высшая мат-ка. высшая математика 2. I и ii порядка Введение. Исследование

• Название: I и ii порядка Введение. Исследование
• Анкор: высшая мат-ка
• Дата: 16.10.2021
• Размер: 432.79 Kb.
• Имя файла: высшая математика 2.docx
• Тип: Исследование; #248999
• страница: 3 из 3

6. Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

Определение. Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в виде

M(x,y)dx+N(x,y)dx=0,

Где M(x,y) и N(x,y) – функции двух переменных x и y. Тогда, если левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е.

dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy,

то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Уравнение в полных дифференциалах кратко можно представить в виде

dU(x,y)=0,

а поэтому общий интеграл (решение) такого уравнения имеет вид U(x,y)=0.

Дифференциальное уравнение такого типа возникает, когда поведение системы подчинено условию сохранения некоторой величины U(энергии, массы, стоимости и т.д.).

Отметим следующий признак, позволяющий определить является ли рассматриваемое уравнение уравнением в полных дифференциалах.

Путьс

dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, тогда функции M(x,y) и N(x,y) должны быть для U(x,y) частными производными первого порядка, соответственно, по переменным x и y, т.е.

.

Предполагая функции M(x,y) и N(x,y) непрерывными и имеющими непрерывные частные производные, соответственно, по y и x, т.е. выполнение соотношений

,

из тождества



получаем, что для M(x,y) и N(x,y) должно выполняться условие

.

Полученное условие является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Было уравнением в полных дифференциалах.

Нахождение общего решения уравнения в полных дифференциалах проводится в два этапа.

На первом этапе функция U(x,y) рассматривается как функция только аргумента x, переменная y получает как бы фиксированное значение . Тогда соотношению



ставится в соответствие дифференциальное уравнение

.

Пусть его общее решение представляется в виде

.

Но так как решение уравнения зависит от y, то в общем решении постоянная c является функцией y, т.е. c=h(y). Следовательно, общее решение предыдущего дифференциального уравнения, снимая с y условие закрепления его значения, имеет вид

U(x,y)=g(x,y)+h(y).

На втором этапе находится вид функции h(y). Для этого обратимся к соотношению

,

в котором уже закрепляется как бы значение переменной x.

Используя данное соотношение и вид функции U(x,y), получаем дифференциальное уравнение, связывающее переменные h и y:

или .

Интегрируя это уравнение, находим его общее решение

.

Из , получаем окончательный вид функции U(x,y), а именно

или

.

В последнем двойном интеграле вместо можно взять функцию (т.к. ). Тогда функция U(x,y) получает вид

.

Так как общее решение исходного дифференциального уравнения записывается в виде U(x,y)=c=const, то, заменяя две постоянных на одну, получаем следующий вид общего решения уравнения

или

.

Пример 1. Дано дифференциальное уравнение

(6x²y²+6xy-1)dx+(4x³y+3x²y+2y)dy=0.

В нем M(x,y)=6x²y²+6xy-1, N(x,y)=4x³y+3x²y+2y. Из и тождества ,

Следует, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Проведем его решение в два этапа.

На первом решаем уравнение

или dU=(6x²y²+6xy-1)dx,

в котором переменная y считается закрепленной. Интегрируя это уравнение, получаем

U(x,y)=2x³y²+3x²y-x+h(y).

На втором этапе определяем вид функции h(y), используя для этого соотношение



и дифференциальное уравнение для h и y

4x³y+3x²+h^/(y)=4x³y+3x²+2y или .

Интегрируя последнее, получаем h=y²+c. Общий интеграл исходного уравнения тогда можно записать в виде

2x³y²+3x²y-x+y²=c.

Пример 2. Найти решение уравнения

2xsinydx+(3y²+x²cosy)dy=0.

Проверяем, является ли оно уравнением в полных дифференциалах? Для этого из M(x,y)=2xsiny, N(x,y)=3y²+x²cosy

Находим

.

Так как, очевидно, выполняется условие

,

то уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

Сначала решаем уравнение

или dU=2xsinydx,

считая y постоянной. Интегрирование уравнения дает

U(x,y)=x²siny+h(y).

Затем находим функцию h(y), используя соотношения

, с одной стороны, и , с другой стороны. Соотношения приводят к дифференциальному уравнению

или .

Интегрируя последнее уравнение, получаем h=y³+c.

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения записывается в виде

X²siny+y³+c=0.

Далее рассмотрим понятие интегрирующего множителя. Ранее отмечалось, что уравнение в полных дифференциалах возникает, когда поведение системы сохраняет некоторую величину U, т.е. удовлетворяет соотношению

U(x,y)=c.

Дифференциальным аналогом его является уравнение dU(x,y)=0 или

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,

Где .

Предположим теперь, что частные производные функции U(x,y) представимы в виде

.

Тогда соотношению U(x,y)=e будет соответствовать уравнение в полных дифференциалах вида

M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0.

Если теперь данное уравнение разделить на общий множитель слагаемых g(x,y), то получим уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.

Решение последнего уравнения эквивалентно решению предыдущего, из которого оно получено, однако оно может уже не являться уравнением в полных дифференциалах, также для него возможно будет

.

В то же время после умножения его на множитель g(x,y), оно становится уравнением в полных дифференциалах.

Определение. Функция g(x,y) называется интегрирующим множителем дифференциального уравнения

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,

Если после умножения его на эту функцию оно становится уравнением в полных дифференциалах.

Данный способ решения дифференциального уравнения называется методом интегрирующего множителя.

Найдем условие, которому должен подчиняться интегрирующий множитель g(x,y). Из предложения, что уравнение

M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0

Становится уравнением в полных дифференциалах следует выполнение условия

.

Разверернув левую и правую части этого тождества

,

заключаем, что функция g(x,y) должна являться решением уравнения

.

В общем случае решение данного уравнения вызывает затруднения. Отметим два случая, когда его решение становится проще.

Случай первый. Пусть

.

Тогда интегрирующий множитель можно искать в виде функции зависящей только от x.

Действительно, пусть g=g(x). Тогда в виду ; получаем, что искомая функция g(x) является решением дифференциального уравнения

или ,

интегрируя которое, находим

, т.е. .

Второй слуяай относится к аналогичной ситуации, когда

.

Тогда интегрирующий множитель ищется в виде функции только от y, т.е. g=g(y).

Аналогично предыдущему, не трудно видеть, что функция g(y) является решением уравнения



и представляется в виде

.

Пример 3. Дано уравнение

(y²-3xy-2x²)dx+(xy-x²)dy=0.

Из M(x,y)=y²-3xy-2x², N(x,y)=xy-x², , следует , т.е. уравнение не является в полных дифференциалах.

Однако из соотношения



вытекает, что можно найти такой интегрирующий множитель g=g(x), после умножения на который исходное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах.

Указанный множитель находим из уравнения

,

интегрируя которое получаем , или g=xc. Так как в качестве множителя достаточно взять одну из функций, то положим c=1 и, тогда, g=x.

Умножая исходное уравнение на множитель g=x, получаем

(xy²-3x²y-2x³)dx+(x²y-x³)dy=0,

являющееся уже уравнением в полных дифференциалах. Интегрируя его, находим

,

,

затем из U^/_y=x²y-x³+h^/(x) и U^/_y=N(x,y)=x²y-x³

получаем x²y-x³+h^/=x²y-x³, т.е. и,

следовательно, h=c=const. Таким образом, общее решение имеет вид

.

Пример 4. Требуется решить уравнение

(2xy²-y)dx+(y²+x+y)dy=0.

Из M(x,y)=2xy²-y, N(x,y)=y²+x+y, следует

.

Однако из соотношения

,

вытекает, что для исходного дифференциального уравнения существует интегрирующий множитель g=g(y), с помощью которого уравнение становится уравнением в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель находится из уравнения

.

Интегрируя его, получаем .

Умножая исходное уравнение на множитель , приходим к уравнению

.

Это уравнение является уже уравнением в полных дифференциалах. Решаем его

,

,

затем из и ,

получаем

или .

Интегрируя последнее уравнение, имеем .

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид

.

7. Дифференциальные уравнения второго порядка.

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий вид

F(x,y,y^/,y^//)=0 или .

Наше знакомство с дифференциальными уравнениями второго порядка будет ограничено рассмотрением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y^//+py^/+qy=h(x),

где p и q – числа, h(x) – некоторая функция от x.

Если в этом уравнении , то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Рассмотрим решение однородного уравнения

.

Этому явлению может быть поставлено в соответствие квадратное уравнение вида ,

Называемое характеристическим. Его корни , как известно, определяются формулами

.

Возможны следующие три случая для вида корней этого уравнения: 1) корни уравнения – действительные и различные; 2) корни – действительные и равные; 3) корни уравнения – комплексно-сопряженные. Для каждого из этих случаев однородное дифференциальное уравнение имеет свой вид общего интеграла.

Случай 1. Дискриминант характеристического уравнения положителен, т.е. p²-4q>0. Тогда оба корня действительные и различные. В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

,

где c₁, c₂ – произвольные постоянные.

Действительно, если , то , . Подставляя выражения для y,y^/ и y^// в уравнение получим



.

Случай 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю, т.е p²-4q=0.

Тогда оба корня действительные и равные, т.е. .

В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Случай 3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен, т.е. p²-4q<0.

Тогда говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных корней (или что оба корня являются комплексно-сопряженными). В этом случае, обозначая , общее решение однородного уравнения дается в виде

.

Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения

y^//+py^/+g(y)\h(x),

где h(x) – некоторая функция от x.

Пусть в этом уравнении q=0, тогда, используя подстановку y^/=z, y^//=z^/, приходим к решению линейного дифференциального уравнения первого порядка z^/+pz=h(x).