14 Функции многих переменных. Функции многих переменных понятие функции многих переменных
 Скачать 335 Kb.
|
|
Функции многих переменных §1. Понятие функции многих переменных. Пусть имеется n переменных величин  . Каждый набор  обозначает точку n-мерного множества  (п-мерный вектор).Пусть даны множества  и  .Опр. Если каждой точке  ставится в соответствие единственное число  , то говорят, что задана числовая функция n переменных:  . называют областью определения, - множеством значений данной функции.В случае n=2 вместо  обычно пишут x, y, z. Тогда функция двух переменных имеет вид:z=f(x,y). Например,   - функция двух переменных; - функция трех переменных; - линейная функция n переменных.Опр. Графиком функции n переменных называется n-мерная гиперповерхность в пространстве  , каждая точка которой задается координатами .Например, графиком функции двух переменных z=f(x,y) является поверхность в трехмерном пространстве, каждая точка которой задается координатами (x,y,z), где  , и  . Поскольку график функции трех и более переменных изобразить не представляется возможным, в основном мы будем (для наглядности) рассматривать функции двух переменных. Построение графиков функций двух переменных является довольно сложной задачей. Существенную помощь в ее решении может оказать построение так называемых линий уровня. Опр. Линией уровня функции двух переменных z=f(x,y) называется множество точек плоскости ХОУ, являющихся проекцией сечения графика функции плоскостью, параллельной ХОУ. В каждой точке линии уровня функция имеет одно и то же значение. Линии уровня описываются уравнением f(x,y)=с, где с – некоторое число. Линий уровня бесконечно много, и через каждую точку области определения можно провести одну из них.  Опр. Поверхностью уровня функции n переменных y=f (  ) называется гиперповерхность в пространстве , в каждой точке которой значение функции постоянно и равно некоторому значению с. Уравнение поверхности уровня: f ()=с. Пример. Построить график функции двух переменных  . .При с=1:  ;  .При с=4:  ;  .При с=9:  ;  .  Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых уменьшается с ростом z. §2. Предел и непрерывность функции многих переменных. Для функций многих переменных определяются те же понятия, что и для функции одной переменной. Например, можно дать определения предела и непрерывности функции. Опр. Число А называется пределом функции двух переменных z=f(x,y) при  ,  и обозначается  , если для любого положительного числа  найдется положительное число  , такое, что если точка  удалена от точки  на расстояние меньше , то величины f(x,y) и А отличаются меньше чем на .Опр. Если функция z=f(x,y) определена в точке и имеет в этой точке предел, равный значению функции  , то она называется непрерывной в данной точке.Пример.  . .§3. Частные производные функции многих переменных. Рассмотрим функцию двух переменных  .Зафиксируем значение одного из ее аргументов, например  , положив  . Тогда функция  есть функция одной переменной  . Пусть она имеет производную в точке  : .Данная производная называется частной производной (или частной производной первого порядка) функции  по в точке  и обозначается:  ;  ;  ;  .Разность  называется частным приращением по и обозначается  : .Учитывая приведенные обозначения, можно записать   .Аналогично определяется  .Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю. При нахождении частной производной по какому-либо аргументу другие аргументы считаются постоянными. Все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной справедливы для частных производных функции многих переменных. Заметим, что частные производные функции являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции. Например, функция имеет четыре частных производных второго порядка, которые обозначаются следующим образом: ;  ; ;  . и  - смешанные частные производные.Пример. Найти частные производные второго порядка для функции  .Решение.  ,  . ,  . ,  . Задание. 1. Найти частные производные второго порядка для функций  ,  ;2. Для функции  доказать, что  .Полный дифференциал функции многих переменных. При одновременном изменении величин х и у функция изменится на величину  , называемую полным приращением функции zв точке . Так же, как и в случае функции одной переменной, возникает задача о приближенной замене приращения  на линейную функцию от  и  . Роль линейного приближения выполняет полный дифференциал функции: Полный дифференциал второго порядка:  =  =  . =.В общем виде полный дифференциал п-го порядка имеет вид:  Производная по направлению. Градиент.  Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки M(x,y) и  - некоторое направление, задаваемое единичным вектором  . Координаты единичного вектора выражаются через косинусы углов, образуемых вектором и осями координат и называемых направляющими косинусами: , .При перемещении точки M(x,y) в данном направлении l в точку  функция z получит приращение  ,называемое приращением функции в данном направлении l.     Е  сли ММ1=∆l, то   . Т    огда  .О                    пр. Производной  функции z=f(x,y) по направлению называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения ∆l при стремлении последней к нулю: .Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении. Очевидно, что частные производные  и  представляют собой производные по направлениям, параллельным осям Oxи Oy. Нетрудно показать, что  .Пример. Вычислить производную функции  в точке (1;1) по направлению  .Опр. Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор с координатами, равными частным производным:  .Рассмотрим скалярное произведение векторов и : Легко видеть, что  , т.е. производная по направлению равна скалярному произведению градиента и единичного вектора направления .Поскольку  , то скалярное произведение максимально, когда векторы одинаково направлены. Таким образом, градиент функции в точке задает направление наискорейшего возрастания функции в этой точке, а модуль градиента равен максимальной скорости роста функции.Зная градиент функции, можно локально строить линии уровня функции. Теорема. Пусть задана дифференцируемая функция z=f(x,y) и в точке  градиент функции не равен нулю:  . Тогда градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.Таким образом, если, начиная с некоторой точки, строить в близких точках градиент функции и малую часть перпендикулярной ему линии уровня, то можно (с некоторой погрешностью) построить линии уровня. Локальный экстремум функции двух переменных Пусть функция  определена и непрерывна в некоторой окрестности точки  .Опр. Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность точки  , в которой для любой точки  выполняется неравенство: .Аналогично вводится понятие локального минимума. Теорема (необходимое условие локального экстремума). Для того, чтобы дифференцируемая функция имела локальный экстремум в точке , необходимо, чтобы все ее частные производные первого порядка в этой точке были равны нулю: Итак, точками возможного наличия экстремума являются те точки, в которых функция дифференцируема, а ее градиент равен 0:  . Как и в случае функции одной переменной, такие точки называются стационарными.Пример.  . |