Контр_ДУ_7. Решение Данное дифференциальное уравнение однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для решения сделаем замену

Название	Решение Данное дифференциальное уравнение однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для решения сделаем замену
Дата	11.05.2022
Размер	45.51 Kb.
Формат файла
Имя файла	Контр_ДУ_7.docx
Тип	Решение #523721

Контрольная работа

№1

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, разделим переменные и проинтегрируем обе части, получим:

Ответ:

№2

Решение:

Данное дифференциальное уравнение – однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для решения сделаем замену:

Тогда:

Подставляем в уравнение:

Сделаем обратную замену и получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

Ответ:

№3

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Для решения сделаем замену:

Тогда:

Подставляем в уравнение:

Получаем систему уравнений:

Решим первое уравнение системы:

Подставим полученное решение во второе уравнение системы:

Сделаем обратную замену и получим общее решение исходного дифференциального уравнения:

Теперь найдём решение задачи Коши, для этого воспользуемся начальным условием:

Тогда решение задачи Коши выглядит так:

Ответ:

№4

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли.

Разделим на

обе части:

Сделаем замену:

Находим производную:

Подставляем в уравнение:

Домножим обе части на (-1):

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для решения сделаем замену:

Тогда:

Подставляем в уравнение:

Получаем систему уравнений:

Решим первое уравнение системы:

Подставим полученное решение во второе уравнение системы:

Сделаем обратную замену:

Сделаем ещё одну обратную замену и получим общее решение исходного дифференциального уравнения:

Чтобы найти решение задачи Коши, воспользуемся начальным условием:

Тогда решение задачи Коши выглядит так:

Ответ:

№5

Решение:

Данное дифференциальное уравнение в явном виде не содержит переменную x, поэтому для решения сделаем замену:

Тогда:

Подставляем в уравнение:

Сделаем обратную замену:

Воспользуемся начальным условием:

Тогда:

Воспользуемся начальным условием:

Тогда:

Ответ:

№6

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением четвёртого порядка. Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни:

Так как получены действительные корни, один из которых равен нулю, общее решение однородного уравнения выглядит так:

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

Найдём первую и вторую, третью и четвёртую производные от данного выражения:

Подставляем в уравнение:

Приравнивая коэффициенты перед соответствующими степенями, получаем систему уравнений:

Решив данную систему, получим, что:

Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:

Общее решение неоднородного уравнения выглядит так:

Ответ:

№7

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка. Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни: