Контр_ДУ_7. Решение Данное дифференциальное уравнение однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для решения сделаем замену
![]()
|
Контрольная работа №1 ![]() Решение: Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, разделим переменные и проинтегрируем обе части, получим: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() №2 ![]() Решение: Данное дифференциальное уравнение – однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для решения сделаем замену: ![]() Тогда: ![]() Подставляем в уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Сделаем обратную замену и получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения: ![]() ![]() Ответ: ![]() №3 ![]() Решение: Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Для решения сделаем замену: ![]() Тогда: ![]() Подставляем в уравнение: ![]() ![]() Получаем систему уравнений: ![]() Решим первое уравнение системы: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Подставим полученное решение во второе уравнение системы: ![]() ![]() ![]() Сделаем обратную замену и получим общее решение исходного дифференциального уравнения: ![]() Теперь найдём решение задачи Коши, для этого воспользуемся начальным условием: ![]() ![]() Тогда решение задачи Коши выглядит так: ![]() Ответ: ![]() №4 ![]() Решение: Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Разделим на ![]() ![]() ![]() Сделаем замену: ![]() Находим производную: ![]() Подставляем в уравнение: ![]() Домножим обе части на (-1): ![]() Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для решения сделаем замену: ![]() Тогда: ![]() Подставляем в уравнение: ![]() ![]() Получаем систему уравнений: ![]() Решим первое уравнение системы: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Подставим полученное решение во второе уравнение системы: ![]() ![]() ![]() ![]() Сделаем обратную замену: ![]() Сделаем ещё одну обратную замену и получим общее решение исходного дифференциального уравнения: ![]() ![]() Чтобы найти решение задачи Коши, воспользуемся начальным условием: ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда решение задачи Коши выглядит так: ![]() Ответ: ![]() №5 ![]() Решение: Данное дифференциальное уравнение в явном виде не содержит переменную x, поэтому для решения сделаем замену: ![]() Тогда: ![]() Подставляем в уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Сделаем обратную замену: ![]() Воспользуемся начальным условием: ![]() ![]() Тогда: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Воспользуемся начальным условием: ![]() ![]() ![]() Тогда: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() №6 ![]() Решение: Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением четвёртого порядка. Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни: ![]() ![]() ![]() ![]() Так как получены действительные корни, один из которых равен нулю, общее решение однородного уравнения выглядит так: ![]() Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: ![]() Найдём первую и вторую, третью и четвёртую производные от данного выражения: ![]() ![]() ![]() ![]() Подставляем в уравнение: ![]() Приравнивая коэффициенты перед соответствующими степенями, получаем систему уравнений: ![]() Решив данную систему, получим, что: ![]() Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так: ![]() Общее решение неоднородного уравнения выглядит так: ![]() Ответ: ![]() №7 ![]() Решение: Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка. Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни: ![]() ![]() ![]() Так как получены одинаковые действительные корни, общее решение однородного уравнения выглядит так: ![]() Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: ![]() Найдём первую и вторую производные от данного выражения: ![]() ![]() Подставляем в уравнение: ![]() Приводим подобные слагаемые в левой части: ![]() Приравнивая коэффициенты между соответствующими выражениями, получаем систему уравнений: ![]() Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так: ![]() Общее решение неоднородного уравнения выглядит так: ![]() Ответ: ![]() |