Расчет траектории неуправляемых реактивных ЛА малой дальности.. Ход работы Система дифференциальных уравнений Начальные данные

• Название: Ход работы Система дифференциальных уравнений Начальные данные
• Анкор: Расчет траектории неуправляемых реактивных ЛА малой дальности
• Дата: 19.12.2022
• Размер: 58.3 Kb.
• Имя файла: Ballistika1.docx
• Тип: Документы; #853322

Цель работы:

Научиться решать систему дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутты и Эйлера
Ход работы:

Система дифференциальных уравнений:








Начальные данные:

;

;

;

;

;

кг;

;

;
Теоретическое описание математических методов:

Оба метода (Эйлера и Рунге-Кутта) являются итерационными, используются для численного решения системы дифференциальных уравнений.
Метод Эйлера имеет первый порядок точности. Формула итерационного процесса выглядит так:



Производная у на каждом шаге интегрирования принимается постоянной, равной значению у в начале каждого шага. Таким образом начальная интегральная кривая, проходящая через точку (x0,y0) заменяется ломаной.

Несмотря на недостаточную точность, применяется часто в силу простоты.
Метод Рунге-Кутта 4 порядка - более точный и более трудоемкий метод, основанный на аппроксимации искомой интегральной кривой соприкасающейся параболой.

Пусть , тогда









Тогда формула итерационного процесса:




Таблица результатов дальности при вычислениях данными методами:

h, c	Эйлера		Рунге-Кутты
	без Х	с Х	без Х	с Х
2	20981	98611	21491	11032
1	21045	10469	21491	10936
0,1	21425	10854	21445	10907
0,01	21440	10897	21421	10902

h, с Э+Х \ Э БЕЗ Х РК+Х \ РК БЕЗ Х	Метод Эйлера				Метод Рунге-Кутты
	Без Х		С Х		Без Х			С Х
	x	y	x	y	x	y		X		y
0,01	2.3360	4.5897	2.3360	4.5897	2.3360	4.5892		2.3356		4.5884
0,02	4.6720	9.1784	4.6712	9.1768	4.6712	9.1758		4.6704		9.1742
0,03	7.0081	13.7662	7.0056	13.7612	7.0056	13.7597		7.0043		13.7573
0,04	9.3441	18.3529	9.3391	18.3430	9.3391	18.3410		9.3374		18.3378
0,05	11.6801	22.9386	11.6717	22.9222	11.6718	22.9197		11.6697		22.9156
0,06	14.0161	27.5233	14.0036	27.4987	14.0036	27.4957		14.0011		27.4908
0,07	16.3521	32.1070	16.3346	32.0726	16.3346	32.0691		16.3317		32.0634
0,08	18.6882	36.6897	18.6648	36.6439	18.6648	36.6399		18.6615		36.6334
0,09	21.0242	41.2715	20.9942	41.2125	20.9942	41.2081		20.9904		41.2007
0,1	23.3602	45.8522	23.3227	45.7785	23.3227	45.7736		23.3186		45.7654
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
72.57\91.73 72.57\91.72	21419	27.86	10888	20.96	21424		24.4142		10893		21.01
72.58\91.74 72.58\91.73	21422	24.42	10889	18.44	21426		21.4217		10894		18.49
72.59\91.75 72.59\91.74	21424	20.98	10890	15.92	21428		18.4289		10895		15.97
72.60\91.76 72.60\91.75	21426	17.53	10891	13.41	21431		15.4357		10896		13.45
72.61\91.77 72.61\91.76	21429	14.09	10892	10.87	21433		12.4421		10897		10.92
72.62\91.78 72.62\91.77	21431	10.35	10893	8.35	21435		9.4483		10898		8.40
72.63\91.79 72.63\91.78	21433	7.20	10894	5.83	21438		6.4540		10899		5.88
72.64\91.80 72.64\91.79	21436	3.75	10895	3.30	21440		3.4594		10900		3.35
72.65\91.81 72.65\91.80	21438	0.31	10896	0.78	21442		0.4645		10901		0.83
72.66\91.82 72.66\91.81	21440	0.0	10897	0.0	21421		0.0		10902		0.0

Вывод: в ходе лабораторной работы был получен навык решения системы дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка, разработана программа по построению траектории полёта неуправляемого снаряда с учётом силы сопротивления и без этого учёта.


x(1) = 0;

y(1) = 0;

v(1) = 515;

tetta(1) = 1.1;

po(1) = 1.22*exp(-y(1)/10000);

m = 93;

cx = 0.2;

s = 0.053;
h = 0.01;

a = 1;

t(1) = h;
n = 1;

while y(n)>0 | (a == 1)

a = 0;
po(n) = 1.22*exp(-y(n)/10000);
dx(n) = v(n)*cos(tetta(n));

dy(n) = v(n)*sin(tetta(n));

dv(n) = -(cx*po(n)*v(n)*v(n)*s)/(2*m) - 10*sin(tetta(n));

dtetta(n) = -10*cos(tetta(n))/v(n);

x(n+1) = x(n)+h*dx(n);

y(n+1) = y(n)+h*dy(n);

v(n+1) = v(n)+h*dv(n);

tetta(n+1) = tetta(n)+h*dtetta(n);

t(n+1) = t(n)+h;
n = n+1;

end

xf(1) = 0;

yf(1) = 0;

vf(1) = 515;

tettaf(1) = 1.1;

po(1) = 1.22*exp(-yf(1)/10000);

m = 93;

cx = 0.2;

s = 0.053;

t(1) = h;

a = 1;
n = 1;

while yf(n)>0 | (a == 1)

a = 0;
dx(n) = v(n)*cos(tetta(n));

dy(n) = v(n)*sin(tetta(n));

dv(n) = - 10*sin(tetta(n));

dtetta(n) = -10*cos(tetta(n))/v(n);

xf(n+1) = xf(n)+h*dx(n);

yf(n+1) = yf(n)+h*dy(n);

v(n+1) = v(n)+h*dv(n);

tetta(n+1) = tetta(n)+h*dtetta(n);

t(n+1) = t(n)+h;

n = n+1;

end


figure(1);

plot(x, y);

hold on

plot(xf, yf);

title('метод Эйлера');


xr(1) = 0;

yr(1) = 0;

vr(1) = 515;

tettar(1) = 1.1;

po(1) = 1.22*exp(-yr(1)/10000);

m = 93;

Cx = 0.2;

s = 0.053;


t(1) = h;
n=1;

while (yr(n)>=0)
ro=1.22*exp(-yr(n)/10000);

k1x=vr(n)*cos(tettar(n));

x1=xr(n)+(h/2)*k1x;

k1y=vr(n)*sin(tettar(n));

y1=yr(n)+(h/2)*k1y;

k1v=((-Cx*ro*s*vr(n)^2)/(2*m)-10*sin(tettar(n)));

v1=vr(n)+(h/2)*(k1v);

k1tetta=(-10*cos(tettar(n))/vr(n));

tetta1 = tettar(n)+(h/2)*k1tetta;

ro1=1.22*exp(-y1/10000);

k2v=(-Cx*ro1*s*v1^2)/(2*m)-10*sin(tetta1);

v2=vr(n)+(h/2)*(k2v);

k2x=v1*cos(tetta1);

x2=xr(n)+(h/2)*k2x;

k2y=v1*sin(tetta1);

y2=yr(n)+(h/2)*k2y;

k2tetta=(-10*cos(tetta1)/v1);

tetta2 =tettar(n)+(h/2)*k2tetta;

ro2=1.22*exp(-y2/10000);

k3v=(-Cx*ro2*s*v2^2)/(2*m)-10*sin(tetta2);

v3=vr(n)+h*(k3v);

k3tetta=(-10*cos(tetta2)/v2);

tetta3=tettar(n)+h*k3tetta;

k3x=v2*cos(tetta2);

x3=xr(n)+h*k3x;

k3y=v2*sin(tetta2);

y3=yr(n)+h*k3y;

ro3=1.22*exp(-y3/10000);

k4v=(-Cx*ro3*s*v3^2)/(2*m)-10*sin(tetta3);

k4tetta=(-10*cos(tetta3)/v3);

k4x=v3*cos(tetta3);

k4y=v3*sin(tetta3);

vr(n+1) = vr(n)+(k1v+2*k2v+2*k3v+k4v)*h/6;

tettar(n+1) = tettar(n)+(k1tetta+2*k2tetta+2*k3tetta+k4tetta)*h/6;

xr(n+1) = xr(n)+(k1x+k2x*2+k3x*2+k4x)*h/6;

yr(n+1) = yr(n)+(k1y+k2y*2+k3y*2+k4y)*h/6;

t(n+1) = t(n)+h;

n = n+1;

end;

disp('Рунге, дальность с Х');

k = n-10;

while(k
disp(t(k));

k = k+1;

end
yfr(1) = 0;

xfr(1) = 0;

vfr(1) = 515;

tettafr(1) = 1.1;

n = 1;

t(1) = h;

while (yfr(n)>=0)

k1x=vfr(n)*cos(tettafr(n));

x1=xfr(n)+(h/2)*k1x;

k1y=vfr(n)*sin(tettafr(n));

y1=yfr(n)+(h/2)*k1y;

k1v=-10*sin(tettafr(n));

v1=vfr(n)+(h/2)*(k1v);

k1tetta=(-10*cos(tettafr(n))/vfr(n));

tetta1 = tettafr(n)+(h/2)*k1tetta;

k2v=-10*sin(tetta1);

v2=vfr(n)+(h/2)*(k2v);

k2x=v1*cos(tetta1);

x2=xfr(n)+(h/2)*k2x;

k2y=v1*sin(tetta1);

y2=yfr(n)+(h/2)*k2y;

k2tetta=(-10*cos(tetta1)/v1);

tetta2 =tettafr(n)+(h/2)*k2tetta;


k3v=-10*sin(tetta2);

v3=vfr(n)+h*(k3v);

k3tetta=(-10*cos(tetta2)/v2);

tetta3=tettafr(n)+h*k3tetta;

k3x=v2*cos(tetta2);

x3=xfr(n)+h*k3x;

k3y=v2*sin(tetta2);

y3=yfr(n)+h*k3y;

k4v=-10*sin(tetta3);

k4tetta=(-10*cos(tetta3)/v3);

k4x=v3*cos(tetta3);

k4y=v3*sin(tetta3);

vfr(n+1) = vfr(n)+(k1v+2*k2v+2*k3v+k4v)*h/6;

tettafr(n+1) = tettafr(n)+(k1tetta+2*k2tetta+2*k3tetta+k4tetta)*h/6;

xfr(n+1) = xfr(n)+(k1x+k2x*2+k3x*2+k4x)*h/6;

yfr(n+1) = yfr(n)+(k1y+k2y*2+k3y*2+k4y)*h/6;

t(n+1) = t(n)+h;

n = n+1;

end;

figure(2);

plot(xr, yr);

hold on

plot(xfr, yfr);

title('метод Рунге-Кутта');