14 Функции многих переменных. Функции многих переменных понятие функции многих переменных
![]()
|
Функции многих переменных §1. Понятие функции многих переменных. Пусть имеется n переменных величин ![]() ![]() ![]() Пусть даны множества ![]() ![]() Опр. Если каждой точке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В случае n=2 вместо ![]() z=f(x,y). Например, ![]() ![]() ![]() ![]() Опр. Графиком функции n переменных называется n-мерная гиперповерхность в пространстве ![]() ![]() Например, графиком функции двух переменных z=f(x,y) является поверхность в трехмерном пространстве, каждая точка которой задается координатами (x,y,z), где ![]() ![]() ![]() Поскольку график функции трех и более переменных изобразить не представляется возможным, в основном мы будем (для наглядности) рассматривать функции двух переменных. Построение графиков функций двух переменных является довольно сложной задачей. Существенную помощь в ее решении может оказать построение так называемых линий уровня. Опр. Линией уровня функции двух переменных z=f(x,y) называется множество точек плоскости ХОУ, являющихся проекцией сечения графика функции плоскостью, параллельной ХОУ. В каждой точке линии уровня функция имеет одно и то же значение. Линии уровня описываются уравнением f(x,y)=с, где с – некоторое число. Линий уровня бесконечно много, и через каждую точку области определения можно провести одну из них. ![]() Опр. Поверхностью уровня функции n переменных y=f ( ![]() ![]() ![]() Пример. Построить график функции двух переменных ![]() ![]() При с=1: ![]() ![]() При с=4: ![]() ![]() При с=9: ![]() ![]() ![]() ![]() Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых уменьшается с ростом z. §2. Предел и непрерывность функции многих переменных. Для функций многих переменных определяются те же понятия, что и для функции одной переменной. Например, можно дать определения предела и непрерывности функции. Опр. Число А называется пределом функции двух переменных z=f(x,y) при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Опр. Если функция z=f(x,y) определена в точке ![]() ![]() Пример. ![]() ![]() §3. Частные производные функции многих переменных. Рассмотрим функцию двух переменных ![]() Зафиксируем значение одного из ее аргументов, например ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Данная производная называется частной производной (или частной производной первого порядка) функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Разность ![]() ![]() ![]() ![]() Учитывая приведенные обозначения, можно записать ![]() ![]() Аналогично определяется ![]() Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю. При нахождении частной производной по какому-либо аргументу другие аргументы считаются постоянными. Все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной справедливы для частных производных функции многих переменных. Заметим, что частные производные функции являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции. Например, функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Найти частные производные второго порядка для функции ![]() Решение. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание. 1. Найти частные производные второго порядка для функций ![]() ![]() 2. Для функции ![]() ![]() Полный дифференциал функции многих переменных. При одновременном изменении величин х и у функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Полный дифференциал второго порядка: ![]() = ![]() = ![]() ![]() ![]() В общем виде полный дифференциал п-го порядка имеет вид: ![]() Производная по направлению. Градиент. ![]() Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки M(x,y) и ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При перемещении точки M(x,y) в данном направлении l в точку ![]() ![]() называемое приращением функции в данном направлении l. ![]() ![]() ![]() ![]() Е ![]() ![]() ![]() Т ![]() ![]() ![]() ![]() О ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении. Очевидно, что частные производные ![]() ![]() ![]() Пример. Вычислить производную функции ![]() ![]() Опр. Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор с координатами, равными частным производным: ![]() Рассмотрим скалярное произведение векторов ![]() ![]() ![]() Легко видеть, что ![]() ![]() Поскольку ![]() Зная градиент функции, можно локально строить линии уровня функции. Теорема. Пусть задана дифференцируемая функция z=f(x,y) и в точке ![]() ![]() Таким образом, если, начиная с некоторой точки, строить в близких точках градиент функции и малую часть перпендикулярной ему линии уровня, то можно (с некоторой погрешностью) построить линии уровня. Локальный экстремум функции двух переменных Пусть функция ![]() ![]() Опр. Точка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично вводится понятие локального минимума. Теорема (необходимое условие локального экстремума). Для того, чтобы дифференцируемая функция ![]() ![]() ![]() Итак, точками возможного наличия экстремума являются те точки, в которых функция дифференцируема, а ее градиент равен 0: ![]() Пример. ![]() |