РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №2. Решение Для нахождения первообразной воспользуемся таблицей интегралов Решение Для нахождения данного интеграла сделаем замену
![]()
|
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Уральский государственный университет путей сообщения» (ФГБОУ ВО УрГУПС) Кафедра «Естественнонаучные дисциплины» Дисциплина «Математика» РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №2 «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЯ. ФНП» Вариант 4 Проверил: Выполнил студент: доцент, к.ф.-м.н. группы СОт-112(з) Мезенцев А.В Крипак М.Е. Екатеринбург 2023 задачи Найти неопределенный интеграл: ![]() Решение: Для нахождения первообразной воспользуемся таблицей интегралов: ![]() ![]() Решение: Для нахождения данного интеграла сделаем замену: ![]() ![]() Решение: Для нахождения данного интеграла также сделаем замену: ![]() ![]() Решение: Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям ![]() ![]() Внесём под дифференциал ![]() ![]() Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость. ![]() Решение: Для вычисления данного интеграла, внесём под дифференциал ![]() ![]() В декартовой системе координат построить плоскую фигуру, ограниченную линиями. Найти площадь фигуры. ![]() Решение: Построим фигуру на плоскости, площадь которой нам нужно найти: ![]() Получили фигуру, ограниченную двумя параболами,вычислим её площадь по формуле: ![]() Где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда: ![]() Интеграл вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей. Все вычисления проводить, сохраняя четыре знака после запятой. Приближенное значение интеграла округлить до третьего десятичного знака. Найти абсолютную и относительную погрешность результата вычислений. ![]() Решение: Вычислим интеграл по формуле Ньютона Лейбница: ![]() Теперь вычислим этот же интеграл с помощью формулы прямоугольников приближенно: Начнём с вычисления шага разбиения, т. к. по заданию количество отрезков разбиения равно 10 ![]() ![]() Где ![]() ![]() ![]() по формуле средних прямоугольников: ![]() Тогда, нам необходимо найти значения функции в серединах промежуточных отрезков, для этого проще занести все вычисления в таблицу, при этом все вычисления будем округлять до 4 знаков после запятой:
Теперь подставим найденные значения в формулу и вычислим интеграл: ![]() При этом абсолютная погрешность измерений: ![]() А относительная: ![]() Найти и показать на плоскости ![]() ![]() Решение: Чтобы найти область определения, рассмотрим все точки разрыва и области определения элементарных функций: ![]() По свойству логарифма, логарифмическое выражение должно быть ![]() ![]() Получается, что область определения функции находится в 2 и 4 четверти при смещении центра координат в точку ![]() ![]() Найти частные производные ![]() ![]() Решение: Для вычисления частных производных воспользуемся таблицей производных, правилом дифференцирования сложных функций и произведения: ![]() ![]() Исследовать функцию двух переменных на экстремум: ![]() Решение: Отыщем стационарные точки, найдя частные производные по ![]() ![]() ![]() Решим следующую систему: ![]() Нашли две точки стационарные точки ![]() Воспользуемся достаточным условием функции двух переменных и рассмотрим первую точку, для этого введем обозначение: ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда для ![]() Рассмотрим следующее неравенство: ![]() ![]() Неравенство выполняется, значит экстремум есть, а т.к. ![]() ![]() ![]() Неравенство: ![]() Отсюда следует, что в точке ![]() Найти градиент функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение: Вычислим градиент по следующей формуле: ![]() Для этого найдем частные производные: ![]() ![]() Тогда величина градиента: ![]() Теперь найдем градиент в точке ![]() ![]() Направление градиента найдем с помощью направляющих косинусов, направляющий вектор: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда: ![]() |