • 9 810 • 0,5 • 0,00125 +

9 810(0,60 —0,50) • 0,125=12,263+ 122,625= 134,888 н = 13,75 кГ

Таким образом, сила, передаваемая на пол от первого сосуда а, будет наибольшей, а от второго б — наименьшей.

Определяем силу манометрического давления на фасонную часть схемы.

б) Рф =𝜌𝑔h1(𝑆 - 𝑆1) = 9810 ∙ 0,5(0,125-0,00125)= 606,994 н = 61,875 кГ;

в) Рф = 𝜌𝑔h2(𝑆 - 𝑆1) = 9 810 ∙ 0,40 (0,125 - 0,00125) = 485,595 н = 49,5 кГ;

г) Рф = 𝜌𝑔h1(𝑆 - 2𝑆1) = 9 810 ∙ 0,50 (0,125 - 0,00250) = 600,862 н = 61,25 кГ;

Следовательно, для схемы а вес жидкости равен силе давления на дно

Р=Fа = 735,75 н= 75 кГ.

Для схемы б фасонная часть воспринимает часть давления рав­ную 606,994 н = 61,875 кГ и поэтому P > Fб, т, е. жидкость может оказывать давление на дно значительно больше своего веса (гидро­статический парадокс).

Сила, которая окончательно передается на пол (пренебрегая ве­сом сосуда), равна, для схемы б

Р-РФ = 735,75 - 606,994 = 128,756 н=13,125 кГ = Fб

для схемы в

Р-РФ = 735,75 - 485,595 = 250,155 н=25,5 кГ = Fв

для схемы г

Р-РФ = 735,75 - 600.862 = 134,888 н =13,75 кГ = Fг

Пример 4: В торцевой стенке цистерны, заполненной бензином, предусмотрена плоская круглая крышка диаметром d - 1,6 м, укреплённая при помощи болтов. Определить силу давления бензина на крышку и точку приложения силы, если высота уровня бензина над нижней кромкой крышки Н = 2,0 м. На поверхности бензина действует вакуумметрическое давление Рвак = 0,2 ат.

Принять плотность бензина р бенз =720 кг/м3

Решение. Для определения равнодействующей давления воспользуемся аналитическим методом. Согласно формуле, равнодействующая, или сила полного давления: Fполн = p0 S + 𝜌𝑔hc S





1. Определим силу от внешнего, вакуумметрического давления:

F0 = Fвак = pвак S,

где S - площадь крышки; S = nd 2/4 = 3,14-1,62/4 =2,0 м2.

Fвак = 0,2 ∙ 98 ∙ 103 ∙ 2,0 = 39,4 ∙ 103 Н = 39,4 кН.

Показываем линию действия Fвак . Эта сила приложена в центре тяжести крышки (т. С) и направлена по нормали внутрь жидкости, как сила отрицательного, вакуумметрического давления.

2. Рассчитаем силу давления бензина на круглую крышку по формуле Fж = 𝜌𝑔hc S

где hc- глубина погружения центра тяжести крышки в жидкость, отсчитанная от свободной поверхности. Определяем hc по чертежу: hc= Н- d/2 = 1,2 м.

Fж = 720 ∙ 9,8 ∙ 1,2 ∙ 2,0= 16,9 ∙ 103Н = 16,9 кН.

Показываем линию действия силы давления бензина. Сила давления жидкости (Fж) приложена в центре давления на глубине hD и направлена по нормали из жидкости. По формуле глубина погружения центра давления hд= hС +=hС+ ,

где α = 900; sin α = 1,0 для вертикальной крышки;

IС - центральный момент инерции круглой крышки относительно горизонтальной оси: IС = πd2/4.

После подстановки данных в буквенное выражение hd получим: hд = hС +

hd = 1,2+ 0,13 = 1,33м.

Эксцентриситет е = 0,13 м. Покажем на чертеже hd и е .

 

3. Определим величину и положение равнодействующей Fравн (или силы полного давления) путём векторного сложения сил F0 и Fж:



Fравн = F0 - Fж= 22,5кН



Положение равнодействующей можно определить, пользуясь теоремой Вариньона: момент от равнодействующей равен сумме моментов составляющих.

Составим сумму моментов сил относительно оси, проходящей по свободной поверхности бензина.

Введём обозначение: пусть hдравн глубина погружения центра давления для равнодействующей, тогда

МFравн=МFо + М Fж ;



Fравн hдравн = F0 hc - Fж hd

Отсюда hдравн = (F0 hc - Fж hd)/ Fравн

После подстановки численных значений hдравн = 1,1 м. Покажем на чертеже hдравн центр давления для равнодействующей и линию действия равнодействующей Fравн по нормали внутрь жидкости.

Ответ: Fравн = 22,5 кН; hдравн = 1,1м.