учебное пособие. И радиоэлектронных компонентов
 Скачать 1.21 Mb.
|
|
1.1.4. Симметрия кристаллов (элементарной ячейки) (блоки 4,7,8) Как уже отмечалось, кристалл ‒ анизотропное трехмерное упорядочен- ное твердое тело. Для описания порядка расположения атомов (узлов кри- сталлической решетки) используется аппарат теории геометрической сим- метрии и соответствующий аппарат теории групп. Симметричное преобразование над точкой (фигурой) есть инвариантное преобразование. К основным симметричным преобразованиям относятся: • трансляция, последовательный перенос точки (фигуры) на величину вектора трансляции (a, b, c); • поворот вокруг поворотной оси n-го ранга (L n ) на угол поворота λ, при этом n = 360/λ; • отражение относительно плоскости симметрии (P, m); • отражение относительно точки, называемой центром симметрии. На рис. 1.8 приведены пример применения различных операций симметрии. L 4 А 2 А 1 А 3 А 4 А 22 А 11 А 33 А 44 P,m 4/m С Р, m Рис. 1.8. Вращение точки А вокруг оси 4 ранга L 4 , отражение относительно плоскости симметрии (P, m) и центр симметрии С на пересечении оси и плоскости. Использованы международные (m) и отечественные (P) обозначения плоскости 13 Все возможные сочетания имеющихся в кристаллической решетке пово- ротных осей симметрии и зеркальных плоскостей симметрии приводят к деле- нию кристаллов на 32 класса симметрии, а с учетом винтовых осей симметрии и скользящих плоскостей симметрии – на 230 пространственных групп. Опишем симметрию кристаллов на примере кубической элементарной ячейки (рис. 1.9). Как видно из рисунка, в кубе можно выделить 9 зеркальных плоскостей симметрии (P, m), поворотные оси 2-го, 3-го и 4-го рангов, центр симметрии С. Совокупность симметричных преобразований над кристалличе- ским многогранником образует точечную группу и объединяется в класс сим- метрии. Все элементы симметрии данного класса могут быть записаны в виде формулы симметрии, включающей последовательную запись всех элементов симметрии: например, для куба 3L 4 4L 3 6L 2 9PC (здесь использована отече- ственная система обозначений). В обозначение класса симметрии включают Плоскости симметрии: Поворотные оси симметрии: L 2 L 4 L 3 P, m а б в г д е Центр симметрии С С Р, m L 3 L 4 L 2 Рис. 1.9. Элементы симметрии куба: плоскости симметрии (P, m), оси симметрии L n , центр симметрии С L 3 L 4 L 2 L 3 L 4 L 2 а б в Рис. 1.10. Все элементы симметрии куба: а ‒ в графическом изображении; б ‒ переход к стереографическим проекциям в 14 а б в Рис. 1.11. Кристаллические решетки металлов и схемы упаковки в них атомов: а – ГЦК; б – ОЦК; в – ГПУ основные операции симметрии в международной символике. Класс симмет- рии кубической решетки m3m. На рис. 1.10 показаны элементы симметрии куба в графическом изображении и с помощью стереографических проекций. 1.2. Кристаллическая структура металлов Строение металлов определяется металлической связью,обусловли- вающей притяжение между положительными ионами и электронами. Ме- таллическую связь можно рассматривать как ковалентную связь, посколь- ку в ее основе лежит обобществление внешних валентных электронов. На рис. 1.11 показаны характерные для металлов кристаллические решетки: а) гранецентрированная кубическая (ГЦК); б) объемно центрированная ку- бическая (ОЦК); в) гексагональная плотно- упакованная (ГПУ). Для характеристики кристаллических ре- шеток вводят понятия координационного числа и коэффициента упаковки (компактности). Ко- ординационным числом называется число ато- мов, находящихся на наиболее близком и рав- ном расстоянии от данного атома. Для ОЦК- решетки координационное число равно 8, для решеток ГЦК и ГПУ оно составляет 12. Из это- го следует, что решетка ОЦК менее компактна, чем решетки ГЦК и ГПУ. В решетке ОЦК каж- дый атом имеет всего 8 ближайших соседей, а в решетках ГЦК и ГПУ их 12. Некоторые металлы при разных температурах могут иметь различ- ную кристаллическую решетку. Способность металла существовать в раз- личных кристаллических формах носит название полиморфизма, или ал- лотропии. Принято обозначать полиморфную модификацию, устойчивую при более низкой температуре, индексом α (α-Fe), при более высокой – индексом β, затем γ и т. д. Известны полиморфные превращения железа: Fe a в Fe g (a-Fe в g-Fe), ти- тана Ti a в Ti g (a-Ti в g- Ti) и других элементов. 15 1.3. Индицирование узлов, направлений и плоскостей в кристаллах Для индицирования (описания) узлов, направлений и плоскостей в кри- сталлах используют индексы. Если r – радиус-вектор, проведенный из начала координат в рассматри- ваемый узел, то индексами узла будет совокупность чисел 1 2 3 , , n n n , записы- ваемая как 1 2 3 [ , , ] n n n : 1 2 3 r = n a + n b + n c За индексы направления ребра принимаются индексы ближайшего к началу координат узла, через который проходит рассматриваемое направле- ние, проведенное из начала координат 1 2 3 [ , , ] n n n . Индексы Миллера для плоскости представляют собой коэффициенты в уравнении плоскости, написанном в параметрическом виде; для нахождения индексов Миллера следует: а) выразить отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, через базисные отрезки (векторы) а , b , c ; б) найти их обратные значения и привести к виду наименьших возмож- ных рациональных дробей, имеющих общий знаменатель; в) отбросить общий знаменатель и заключить полученные 3 числа в круглые скобки h k l Пример. Найти индексы плоскости, отсекающей по кристаллографиче- ским осям отрезки 9, 10, 30, если базисные векторы 3 a = , 5, b = 6. c = Действуем согласно указанному правилу: а) выразим отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, через базисные векторы: 1 2 3 9 10 30 3 2 5 3 5 6 n = = ; n = = ; n = = ; б) найдем обратные числа: 1 2 3 1 1 1 1 1 1 ; ; ; 3 5 2 n n n в) приведем их к наименьшему общему знаменателю: 10 30; 15 30; 6 30 16 [001] z y [010] 100] x (111) [110] [[110]] [[011]] (010) [001] z [[001]] (111) [010] y (010) [110] [[110]] [100] x Рис. 1.12. Индексы узлов, направлений и плоскостей Z’ Z X’ Y’ Y X M(x,y,z) M’(x’,y’,z’) Z Z′ X′ X Y Y′ M′(x′, y′, z′) M(x, y, z) Рис. 1.13. Инвариантное преобразование координат и отбросим знаменатель. Полученные числа есть индексы Миллера искомой плоскости (h k l) = (10, 15, 6). На рис. 1.12 показаны индексы узлов, направлений и плоскостей для кубической сингонии (например: индекс узла [[110]] и направления [110], проходящего через этот узел, а также заштрихованная плоскость (010)). 1.4. Матрицы элементов симметрии (блок 9) Преобразования симметрии в кристаллическом пространстве описыва- ются как соответствующие преобразования координат (рис. 1.13). Точка с координатами x, y, z после преобразования симметрии займет новое положение с координатами x′, y′, z′, определяющимися уравнениями преобразования: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , , , x c x c y c z y c x c y c z z c x c y c z где , i j c – косинусы углов между осями коор- динат (i, j = 1, 2, 3). Любому преобразованию симметрии мож- но поставить в соответствие матрицу преобразования Δ i, j , элементами кото- рой являются косинусы углов , i j c : 11 12 13 , 21 22 23 31 32 33 i j c c c c c c c c c Пример. Записать матричное представление оси второго порядка парал- лельно оси Z. Требуемое симметричное преобразование представляет собой поворот кристаллографических координат вокруг оси 2 L (оси Z) на угол 180°. Введем новую систему координат x′, y′, z′, связанную с исходной x, y, z следующими соотношениями: 17 cos cos 1 ; cos cos 1 ; cos cos 0 1 x xx x x x y yy y y y z zz z z z Соотношения между разноименными осями (например xy′) определяют- ся косинусами углов, равных 90° (все разноименные оси взаимно-перпенди- кулярны), поэтому искомое преобразование симметрии следует записать в виде матрицы косинусов 1 0 0 0 1 0 . 0 0 1 ij Матрицы различных симметричных преобразований представлены в таблице. * 1.5. Физические свойства кристаллов (блок 10) Основное свойство всех кристаллов ‒ анизотропия, т. е. зависимость определяемого свойства от направления или симметрии структуры кристал- ла, при этом симметрия структуры и симметрия физических свойство связа- ны взаимно. На рис. 1.14 приведена схема, отображающая 15 свойств и эф- фектов, возможных в кристаллах. Внешний треугольник задает воздействие, T S X T D E 1 2 5 6 7 4 9 10 15 13 14 8 11 3 12 E D X S T T 6 8 11 15 13 12 1 3 14 7 4 5 10 9 2 Рис. 1.14. Свойства и эффекты в кристаллах * Шаскольская М. П. Кристаллография. М.: Высш. шк., 1976. С. 43. 18 внутренний определяет отклик, пронумерованные связи описывают возмож- ные взаимосвязи свойств и соответствующие эффекты (1 – упругость; 2 – ди- электрическая проницаемость; 3 ‒ теплоемкость; 4 ‒ электромеханические эффекты; 5 ‒ электротермические эффекты; 6 ‒ термоупругие эффекты; 7 ‒ прямой пьезоэлектрический эффект; 9 ‒ обратный пьезоэлектрический эф- фект; 8 ‒ пьезокалорический эффект; 10 ‒ электрокалорический эффект; 11 ‒ тепловое расширение; 12 ‒ пироэлектрический эффект; 13 ‒ теплота поляри- зации; 14 ‒ теплота деформации; 15 ‒ электрострикция). 1.5.1. Принципы кристаллофизики (блок 11) Рассмотрим основные принципы кристаллофизики, определяющие вза- имосвязь анизотропии свойств и строения. Принцип Неймана ‒ постулат, устанавливающий связь симметрии макро- скопических физических свойств кристалла с симметрией его внешней формы. Согласно этому принципу группа симметрии любого спонтанно прису- щего кристаллу физического свойства должна включать в себя операции симметрии точечной группы симметрии кристалла. Принцип суперпозиции Кюри ‒ принцип, согласно которому кристалл под внешним воздействием изменяет свою точечную симметриютак, что склады- вается дисимметрия, т. е. кристалл сохраняет лишь элементы симметрии, об- щие с элементами симметрии воздействия. L 3 3P 3m P m L 4 4P 4m Рис. 1.15. Иллюстрация принципа Кюри На рис. 1.15 показано, как воздействие в виде вырезания из квадрата пра- вильного треугольника образует новую фигуру – «флажок». Используя прин- цип Кюри, легко определить симметрию флажка: дисимметриями являются 19 ось 4-го порядка квадрата, ось 3-го порядка треугольника, все вертикальные плоскости и горизонтальная плоскость квадрата. Складываем все дисиммет- рии, и остается лишь одна вертикальная плоскость (как видно, общая плос- кость квадрата и треугольника). Принцип Нейманасвязывает симметрию свойств кристалла с симметри- ей кристалла до воздействия, в то время как принцип суперпозиции Кюри позволяет определить симметрию кристалла после воздействия. Кюри пред- ложил для описания симметрии воздействия использовать так называемые предельные группы. Все 7 предельных групп соответствуют семи сингониям и содержат пово- ротные оси бесконечного порядка. На блок-схеме связей между предельными группами Кюри (рис. 1.16) приведены: обозначение группы, ее геометрический образ, физическое воздействие и соответствующий математический опера- тор. Например, группа ∞/∞ mm содержит бесконечное число осей ∞-порядка, бесконечное число плоскостей симметрии, параллельных оси ∞-порядка, и бесконечное число плоскостей симметрии, перпендикулярных оси ∞-поряд- ка; любое однородное физическое воздействие, описываемое скаляром. ∞/mm ∞*m конус, однородное электрическое поле; полярный вектор ∞*2 вращающийся цилиндр, вращение плоскости поляризации; аксиальный тензор ∞ вращающийся конус, крутильная ось цилиндр, одноосное растяжение- сжатие; полярный тензор ∞/∞m m сфера гидростатическое растяжение- сжатие, однородный нагрев; скаляр сфера с вращающимися диаметрами, изотропное вращение плоскости поляризации; псевдоскаляр ∞/∞ Вращающий- ся цилиндр, однородное магнитное поле; аксиальный вектор ∞/m ∞/∞ m m ∞/∞ ∞/mm ∞*2 ∞*m ∞ ∞/m Сфера, гидростатическое растяжение- сжатие, однородный нагрев; скаляр Цилиндр, одноосное растяжение- сжатие; полярный тензор Вращающий- ся цилиндр, однородное магнитное поле; аксиальный вектор Сфера с вращающимися диаметрами, изотропное вращение плоскости поляризации; псевдоскаляр Конус, однородное электрическое поле; полярный вектор Вращающийся цилиндр, вращение плоскости поляризации; аксиальный тензор Вращающийся конус, крутильная ось Рис. 1.16. Предельные группы Кюри 20 Рассмотрим пример применения принципа Кюри для описания свойств кубического кристалла под воздействием упругой деформации. Пример . Пусть к кубическому кристаллу с симметрией m3m приложили одноосное напряжение растяжения вдоль оси L 4 [001]. Какой симметрией бу- дет обладать кристалл? Кристалл, находящийся под влиянием внешнего воздействия, будет об- ладать теми элементами симметрии, которые являются общими для воздей- ствия и кристалла в отсутствие воздействия. По условию задачи растягивающее напряжение приложено по оси вдоль направления [0 0 1]. Симметрия приложенного воздействия соответствует предельной группе с геометрическим образом в виде покоящегося цилиндра вращения. Применяя принцип суперпозиции Кюри, найдем общие элементы для кристалла в отсутствие воздействия и воздействия в отсутствие кристалла (рис. 1.17). Общими элементами симметрии будут ось L 4 , 4 вертикальные плоско- сти, проходящие параллельно L 4 , одна перпендикулярная оси L 4 горизон- тальная плоскость, 4 оси L 2 на пересечении вертикальных плоскостей с гори- зонтальной плоскостью и центр инверсии. Полученная симметрия соответ- ствует симметрии тетрагональной призмы 4/mmm. В аналитическом виде принципу Кюри соответствует операция перемножения матрицы симметрии кристалла и матрицы предельной группы, соответствующей данному физи- ческому воздействию, т. е. 4 3 m m mmm mmm 001 4 L m m3 mmm mmm 4 L 4 [001] m3m mmm ∞ mmm 4 Рис. 1.17. Схема решения Как видно (рис. 1.17), растяжение куба вдоль оси L 4 [001] приводит к образованию тетрагональной призмы. 21 1.6. Симметрия физических свойств и симметрия структуры кристаллов. Диэлектрическая проницаемость Рассмотрим описание симметрии физических свойств и ее связь с сим- метрией структуры кристаллов на примере диэлектрической проницаемости. На рис. 1.18 показано электрическое поле Е в плоском конденсаторе с ди- электриком, имеющим диэлектрическую проницаемость ε. Результирующее поле определяется вектором электрической индукции |