Лекция. Тема 7. Интегральное исчисление функций одной переменной. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных неопределенных интегралов
 Скачать 4.67 Mb.
|
|
Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных неопределенных интегралов. Свойства неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирование по частям. Определенный интеграл. Геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям. Приложения определенного интеграла. Определение Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F'(x) = f (x) или dF(x) = f (x)dx . Первообразная функция 2) Если две функции F(x) и Φ(x) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е., если F'(x) = Φ'(x) , то F(x) = Φ(x) +C . 1) Если две функции F(x) и Φ(x) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, т.е., если F(x) = Φ(x) +C , то F'(x) = Φ'(x) или F'(x)dx = Φ'(x)dx . Первообразной функции f(x) = cos2x является функция Так как Если в формуле y = F(x) +C придавать постоянной C все возможные значения, то получим все возможные первообразные для функции f(x). ( ) x x F 2 sin 2 1 = xdx x d или x x 2 cos 2 sin 2 1 2 cos 2 sin 2 1 = ÷ ø ö ç è æ = ÷ ø ö ç è æ Определение Множество F(x) + C всех первообразных для данной функции f(x), где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x) ( ) dx x f ò Определение Нахождение первообразной по данной функции f(x) называется интегрированием и является действием, обратным дифференцированию. Таблица интегралов элементарных функций № п/п Интеграл Первообразная F(x)+C 1 2 3 4 5 6 7 ( ) dx x f ò dx x n ò dx x ò 1 dx a x ò 1 , 1 1 - ¹ + + + n C n x n dx x ò 2 cos 1 dx x ò ) cos( dx e x ò dx x ò ) sin( 0 , ln ¹ + x C x ( ) C x tg + ( ) C x + - cos ( ) C x + sin C e x + C a a x + ln Таблица интегралов элементарных функций № п/п Интеграл Первообразная F(x)+C 8 9 10 11 12 13 14 dx x ò 2 sin 1 ( ) C x ctg + - ( ) dx x f ò ( ) dx x tg ò ( ) dx x ctg ò dx x a ò - 2 2 1 C a x + ÷ ø ö ç è æ arcsin ( ) C x + - cos ln dx x a ò + 2 2 1 dx a x ò - 2 2 1 dx x a ò ± 2 2 1 ( ) C x + sin ln C a x arctg + ÷ ø ö ç è æ 2 1 C a x x + ± + 2 2 ln C a x a x a + + - ln 2 1 Пример Найти По формуле 1 таблицы 2 : Проверим это. От правой части возьмем производную По формуле 2 таблицы 1 : Так как получили подынтегральную функцию, то можем сделать вывод о правильности нашего решения. dx x ò 2 C x dx x + = ò 3 3 2 ¢ ÷÷ ø ö çç è æ + C x 3 3 2 2 3 0 3 3 3 x x C x = + = ¢ ÷÷ ø ö çç è æ + Пример Найти 1. Перепишем дробь, представим ее в виде степени: 2. Получим интеграл , который решается по таблице 2: dx x ò 2 1 2 2 1 - = x x dx x ò -2 C C x + - = + - - 2 1 1 1 Пример Найти . В данном интеграле перед дифференциалом стоит 1, а это не что иное, как x 0 , следовательно, наш интеграл примет вид . По таблице видим, что ответ будет: ò dx ò dx x 0 C x C x + = + 1 1 Пример Найти Данный интеграл особо выделен в таблице, так как решить его, используя формулу 1 таблицы 2, не представляется возможным. Покажем это. По аналогии с предыдущими примерами представим дробь как степенную функцию: Применив формулу 1, получим: В знаменателе стоит 0, а на 0, как известно, делить нельзя. Поэтому данный интеграл решается по формуле 2 таблицы 2 и равен: dx x ò 1 1 1 - = x x C x dx x + + - = ò + - - 1 1 1 1 1 C x dx x + = ò ln 1 Пример «Метод внесения под знак дифференциала» Найти В числителе подынтегральной функции стоит выражение cos xdx . Внесем cos x под знак дифференциала и получим, что cos xdx = d(sin x) . Интеграл примет вид: Применив формулу 2 таблицы 2, получим ответ: dx x x ò sin cos ( ) ò x x d sin sin ( ) C x x x d + = ò sin ln sin sin Свойства неопределенных интегралов 1. Операция нахождения интеграла является операцией, обратной к нахождению производной, то есть: C x f dx x f x f dx x f + = ¢ = ¢ ò ò ) ( ) ( ), ( ) ) ( ( Свойства неопределенных интегралов 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: dx x f dx x f dx ) ( ) ( = ò Свойства неопределенных интегралов 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс С: C x F x dF + = ò ) ( ) ( Свойства неопределенных интегралов 4. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: ò ò = dx x f a dx x af ) ( ) ( а – константа Свойства неопределенных интегралов 5. Неопределенный интеграл от суммы/разности равен сумме/разности интегралов: ò ò ò ± = ± dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( )) ( ) ( ( Пример Найти . 1. Разложим искомый интеграл на несколько интегралов: 2. Получили три табличных интеграла, находим их по таблице 2. Ответ: ( ) dx x x ò + - 1 2 2 ( ) ò ò ò ò + - = + - dx xdx dx x dx x x 2 1 2 2 2 ( ) C x x x dx x x + + - = + - ò 2 2 3 1 2 2 3 2 Пример Найти . 1. Раскрываем скобки по формуле сокращенного умножения: 2. Раскладываем интеграл на слагаемые. Ответ: ( ) dx x 2 3 ò - ( ) ( ) dx x x dx x ò ò + - = - 9 6 3 2 2 C x x x dx dx x dx x + + - = + - ò ò ò 9 2 6 3 9 6 2 3 2 Замена переменной в неопределенном интеграле и интегрирование по частям используют тогда, когда искомый интеграл не является табличным, но путем ряда элементарных преобразований он может быть сведен к таковому. Метод основан на применении следующей формулы: dt t t f dx x f ) ( )) ( ( ) ( f f ¢ = ò ò ( ) dx x f ò В данном интеграле переменную x заменяют переменной t по формуле x =ϕ (t) и, следовательно, dx произведением ϕ '(t)dt . Пример Найти . 1. Произведем замену переменных: x 3 = t, dt = 3x 2 dx . 2. Выражение 3x 2 входит в подынтегральное выражение, только без тройки. 3. Чтобы все преобразования были тождественны, нужно разделить на 3. 4. Получим табличный интеграл: 5. Со старыми обозначениями: dx e x x 3 2 ò C e dt e t t + = ò 3 1 3 1 C e C e x e t + = + 3 3 1 3 1 Метод интегрирования по частям ò ò - = vdu uv udv Формула, по которой осуществляется данный метод. Эта формула является следствием правила дифференцирования произведения функций vdu udv duv + = Метод интегрирования по частям 1) подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на показательную функцию от x или произведение многочлена от x на sin(x) или cos(x), или произведение многочлена от x на ln(x); 2) подынтегральная функция представляет собой одну из обратных тригонометрических функций arcsin(x), arccos(x) и т.д.; 3) подынтегральная функция есть произведение показательной функции на sin(x) или cos(x). Пример «Интегрирование по частям» Найти . 1. x = u, sin xdx = dv 2. Найдем du и v из найденных выше равенств: dx = du, − cos x = v . 3. Все составляющие формулы известны, подставляем их: 4. Полученный интеграл табличный: ò × xdx x sin ( ) ( ) ò ò - - - × = × dx x x x xdx x cos cos sin ( ) ( ) C x x x dx x x x + + × - = - - - × ò sin cos cos cos Определение Если определенный интеграл существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a;b] , числа a и b – соответственно нижним и верхним пределом интегрирования. Определенный интеграл Функция f (x) задана на отрезке [a;b] . Разобьем отрезок [a;b] на n произвольных частей точками x 0 , x 1 ,…, x n таким образом, чтобы выполн ялось: x 0 =a, x 0 1 <… i- 1 i <… n ,x n =b Выберем в каждом из частичных отрезков произвольную точку ξ i . Составим сумму произведений: Точки x i , i=1,…,n разделяющие отрезок [a;b] на частичные отрезки длиной Δ x i = x i - x i-1 , будем называть точками разбиения. ( ) ( ) ( ) ( ) å = D = D + + D + D = n i i i n n n x f x f x f x f 1 2 2 1 1 x x x x s Эту сумму будем называть интегральной суммой для функции f (x) на отрезке [a;b] . Введем еще одну величину: обозначим через λ= λ n длину максимального частичного отрезка данного разбиения, то есть: ( ) i n i n x D = = max ,..., 1 l ( ) x f 1 x a = n x t = i x D 1 - i x i x Рис.1. Построение интегральных сумм Определение Конечный предел I интегральной суммы σ n при , если он существует и не зависит от выбранного разбиения, называется определенным интегралом от функции f (x) по отрезку [a;b] : ¥ ® ® n n , 0 l ( ) i n i i x f I D = å = ® 1 0 lim x l ( ) ò = b a dx x f I Геометрический смысл определенного интеграла ( ) ò = b a dx x f S Y X S ( ) x f a b Определенный интеграл на отрезке [a,b] от неотрицательной функции f (x) ≥ 0 равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f (x) ≥ 0, осью Ох и вертикальными прямыми x = a и x = b . Рис.2. Геометрический смысл определенного интеграла Свойства определенного интеграла 1. 2. 3. ( ) ( ) ( ) b c a при dx x f dx x f dx x f b a c a b c < < + = ò ò ò ( ) ( ) ò ò = b a b a dx x f c dx x cf ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ò ò ò ± = ± b a b a b a dx x dx x f dx x x f f f Формула Ньютона-Лейбница Формула остается справедливой для произвольной интегрируемой функции f(x), независимо от ее знака, и для произвольной первообразной F(x), не обязательно совпадающей с площадью S(x). ( ) ( ) ( ) a F b F dx x f b a - = ò Формула Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница Формула Ньютона-Лейбница устанавливает взаимную связь между неопределенным интегрированием, вводимым как операция, обратная дифференцированию, и определенным интегрированием, вводимым как операция вычисления площади криволинейной трапеции. Для разности первообразных принято использовать обозначение: ( ) ( ) ( ) ( ) a F b F x F dx x f b a b a - = = ò Пример Найти 1. Сначала решаем этот интеграл так, если бы он был неопределенным: 2. По формуле Ньютона-Лейбница подставляем значения и получаем ответ: ò 3 6 cos p p dx 3 6 3 6 sin cos p p p p x dx = ò 2 1 2 3 6 sin 3 sin - = ÷ ø ö ç è æ - ÷ ø ö ç è æ p p Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям Замена переменной в определенном интеграле осуществляется по тем же правилам, что и в неопределенном, только в данном случае нужно еще пересчитать пределы интегрирования. Интегрирование по частям определенных интегралов осуществляется аналогично интегрированию по частям для неопределенных интегралов с добавлением пределов интегрирования. ò ò - = b a b a b a vdu uv udv Пример Найти 1. Пересчитаем пределы интегрирования. Нижний предел интегрирования = 1. В уравнение замены x 3 = t вместо х подставляем 1 и находим t. Получаем 1 3 = t , t = 1. 2. Находим верхним предел интегрирования: 3 3 = t, t = 27 Ответ: ò 3 1 2 3 dx e x x dt e t ò 27 1 3 1 ( ) 1 27 3 1 e e - Площадь области, ограниченной кривыми Если фигура ограничена сверху графиком функции f (x) , снизу графиком функции g(x), слева и справа – отрезками прямых x = a и x = b , то ее площадь равна: ( ) ( ) ( ) ò - b a dx x g x f Вычисление длины кривой Рис. 3. График кривой. Рис. 4. Кривая на [x;x+ D x] Кривая задана графиком функции y=f(x), определенной и непрерывной на xÎ[a;b] По теореме Пифагора длина отрезка ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 2 x x f x D + D @ Вычисление длины кривой Сумма длин всех отрезков кривой приблизительно равна Следовательно, длина кривой вычисляется по формуле ( ) 1 2 ' å D + x f ( ) ( ) ò + = b a dx x f L 2 ' 1 Это интегральная сумма для определенного интеграла ( ) ( ) ò + b a dx x f 2 ' 1 Пример «Метод замены переменных» Найти длину отрезка параболы y = x2 от точки A(0;0) до точки B(2;4) . Находим производную от y = x2 ⇒ yʹ = 2x , а 0 ≤ x ≤ 2. Подставляем найденные величины в формулу: Данный интеграл решается методом замены переменных. Делаем замену t = 2x . Так как интеграл определенный, то пересчитываем пределы интегрирования: Нижний – x = 0 ⇒ t = 2 ⋅ 0 = 0 , верхний – x = 2 ⇒ t = 2 ⋅ 2 = 4 . Получаем интеграл: Ответ: ( ) dx x L ò + = 2 0 2 2 1 4 0 2 4 0 2 4 0 2 1 ln 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 + + × + + × = + ò t t t t dt t ( ) 17 4 ln 17 4 4 1 + + Вычисление объема тела методом поперечных сечений Пусть тело объемом V расположено в пространстве между плоскостями x = a и x = b, и для любого х известна площадь его поперечного сечения S = S(x). Требуется определить объём этого тела. Объем вычисляется по формуле: ( ) ò = b a dx x S V Решение: 1. Найдем площадь сечения фигуры плоскостью x = const . Это сечение будет равнобедренным прямоугольным треугольником. Его площадь вычисляется по формуле: , где х – сторона этого треугольника. Объем равен: 2. По формуле Ньютона-Лейбница получаем ответ: Пример «Метод поперечных сечений» Найти объем, ограниченный поверхностями x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z =1. Z Y X const x = Рис.5. Метод поперечных сечений 2 2 x S = 1 0 3 1 0 2 3 2 1 2 x dx x × = ò 6 1 = V |