Идз 1 Вариант 14 Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой
![]()
|
ИДЗ 9.1 – Вариант 14 1. Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой. 1.14 ![]() Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная той функции на [a,b], то определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной на этом отрезке: ![]() Используем в решении формулу половинного угла ![]() Вычисляем определенный интеграл ![]() 2.14 ![]() Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на [α, β], тогда ![]() ![]() Пусть u = x2, тогда dv = sin4xdx, du = (x2)′dx = 2xdx, ![]() ![]() Учли, в нахождении v, табличный интеграл ![]() Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная той функции на [a,b], то определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной на этом отрезке: ![]() Запишем интеграл ![]() Снова применим метод интегрирования по частям Пусть u = x, тогда dv = cos4xdx, du = (x)′dx = dx, ![]() Решаем определенный интеграл ![]() 3.14 ![]() Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная той функции на [a,b], то определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной на этом отрезке: ![]() Разделив числитель подынтегральной функции на знаменатель, выделим целую часть неправильной дроби, стоящей под знаком интеграла. Получим интеграл от алгебраической суммы: ![]() ![]() Разложили квадрат разности ![]() ![]() Запишем интеграл и разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби: ![]() Отсюда ![]() Найдем значения коэффициентов A, B при x = 2 ![]() при x = 0 ![]() Подставляем в выражение (1), найденные значения коэффициентов А, В получаем решение исходного интеграла: ![]() ![]() 4.14 ![]() Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная той функции на [a,b], то определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной на этом отрезке: ![]() Интегрирование заменой переменной (метод подстановки) ![]() Проведем замену: ![]() Запишем пределы интегрирования для переменной t при ![]() ![]() Вычисляем определенный интеграл ![]() Учли в решении интеграла тригонометрическое тождество ![]() ![]() ![]() 5.14 ![]() Используя формулу произведения тригонометрических функций ![]() преобразуем подынтегральное выражение ![]() Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная той функции на [a,b], то определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной на этом отрезке: ![]() Решаем определенный интеграл ![]() 6.14 ![]() Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная той функции на [a,b], то определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной на этом отрезке: ![]() Представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов, предварительно выделив в числителе подынтегральной функции слагаемое, равное производной подкоренного выражения из знаменателя: ![]() Решение первого интеграла: ![]() Решение второго интеграла Применима табличная формула интегрирования ![]() Преобразуем интеграл, выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат (формула квадрата разности (a − b)2 = a2 − 2ab + b2) ![]() Тогда запишем интеграл ![]() ![]() 7.14 ![]() Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная той функции на [a,b], то определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной на этом отрезке: ![]() Интегрирование заменой переменной (метод подстановки): ![]() Проведем замену: ![]() ![]() Запишем пределы интегрирования для переменной t при ![]() ![]() тогда запишем промежуточное решение ![]() Разделив числитель подынтегральной функции на знаменатель, выделим целую часть неправильной дроби, стоящей под знаком интеграла. Получим интеграл от алгебраической суммы: ![]() ![]() Вычисляем определенный интеграл ![]() 8 Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость: 8.14 а) ![]() Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования (1 рода) ![]() ![]() ![]() Если такой предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся к данному пределу. Если конечного предела не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся. ![]() Решим неопределенный интеграл ![]() Проведем замену t = x2 + 4x + 1, отсюда dt = (x2 + 4x + 1)′dx = (2x + 4)dx, ![]() ![]() Применили табличную формулу интегрирования ![]() Проведем обратную замену t = x2 + 4x + 1 Получаем решение неопределенного интеграла ![]() Решение несобственного интеграла: ![]() Данный интеграл сходится б) ![]() Если функция f(x) непрерывна при a ≤ x < b и имеет точку разрыва x = b, тогда ![]() Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке ![]() Решаем несобственный интеграл ![]() Данный интеграл расходится Учли в решении табличный интеграл ![]() |