высшая мат-ка. высшая математика 2. I и ii порядка Введение. Исследование
![]()
|
Дифференциальные уравнения I и II порядка Введение. Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. Рассмотрим следующий пример из области рекламного дела. При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую приходится прибегать к услугам рекламы. Для того, чтобы последняя была успешной и современной, необходимо знать закон распространения информации о новом товаре среди ее потенциальных покупателей. Найдем вид указанной закономерности при следующих предположениях относительно рассматриваемого процесса. Пусть N – общее число потенциальных покупателей нового товара, x(t) – число покупателей, знающих к моменту времени t о поступлении в продажу нового товара, [N-x(t)] – число покупателей еще не имеющих информации о товаре. Предположим, что информация о товаре распространяется среди покупателей посредством их общения между собой. Будем считать, что в течение достаточно малого промежутка времени возможна встреча лишь двух покупателей, и вероятность этой встречи считаем равной P. Вероятность того, что при встрече покупатель, знающий о товаре, встретиться с покупателем, еще не имеющем информации о товаре, равна (N-x)/N. Тогда скорость изменения величины x(t) в момент t равняется px(N-x)/N систематическому ожиданию числа покупателей впервые узнавших о товаре. Таким образом, получаем уравнение ![]() ![]() Данное уравнение содержит величину x и ее производную ![]() ![]() ![]() Отметим, что логистическая кривая дает также представление о процессе распространения технологических новшеств, эпидемий и даже слухов. В качестве второго примера рассмотрим задачу представления в виде уравнения однопараметрического семейства кривых, обладающих некоторым общим свойством. Пусть однопараметрическое семейство кривых задается уравнением Ф(X,Y,C)=0, где C – параметр. Составим дифференциальное уравнение, которое описывает общее свойство присущее всем кривым данного семейства. Предположим, что отдельная кривая семейства заданных функций y=f(x,c). Тогда подставляя ее в общее уравнение семейства получаем тождество ![]() Предполагая дифференцируемость функции Ф(X,Y,C) и дифференцируя Ф(x,f(x,c),c) по x, получаем ![]() Рассматривая последнее вместе с уравнением Ф(x,y,c)=0, т.е. рассматривая систему ![]() и исключая в ней параметр C, в результате получим дифференциальной уравнение ![]() описывающее свойство присущее всем кривым семейства. Например, пусть семейство кривых представляет семейство гипербол xy=c. Дифференцируя данное уравнение по x, получаем ![]() Так как при этом автоматически произошло исключение параметра c, то последнее уравнение, являясь дифференциальным, представляет семейство вышеуказанных гипербол. 1. Основные понятия и определения. Определение. Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде ![]() ![]() Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например: А) ![]() Б) ![]() В) ![]() Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество. Например, пусть дано дифференциальной уравнение ![]() Тогда любая функция вида y=c1sinx+c2cosx, где c1, c2 – произвольные постоянные, является решением этого уравнения. Действительно, дифференцируя уравнение y=c1sinx+c2cosx дважды по x получаем ![]() ![]() ![]() Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения. Как правило, дифференциальному уравнению отвечает множество решений (смотрите вышеприведенный пример), задаваемых семейством функций y=f(x,c) в явном виде или Ф(x,y,c)=0 в неявном виде. В этих уравнениях с-параметр семейства. Таких параметров, вообще говоря, может быть несколько. В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка ![]() Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y=f(x, c1, c2, …, cn), зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных c1, c2, …, cn, которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество. Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она представляется уравнением Ф(x , y,c1, c2, …, cn)=0. Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом. Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c1, c2 , …, cn. Обычно значения этих произвольных постоянных c1, c2 , …, cn определяются заданием начальных условий: y(x0)=y0, ![]() ![]() ![]() ![]() ……………………………… ![]() решая которые относительно c1, c2 , …, cn находят значения этих постоянных. Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка ![]() Геометрическая интерпретация. Геометрическое представление решения дифференциального уравнения рассмотрим на примере уравнения 1-го порядка вида ![]() В плоскости введем декартову систему координат с осями x и y. Каждой точке M(x,y) плоскости поставим в соответствие вектор ![]() Таким образом дифференциальное уравнение ![]() Действительно, пусть y=h(x) уравнение указанной выше кривой. Тогда в каждой точке кривой касательная к ней имеет направление ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() И обратно, если y=h(x) решение дифференциального уравнения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В качестве иллюстрации возьмем уравнение ![]() Для построения поля направлений удобно использовать метод изоклин. Изоклина это линия в каждой точке которой вектор ![]() ![]() Для рассматриваемого дифференциального уравнения изоклины задаются уравнением ![]() Как видно, изоклинами являются прямые, проходящие через точку начала координат. На рис. 2 изображены изоклины отвечающие значениям ![]() ![]() 2. Существование решения дифференциального уравнения первого порядка. Задано дифференциальное уравнение вида ![]() ![]() Пусть y=y(x) – решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0. Тогда из ![]() Семейство всех первообразных для f(x,y(x)) представляется неопределенным интегралом ![]() ![]() И, следовательно, получаем ![]() т.е. y(x) является решением интегрального уравнения ![]() Задача поиска решения дифференциального уравнения ![]() Первое доказательство существования и единственности решения дифференциального уравнения ![]() Теорема. Пусть задано уравнение ![]() Тогда если А) функция f(x,y) непрерывна по обеим переменным x и y в замкнутой области ![]() Б) функция f(x,y) удовлетворяет в областиR по переменной y условию Липшица, т.е. ![]() То существует единственное решение y=y(x) указанного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 и являющееся непрерывно дифференцируемым в интервале ![]() ![]() Доказательство теоремы приводить не будем, укажем лишь, что может быть осуществлено методом последовательных приближений Пикара (1856-1941), использующего ранее приведенное интегральное уравнение. Последовательность функций, дающих приближенное решение уравнения, строится по правилу: ![]() ![]() ……………………………… ![]() Далее можно показать, что функция ![]() ![]() ![]() Выше был рассмотрен случай дифференциального уравнения первого порядка разрешенного относительно производной y/. Более общим видом является случай уравнения вида ![]() Допустим, что данное уравнение может быть разрешено относительно y/, и в общем случае это дает несколько вещественных уравнений ![]() Если при этом каждая из функций ![]() ![]() ![]() Пример. Рассматривается дифференциальное уравнение вида ![]() ![]() Особым решением дифференциального уравнения ![]() ![]() называется решением y=y(x), которое во всех своих точках не обладает свойством единственности. Через каждую точку такого решения проходит не менее двух интегральных кривых, имеющих одинаковое направление касательной. Отметим, что из сказанного выше следует, что дифференциальное уравнение может иметь решения не являющиеся ни частными, ни особыми, а именно, если эти решения получаются склеиванием кусков из частных и особых решений. Особые решения дифференциального уравнения. Пусть рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка общего вида F(x,y,y/)=0. Тогда существование его особого решения прежде всего может быть связано с условием ![]() Таким образом, формируя систему уравнений ![]() и исключая из нее переменную y/, получаем функцию y=y(x), которая может дать особое решение дифференциального уравнения F(x,y,y/)=0. Определение. Кривая, получаемая исключением параметра p из системы уравнений ![]() называется дискретной кривой уравнения F(x,y,y/)=0. Для того, чтобы дискретная кривая давала особое решение дифференциального уравнения, остается проверить, что она удовлетворяет уравнению F(x,y,y/)=0, и что через каждую ее точку проходит хотя бы одна интегральная кривая общего решения этого уравнения, т.е. проверить, что в точках дискретной кривой нарушается свойство единственности решения дифференциального уравнения. Пример 1. Дано уравнение ![]() Как было указано выше его особое решение дается уравнениями y=x+c и y=-x+c. Опреляя для него дискретную кривую имеем систему уравнений ![]() Очевидно, данная система решения не имеет, поэтому рассматриваемое дифференциальное уравнение особых решений не имеет. Пример 2. Рассмотрим решение уравнения ![]() Его общее решение имеет вид ![]() ![]() ![]() и исключая из нее переменную p, получаем уравнение дискретной кривой y=0 (ось Ox). Очевидно, она является решением дифференциального уравнения, так как из y=0=const следует y/=0. Кроме того через любую точку M(x0;0) этой кривой проходит частное решение дифференциального уравнения, получаемое из общего при c=-x0. Не трудно убедиться, что касательные в точке M(x0;0) дискретной кривой и частного решения совпадают. Таким образом, дискретная кривая y=0 является особым решением исходного дифференциального уравнения. Ниже на рис. 3 изображено семейство интегральных кривых этого уравнения, являющееся семейством парабол. Из рисунка видно, что дискретная кривая y=0, являющаяся осью Ox, касается в каждой точке некоторой кривой семейства. Выше была рассмотрена ситуация, когда уравнение F(x,y,y/)=0 не определяло y/ как неявную функцию переменных x и y, так как выполнялось условие ![]() Предположим теперь, что в области D, где ищется решение дифференциального уравнения, выполняется условие ![]() Таким невыполнимым условием, обычно, берется условие Липшица, и геометрическое место точек, в которых оно нарушается, задается условием ![]() ![]() ![]() Пример 3. Рассматривается дифференциальное уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 4. Дано уравнение ![]() Для него ![]() ![]() ![]() Однако, в данном случае кривая y=0 не удовлетворяет дифференциальному уравнению. Следовательно, это уравнение особых решений не имеет. Особым решением дифференциального уравнения довольно часто бывают огибающие семейства его интегральных кривых. Определение. Кривая y=y(x) называется огибающей семейства интегральных кривых интегрального уравнения, задаваемого общим решением Ф(x,y,c)=0, если в каждой точке она касается одной из кривых данного семейства, т.е. имеет с ней в этой точке общую касательную. Для нахождения огибающей может быть использован следующий подход. Пусть огибающая задана параметрически уравнениями x=x(t),y=y(t). Со значением параметра t можно связать значение постоянной c, отвечающей той интегральной кривой семейства Ф(x,y,c)=0, которая касается огибающей в точке M(x(t),y(t)), т.е. величину c можем рассматривать как функцию параметра t, а именно c=c(t). Подставляя функции x=x(t),y=y(t) и c=c(t) в Ф(x,y,c)=0, получаем тождество ![]() Предполагая, что Ф(x,y,c) имеет непрерывные частные производные первого порядка, из тождества вытекает ![]() Покажем, что ![]() ![]() Уравнение Ф(x,y,c0)=0, где c0=c(t0), задает интегральную кривую семейства, проходящую через точку M0(x0, y0). Угловой коэффициент касательной к данной интегральной кривой в точке M0(x0, y0) равен ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, для произвольного значения t0 параметра t выполняется ![]() Следовательно, из ![]() ![]() Но так как ![]() ![]() ![]() Таким образом, для нахождения огибающей надо рассмотреть систему уравнений ![]() Исключая из нее параметр c, найдем уравнение y=y(x) или Y(x,y)=0 огибающей (исключая точки, где одновременно ![]() ![]() Пример 5. Снова рассмотрим уравнение из примера 2 ![]() ![]() ![]() Для нахождения огибающей рассмотрим систему ![]() Из нее получаем уравнение огибающей y=0. Далее убеждаемся, что y=0 действительно является огибающей, так как через каждую ее точку M(x0;0) проходит интегральная кривая со значением параметра c=-x0. Пример 6. Рассмотрим дифференциальное уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() Нетрудно видеть, что семейством интегральных кривых являются окружности единичного радиуса с центром в точках (c,0), лежащих на оси Ox. На рис. 4 изображено семейство этих окружностей. Из рисунка видно, что семейство интегральных кривых имеет две огибающие y=1 и y=-1, удовлетворяющих диффренциальному уравнению и, следовательно, дающих его два особых решения. Найдем уравнения огибающих аналитически. Из Ф(x,y,c)=(x-c)2+y2-1, ![]() ![]() Исключая из уравнения параметр c, получаем y2=1. Данное уравнение дает две огибающих y=1 и y=-1. Пример 7. Дано уравнение ![]() Его общее решение будет ![]() Из ![]() ![]() Исключая из уравнений параметр c получаем уравнение кривой y=0, являющейся осью Ox. Кривая y=0 удовлетворяет дифференциальному уравнению и, следовательно, является его решением. Однако, она не является огибающей, так как не имеет общих точек с интегральными кривыми семейства. Таким образом, являясь решением уравнения, она не является его особым решением. Далее будут рассмотрены методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений. 0> |