проект по математике Чеужева Тимура. I стратегии решения Решение с конца
 Скачать 177.55 Kb.
|
|
Глава I Стратегии решения Решение с конца Анализ целей и средств является примером прямой стратегии — все планируемые действия ориентированы на приближение к подцели и, в конечном итоге, к основной цели. Иногда полезнее оказывается стратегия планирования операций решения с конца, которые обеспечивают движение от конечной цели назад — к текущему или исходному положению. Простейшим примером такой стратегии может служить игра в обожаемые детьми лабиринты, нарисованные на бумаге, которые нужно проходить с помощью карандаша. Многие из этих лабиринтов содержат несколько возможных путей, отходящих от начальной точки, и среди них только один верный путь, который приведет в конец лабиринта к заветной цели. Даже маленькие дети понимают, что они смогут ускорить решение такой задачки-лабиринта, если пойдут в обратном направлении, начав движение с конечной точки и прорисовывая путь к началу лабиринта. Иногда оказывается эффективной комбинация прямой стратегии и стратегии решения с конца. Если вы столкнулись с геометрической или тригонометрической задачей на доказательство, то, вполне вероятно, прибегнув к комбинации этих двух стратегий, вы успешно с ней справитесь . Упрощение. Вы все обдумываете и обдумываете свою задачу; попробуйте упростить ее… Довели ли вы ее до максимально возможного упрощения, до той ясности, которая наталкивает на мысли? Задачи, вызывающие затруднения при решении чаще всего сложны по структуре. Хороший способ справиться с такой задачей — это упростить ее настолько, насколько возможно. Нередко удачно выбранная форма наглядного представления задачи сама способствует ее упрощению, поскольку позволяет «увидеть» эффективный путь решения. Глава I Стратегии решения Решение с конца Упрощение является хорошей стратегией для решения абстрактных задач, сложных или содержащих информацию, не относящуюся к поиску решения. Часто стратегия упрощения работает рука об руку с выбором оптимальной формы представления задачи, поскольку именно удачное наглядное представление может существенно упростить задачу. Обобщение и специализация Иногда, столкнувшись с задачей, оказывается полезно рассмотреть ее как частный случай целого класса аналогичных задач (обобщение); или, наоборот, как специальный случай (специализация). Чаще всего стратегии обобщения и специализации уместны при представлении задачи в форме древовидной диаграммы. Большинство целей в этом случае может одновременно классифицироваться как подчиненные для вышестоящей категории и главные для нижестоящей. Случайный поиск и метод проб и ошибок Вспомните, что структура задачи включает в себя исходное положение и цель, а также пути решения, ведущие от исходного положения к цели. Одной из стратегий поиска возможных путей решения является случайный поиск. Хотя такой подход не выглядит серьезной стратегией решения задачи, а кажется скорее псевдостратегией, в некоторых случаях он оказывается весьма полезным. Если задача имеет небольшое число возможных путей решения, то случайный поиск приведет к цели в кратчайший срок. Глава I Стратегии решения Метод проб и ошибок. Совершенно случайный поиск означал бы отсутствие систематического порядка рассмотрения вариантов и возможность повтора уже рассмотренных решении. Поэтому более предпочтительной стратегией является систематический поиск методом проб и ошибок по всему пространству задачи (содержащему пути решения, цель и исходное положение). Лучше всего применять метод проб и ошибок к решению четко поставленных задач, имеющих конечное число возможных путей решения. Применение этого метода хорошо подходит при решении коротких анаграмм. Обе стратегии — метод проб и ошибок и случайный поиск — плохо работают, когда возрастает количество путей решения задачи из-за роста числа возможных комбинаций. Часто бывает полезным разбить задачу на части и воспользоваться методом проб и ошибок для решения более мелких подзадач. Правила Некоторые типы задач строятся по определенным правилам — например, задачи на последовательности. Как только будут установлены принципы построения такой задачи, можно считать ее решенной. В области математики и физики большинство задач построено по определенным правилам. Хороший способ обнаружить заложенную в задаче закономерность — это попробовать отыскать повторяющиеся фрагменты в данных или подцелях. Такого сорта задачи, требующие поиска закономерности, часто используются в тестах интеллекта. Глава II Ханойская башня Ханойская башня является одной из популярных головоломок XIX века. Даны три стержня, на один из которых нанизаны восемь колец, причём кольца отличаются размером и лежат меньшее на большем. Задача состоит в том, чтобы перенести пирамиду из восьми колец за наименьшее число ходов на другой стержень. За один раз разрешается переносить только одно кольцо, причём нельзя класть большее кольцо на меньшее. Есть вариант игры и с четырьмя стержнями, и с огромным количеством колец, но мы рассмотрим простой вариант из трёх стержней и восьми колец. Рекурсивное решение Рекурсивно решаем задачу «перенести башню из n −1 диска на 2-й штырь». Затем переносим самый большой диск на 3-й штырь, и рекурсивно решаем задачу «перенеси башню из n −1 диска на 3-й штырь». Отсюда методом математической индукции заключаем, что минимальное число ходов, необходимое для решения головоломки, равно 2 n − 1, где n — число дисков. В информатике задачи, основанные на легенде о Ханойской башне, часто рассматривают в качестве примера использования рекурсивных алгоритмов и преобразования их к не рекурсивным. «Треугольное» решение Расположим штыри в виде треугольника. Начнём с самого маленького кольца и переложим его на любую отметку. В дальнейшем это кольцо нужно перемещать в том же направлении, что и при первом перекладывании. Затем перенесём какое-нибудь из оставшихся колец (такой ход единственный), после чего снова переложим самое маленькое кольцо и т. д. Циклическое решение Обозначим через «1-2» такое действие: переложить диск или с 1-го штыря на 2-й, или со 2-го ократно повторять действия: 1-2, 1-3, 2-3. Если число дисков нечётно — 1-3, 1-2, 2-3.  Глава III Кошка на дереве Поговорим о задаче «Кошка на дереве». Предположим, вам надо снять кошку с ветки, расположенной на высоте 10 футов. В вашем распоряжении имеется единственная лестница длиной 6 футов. Для того чтобы лестница была надежно установлена, ее основание должно находиться на расстоянии трех футов от ствола. Дотянетесь ли вы до кошки? Лучший путь к решению этой (и не только этой) задачи — графически изобразить исходные данные. Условия задачи графически показаны на следующем слайде. Как только информация представлена в виде чертежа, ее можно воспринимать как простую геометрическую задачу: найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 10 и 3 футам. Такая формулировка задачи предполагает, что вы воспользуетесь своими знаниями о том, как вычисляются длины сторон треугольников. Факт остается фактом: когда для решения задачи требуется определенный уровень образования — его ничем не заменишь.  Глава III Кошка на дереве Если исходные данные представить в виде рисунка, задача превращается в простую геометрическую задачу. Формула для нахождения гипотенузы треугольника имеет вид: а 2 + Ь 2 = с 2 . Подставляя соответствующие значения в это уравнение, получим: 10 2 + 3 2 = с 2 100 + 9 = с 2 109 = с 2 ?109 = c с= 10,4 Таким образом, для того чтобы достать до ветки, нужна лестница длиной 10,4 фута. Но постойте, может, попробовать перерисовать задачу, используя условие, что для спасения кошки в вашем распоряжении имеется только шестифутовая лестница? На следующем слайде приведена несколько другая графическая интерпретация этой задачи.  Глава III Кошка на дереве Может быть использована та же формула, но теперь неизвестной величиной является не гипотенуза, а один из катетов прямоугольного треугольника. Задачу можно переформулировать таким образом: как высоко от земли располагается конец лестницы в 6 футов, если ее основание отставить на 3 фута от ствола? Тогда и ответ получится другой. Изменяя формулу, получим: а 2 + Ь 2 = с 2 а 2 = 6 2 -3 2 а 2 = 36-9 а 2 = 27 a = ?27 a = 5,2 Таким образом, верхняя планка лестницы коснется ствола дерева на высоте 5,2 фута над землей. Сможете ли вы достать кошку? Если вы выше 5 футов, то без труда дотянетесь до кошки. На самом деле вам даже не придется тянуться.  Вывод Зная различные стратегии решения, помочь при решении различных видов математических задач. Развитие в этой сфере поможет развитию интеллекта человека и повышению IQ. Такие задачи проверяют не те или иные познания в какой либо математической области, а умение мыслить логично, ориентироваться в необычных ситуациях, предвидеть, анализировать и действовать. Известный русский математик В. П. Ермаков говорил: « В математике следует помнить не формулы, а процесс мышления ». Это демонстрируют задачи с играми. на 1-й, в зависимости от того, где он меньше. Тогда, чтобы решить головоломку с чётным количеством дисков, надо многократно повторять действия: 1-2, 1-3, 2-3. Если число дисков нечётно — 1-3, 1-2, 2-3. используя условие, что для спасения кошки |