Винер Н. Кибернетика, или управление и связь в... Httpgrachev62. narod ru
 Скачать 2.71 Mb.
|
|
Обозначим теперь через K1(t) результат сглаживания произведения С(tcos20πt, а через K2(t) – результат сглаживания произведения С(tsin20πt. Мы хотим найти [c.276]
Выражение (10.07) должно быть действительным, так как это спектр. Следовательно, оно будет равно
Другими словами, если найти косинус-преобразование от K1 и синус-преобразование от K2 и сложить их друг с другом, то мы получим смещенный спектр функции f. Можно показать, что K1 будет четной, a K2 – нечетной функцией. Стало быть, если определить косинус-преобразование от K1 и прибавить или вычесть синус-преобразование от K2, мы получим спектр соответственно справа и слева от центральной частоты на расстоянии ω. Этот метод получения спектра мы будет называть методом гетеродинирования. Коль скоро автокорреляционные кривые локально представляют собой почти синусоиду с периодом, скажем, 0,1 сек (как в случае автокорреляции мозговых волн на рис. 9), то вычисления, связанные с методом гетеродинирования, можно упростить. Мы берем нашу автокорреляцию через интервалы в 1/40 сек. Затем берем последовательность значений при 0, 1/20, 2/20, 3/20 сек и т.д. и меняем знак на дробях с нечетным числителем. Усредняя по очереди эти значения по достаточно длинному отрезку, получим величину, приблизительно равную K1(t). Взяв аналогично значения автокорреляции при 1/40, 3/40, 5/50 сек и т. д. с чередующимися знаками и проведя такое же усреднение, получим приближенную величину K2(t). Дальнейшая процедура очевидна. Оправдание этой процедуры следующее. Распределение массы, равное 1 в точках 2πn, –1 в точках (2n+1)π и 0 во всех остальных точках, если его подвергнуть гармоническому анализу, будет [c.277] содержать косинусоидальную составляющую с частотой 1 и не будет иметь синусоидальной составляющей. Точно так же распределение массы, равное 1 при (2n+1/2)π, –1 при (2n–1/2)π и 0 во всех остальных точках, будет содержать синусоидальную составляющую с частотой 1 и не будет иметь косинусоидальной составляющей. Оба распределения будут содержать также составляющие с частотами N; но поскольку исходная наша кривая не содержит или почти не содержит таких частот, эти члены будут незаметны. Это значительно упрощает наше гетеродинирование, так как нам нужно умножать лишь на множители +1 или –1. Мы нашли метод гетеродинирования очень полезным при гармоническом анализе мозговых волн, когда в распоряжении имеются лишь ручные средства и когда объем работы становится подавляющим, если выполнять все шаги гармонического анализа без помощи гетеродинирования. Все паши первые исследования по гармоническому анализу спектров мозга выполнены методом гетеродинирования. Но поскольку со временем появилась возможность применять цифровую вычислительную машину, для которой объем работы не столь существен, многие из последующих анализов были проведены прямыми методами, без гетеродинирования. Однако еще немало работы придется делать в местах, где нет цифровых вычислительных машин, и я не считаю метод гетеродинирования устаревшим в практическом отношении. Я привожу здесь куски одной автокорреляционной кривой, полученной при наших исследованиях. Ввиду того, что она охватывает большую серию данных, воспроизвести ее полностью затруднительно, и мы даем только се начало, в окрестности =0 и один из дальнейших кусков. Рис. 11 изображает результат гармонического анализа автокорреляционной кривой, часть которой показана на рис. 9. В данном случае результат был получен на быстродействующей цифровой вычислительной машине4, [c.278] но мы обнаружили хорошее согласие между этим спектром и вычисленным ранее вручную методами гетеродинирования, по крайней мере вблизи сильной части спектра.  Рис. 11. Спектр Рассматривая кривую, мы обнаруживаем замечательное падение мощности в окрестности частоты 9,05 гц. Точка, в которой спектр по существу исчезает, выражена весьма отчетливо и дает объективную величину, которая может быть проверена с гораздо большей точностью, чем любая величина, встречавшаяся до сих пор в электроэнцефалографии. Существуют указания, что на других кривых, которые мы получили, но которые несколько сомнительны в своих подробностях, за этим внезапным падением мощности довольно скоро следует крутой подъем. Таким образом, кривая имеет здесь как бы впадину. Но даже если догадка не верна, многое говорит за то, что концентрация мощности в пике соответствует отсасыванию мощности из области, где кривая идет низко. Стоит отметить, что в полученном спектре основная часть пика лежит в диапазоне шириной 1/3 гц. Любопытно, что на другой электроэнцефалограмме того же субъекта, записанной через четыре дня, ширина пика почти не изменилась и, насколько можно судить, форма его также сохранилась в [c.279] какой-то мере. Есть основание полагать, что у других субъектов ширина пика будет другой и даже меньшей. Для вполне удовлетворительной проверки этого необходимы дальнейшие изыскания. Весьма желательно, чтобы исследования, здесь упомянутые, были продолжены более точными инструментальными работами, с лучшими приборами, и чтобы благодаря этому гипотезы, высказанные здесь, могли быть окончательно подтверждены или окончательно опровергнуты. Теперь я хочу перейти к вопросу выборки. Для этого мне понадобятся некоторые идеи из моих предыдущих работ об интегрировании в пространстве функций5. С помощью этого аппарата мы сможет построить статистическую модель непрерывного процесса с заданным спектром. Хотя такая модель не воспроизводит в точности процесса формирования мозговых волн, она достаточно близка к нему, чтобы доставить статистически значимую информацию о том, какой среднеквадратической ошибки можно ожидать в спектрах волн, подобных представленному выше. Здесь я сформулирую без доказательств ряд свойств некоторой действительной функции х(t, α), уже излагавшихся в моей статье по обобщенному гармоническому анализу и в других работах6. Действительная функция х(t, α) зависит от переменной t, изменяющейся от –∞ до ∞, и от переменной α, изменяющейся от 0 до 1. Она изображает одну пространственную координату броунова движения, зависящую от времени t и параметра а статистического распределения. Выражение
определяется для всех функций φ(t) класса Лебега L, [c.280] в интервале от –∞ до +∞. Если φ(t) имеет производную, принадлежащую L2, то выражение (10.09) понимается как
и затем определяется для всех функций φ(t) из L2 некоторым вполне определенным предельным процессом. Другие интегралы
вводятся аналогичным образом. Основная теорема, используемая нами, утверждает, что
можно найти, положив
где переменные τk образуются всеми возможными способами путем отождествления всех пар переменных σk, друг с другом (если n четно)7, и образовав
Если n нечетно, то
Другая важная теорема, касающаяся этих стохастических интегралов, гласит: пусть F(g) – функционал [c.281] от g(t), такой, что F[x(t, α)] ερςό функция, принадлежащая к L по α и зависящая только от разностей x(t2, α)–х(t1, α); тогда для любого t: и почти всех α
Это эргодическая теорема Биркгоффа, доказанная некогда автором8 и другими. В упомянутой статье из “Acta Mathematica” установлено, что если U – действительное унитарное преобразование функции K(t), то
где β отличается от α только сохраняющим меру преобразованием интервала (0 1) в себя. Пусть теперь К(t) принадлежит к L2, и пусть
в смысле Планшереля9. Рассмотрим действительную функцию
изображающую отклик линейного преобразователя на броунов вход. Она будет иметь автокорреляцию
[c.282] которая, в силу эргодической теоремы, почти для всех значений а будет равна
Тогда спектр почти всегда будет равен
Но это истинный спектр. Выборочная автокорреляция за время усреднения А (в нашем случае 2700 сек) будет равна
В результате выборочный спектр почти всегда будет иметь временное среднее
Следовательно, выборочный спектр и истинный спектр будут иметь одно и то же среднее значение по времени. Для многих целей нам интересен приближенный спектр, в котором интегрирование по т производится только по интервалу (0, В), где В в описанном выше частном случае равно 20 сек. Напомним, что f(t) – действительная функция, а автокорреляция – симметрическая [c.283] функция. Поэтому интеграл от 0 до В можно заменить интегралом от –В до В:
Эта величина будет иметь среднее значение
Квадрат приближенного спектра в интервале (–В, В) будет равен а эта величина будет иметь среднее значение
Как известно, если m обозначает среднее, то
Таким образом, среднеквадратическая ошибка приближенного выборочного спектра будет равна
Но
Следовательно, интеграл
равен величине 1/А, умноженной на текущее взвешенное среднее от g(ω). Если усредняемая величина приблизительно постоянна в малом интервале 1/А, как [c.285] можно здесь разумно предположить, мы получим как приближенную главную часть среднеквадратической ошибки в любой точке спектра выражение
Заметим, что если приближенный выборочный спектр имеет максимум при u=10, то величина этого максимума
Эта величина при гладкой функции q(ω) мало будет отличаться от │q(10)│2. Среднеквадратическая ошибка спектра, отнесенная к этой величине как единице измерения, будет равна
и, следовательно, не превосходит
В рассматриваемом случае она равна
Если допускать реальность явления провала, или, по крайней мере, реальность крутого падения нашей кривой на частоте около 9,05 гц, то будет уместно поставить по этому поводу несколько физиологических вопросов. Три главных касаются физиологической функции наблюденных нами явлений, физиологического механизма, производящего их, и применения, которое они могли бы найти в медицине. Заметим, что резкая линия частоты эквивалентна точным часам. Так как мозг есть в некотором смысле управляющее и вычислительное устройство, естественно спросить, находят ли часы применение в других формах управляющих и вычислительных устройств. И действительно, многие из них содержат часы. Часы применяются [c.286] в таких устройствах в целях стробирования10. Все такие устройства должны комбинировать большое число импульсов в один импульс. Если импульсы передаются простым включением или выключением цепи, их синхронность не имеет большого значения и стробирование не нужно. Однако при подобном способе передачи импульсов вся цепь оказывается занятой вплоть до смены сообщения и значительная часть аппаратуры выводится из действия па неопределенное время. Поэтому желательно, чтобы в вычислительном или управляющем устройстве сообщения передавались комбинированным сигналом включения-выключения. Тогда аппаратура будет сразу же свободна для дальнейшего использования. Достичь этого можно, если сообщения будут запоминаться, чтобы их всех можно было послать одновременно, и затем быстро комбинироваться, пока они еще в машине. Здесь необходимо стробирование, а стробирование удобно осуществлять при помощи часов. Хорошо известно, что, по крайней мере в длинных нервных волокнах, нервные импульсы переносятся пиками, форма которых не зависит от способа их возникновения. Комбинирование этих пиков – функция синаптического механизма. В этих синапсах несколько входящих волокон соединяются с выходящим волокном. Если надлежащая комбинация входящих волокон возбуждается в течение некоторого весьма короткого промежутка времени, то возбуждается и выходящее волокно. В такой комбинации действие входящих волокон в некоторых случаях аддитивно: если возбуждается больше известного числа волокон, достигается порог, вызывающий возбуждение выходящего волокна. В других случаях некоторые из входящих волокон производят тормозящее действие, совершенно не допускающее возбуждения или, во всяком случае, увеличивающее порог для других волокон. В обоих случаях существен короткий период комбинирования, и если приходящие сообщения не попадают в этот короткий период, они не комбинируются. Поэтому необходим какой-то стробирующий механизм, позволяющий сообщениям прибывать [c.287] почти одновременно. В противном случае синапс не может действовать как комбинирующий механизм11. Желательно, однако, найти дальнейшее подтверждение тому, что стробирование действительно имеет место. Здесь уместно упомянуть работу проф. Дональда Б. Линдсли с психологического факультета Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе. Он исследовал время реакции при зрительных сигналах. Как хорошо известно, когда приходит зрительный сигнал, возбуждаемые им мышцы действуют не сразу, а с запаздыванием. Линдсли показал, что эта задержка непостоянна и, судя по всему, состоит из трех частей. Одна из них имеет постоянную длительность, тогда как две другие, по-видимому, равномерно распределены в интервале около 1/10 сек. Представляется, что центральная нервная система может воспринимать приходящие импульсы только каждую 1/10 сек и что импульсы от центральной нервной системы могут приходить к мышцам только каждую 1/10 сек. Это является экспериментальным доказательством стробирования, и весьма вероятно, что связь стробирования с одной десятой секунды, составляющей приблизительный период альфа-ритма мозга, не случайна. На этом закончим обсуждение функции центрального альфа-ритма. Возникает вопрос о механизме, создающем названный ритм. Здесь нужно указать, что альфа-ритм может дрейфовать при мелькании света. Если свет мелькает перед глазом с интервалами, близкими к 1/10 сек, то альфа-ритм мозга изменяется и приобретает сильную составляющую того же периода. Несомненно, мелькание света вызывает электрическое мелькание в сетчатке и, почти наверное, – в центральной нервной системе. Мы располагаем, однако, прямыми данными, что чисто электрическое мелькание способно вызвать действие, подобное действию светового мелькания. Такой [c.288] опыт был проведен в Германии. В комнате был сделан проводящий пол и к потолку подвешена изолированная проводящая металлическая пластина. Испытуемые помещались а комнату, и потолок и пол соединялись с генератором переменного электрического потенциала. Частота этого потенциала, по-видимому, была близка к 10 гц. Действие потенциала на испытуемых было весьма неприятным, что очень похоже на неприятное действие аналогичного мелькания света. Конечно, эти опыты нуждаются в повторении при более контролируемых условиях, с непременным снятием одновременных электроэнцефалограмм испытуемых субъектов. Тем не менее мы имеем повод думать, что электрическое мелькание, создаваемое электростатической индукцией, может произвести такое же действие, как мелькание света. Важно отметить, что, если частоту генератора можно изменять импульсами другой частоты, действующий механизм должен быть нелинейным. Действие линейного механизма на колебание данной частоты может произвести лишь колебание той же частоты, в общем случае с некоторым изменением фазы и амплитуды. Это перестает быть верным для нелинейных механизмов, которые могут производить колебания с частотами, равными суммам и разностям различных порядков от частоты генератора и частоты возмущения. Такой механизм может вызвать сдвиг частоты, и в рассматриваемом случае этот сдвиг будет иметь характер притяжения. Отнюдь не исключено, что притяжение окажется долговременным, вековым явлением и что в течение коротких промежутков времени система будет оставаться приближенно линейной. Представим себе, что головной мозг содержит ряд генераторов частот, близких к 10 гц, и что в некоторых пределах эти частоты могут притягиваться друг к другу. При таких обстоятельствах частоты, вероятно, будут собираться в одну или несколько небольших групп, по крайней мере, на некоторых участках спектра. Частоты, собранные в эти группы, должны быть перемещены откуда-то, а потому в спектре образуются провалы, где мощность будет меньшей, чем следовало бы ожидать в противном случае. О том, что такое явление действительно могло иметь место в случае индивидуума, [c.289] автокорреляция которого показана на рис. 9, свидетельствует резкое падение мощности на частотах выше 9,0 гц. Падение это было бы нелегко обнаружить с теми низкими разрешающими способностями гармонического анализа, какие были доступны прежним авторам12. Чтобы сделать правдоподобным такое объяснение происхождения мозговых электрических волн, мы должны рассмотреть, существуют ли в головном мозгу предполагаемые генераторы и какова их природа. Профессор Розеиблит из Массачусетсского технологического института сообщил мне о так называемом явлении остаточного разряда13. Если действовать на глаза световой вспышкой, то потенциалы коры головного мозга, которые можно коррелировать со вспышкой, не возвращаются сразу к нулю, а проходят через последовательность положительных и отрицательных фаз, прежде чем затухнуть. Форму этого потенциала можно подвергнуть гармоническому анализу, причем обнаруживается, что значительная часть мощности сосредоточена в окрестности 10 гц. Подобный результат по меньшей мере не противоречит изложенной здесь теории самоорганизации мозговых волн. Собирание таких кратковременных колебаний в одно непрерывное наблюдалось в других ритмах тела, каков, например, суточный ритм приблизительно в 231/2 часа, наблюдаемый во многих живых организмах14. Этот ритм изменениями во внешней среде может быть превращен в 24-часовой ритм дня и ночи. Биологически не существенно, равняется ли естественный ритм живых организмов в точности 24 часам, если только он может притягиваться к 24-часовому ритму под действием внешней среды. [c.290] Интересным опытом, способным пролить свет на справедливость моей гипотезы о волнах головного мозга, могло бы, наверное, оказаться исследование светляков или других животных, подобных кузнечикам или лягушкам, которые могут излучать заметные световые или звуковые импульсы и также принимать их. Часто высказывалось предположение, что светляки на дереве вспыхивают в унисон, и это видимое явление приписывалось оптической иллюзии человека. Я слышал, что у некоторых светляков Юго-Восточной Азии это явление выражено столь резко, что его вряд ли можно приписать иллюзии. Но светляк действует двояким образом: с одной стороны, он излучает более или менее периодические импульсы, а с другой, – обладает рецепторами для этих импульсов. Не происходит ли здесь то же, предполагаемое, явление собирания частот? Для такого исследования необходимы точные записи вспышек, чтобы их можно было подвергнуть точному гармоническому анализу. Кроме того, светляков нужно подвергнуть действию периодического света, например, от неоновой импульсной лампы, и определить, будет ли такой свет иметь тенденцию настраивать светляков на свою частоту. Если да, то нам следует попытаться получить точную запись этих спонтанных вспышек и подвергнуть ее автокорреляционному анализу, как в случае волн головного мозга. Хотя я не осмеливаюсь предсказать исход опытов, которые не ставились, подобное направление исследований кажется мне обещающим и не слишком трудным. Явление притяжения частот возникает также в некоторых ситуациях, не связанных с живыми организмами. Представим себе ряд генераторов переменного тока, частоты которых регулируются регуляторами, приданными первичным двигателям. Эти регуляторы удерживают частоты в сравнительно узких полосах. Предположим, что выходы генераторов присоединены параллельно к сборным шинам, а с них ток идет на внешнюю нагрузку, которая в общем случае будет подвержена более или менее случайным флюктуациям, вследствие включения и выключения освещения и т.п. Чтобы избежать проблем, какие возникали на электростанциях прежнего типа в связи с участием человека в коммутации, предположим, что включение и выключение [c.291] генераторов происходят автоматически. Когда генератор доведен до скорости и фазы, достаточно близких к скорости и фазе других генераторов системы, автоматическое устройство подключает его к сборным шинам, а если случайно его частота и фаза отклоняются слишком далеко от надлежащих величин, аналогичное устройство автоматически отключает его. В такой системе генератор, стремящийся вращаться слишком быстро и, следовательно, иметь слишком высокую частоту, берет большую долю нагрузки, чем ему полагается, а генератор, вращающийся слишком медленно, берет меньше своей нормальной доли. В результате частоты генераторов сближаются. Генерирующая система в целом действует как бы под управлением скрытого регулятора, более точного, чем регуляторы отдельных генераторов, и представляющего собой совокупность этих регуляторов вместе с электрическим взаимодействием между ними. Этим, по крайней мере частично, обусловлена точная регулировка частоты электрических генерирующих систем. Потому-то и возможно применение электрических часов высокой точности. Я предлагаю, чтобы выходы таких систем были исследованы теоретически и экспериментально теми же самыми приемами, какими мы исследовали волны головного мозга. С исторической точки зрения интересно, что на заре техники переменного тока делались попытки включать генераторы с постоянной величиной напряжения (такие же, как в современных генерирующих системах) не параллельно, а последовательно. Оказалось, что взаимодействие отдельных генераторов по частоте выражалось в отталкивании, а не в сближении. В результате такие системы были недопустимо неустойчивы, если только вращающиеся части отдельных генераторов не были жестко соединены общим валом или зубчатым механизмом. Напротив, параллельное подключение генераторов к общим сборным шинам оказалось внутренне устойчивым, что позволило соединять генераторы разных станций в единую автономную систему. Если воспользоваться биологической аналогией, то параллельная система обладала лучшим гомеостазом, чем последовательная система, и потому выжила, в то время как последовательная была устранена естественным отбором. [c.292] Итак, мы видим, что нелинейное взаимодействие, создающее притяжение частот, может породить самоорганизующуюся систему, как в случае исследованных нами мозговых электрических волн или в случае сети переменного тока. Возможность такой самоорганизации отнюдь не ограничивается низкими частотами, свойственными этим двум явлениям. Представим себе, например, самоорганизующиеся системы на частотном уровне инфракрасного света или радиолокационных спектров. Как нам уже приходилось говорить, одной из центральных проблем биологии является способ, посредством которого основные вещества, входящие в гены или вирусы, или, может быть, специфические вещества, вызывающие рак, воспроизводят себя из материалов, лишенных этой специфики, скажем из смеси аминокислот и нуклеиновых кислот. Обычно дается такое объяснение, что одна молекула этих веществ действует в качестве шаблона, с помощью которого меньшие молекулы компонентов смеси располагаются в определенном порядке и объединяются в аналогичную макромолекулу. По существу, это лишь оборот речи, лишь иной способ описания фундаментального феномена жизни, состоящего в том, что новые макромолекулы формируются по образу и подобию существующих макромолекул. Как бы ни протекал такой процесс, это – динамический процесс, включающий какие-то силы или их эквиваленты. Один из возможных способов представления этих сил состоит s том, чтобы поместить активный носитель специфики молекулы в частотном строении ее молекулярного излучения, значительная часть которого лежит, по-видимому, в области инфракрасных электромагнитных частот или даже ниже. Может оказаться, что специфические вещества вируса при некоторых обстоятельствах излучают инфракрасные колебания, которые обладают способностью содействовать формированию других молекул вируса из неопределенной магмы аминокислот и нуклеиновых кислот. Вполне возможно, что такое явление позволительно рассматривать как некоторое притягательное взаимодействие частот. Так как весь предмет остается еще sub jutlice15 к подробности даже не сформулированы, я воздержусь от более [c.293] конкретных высказываний. Очевидный путь к решению состоит в том, чтобы изучить спектры поглощения и излучения большого количества вирусного вещества, например кристалла мозаичного вируса табака, и затем проследить действие света этих частот на образование дальнейших вирусов от существующего вируса в надлежащей питательной среде. Говоря о спектрах поглощения, я имею в виду явление, которое почти несомненно существует; что касается спектров излучения, то нечто подобное мы имеем в явлении флюоресценции. Любое такое исследование потребует методой высокой точности для подробного расчета спектров в условиях чрезмерно сильного – в обычном смысле – света с непрерывным спектром. Мы уже видели, что подобная задача встает перед нами при микроанализе мозговых волн и что математика интерференционной спектрографии по существу совпадает с той, какой мы пользовались здесь. Поэтому я делаю специальное предложение, чтобы возможности метода были полностью использованы при изучении молекулярных спектров, и в частности при изучении спектров вирусов, генов и рака. Сейчас преждевременно предсказывать значение этих методов в исследованиях по чистой биологии и в медицине, но я питаю большие надежды, что они могут оказаться чрезвычайно ценными в обеих областях. [c.294] |