httpsnewlms.magtu.rupluginfile.php1983690mod_resourcecontent2ИДЗ. Идз. Случайные величины

• Название: Идз. Случайные величины
• Дата: 07.04.2023
• Размер: 1.22 Mb.
• Имя файла: httpsnewlms.magtu.rupluginfile.php1983690mod_resourcecontent2ИДЗ.pdf
• Тип: Закон; #1044240
• страница: 1 из 3

ИДЗ. Случайные величины
Вариант 1
1.
Мяч бросается в корзину до первого попадания, но число бросков не больше 6. Составьте ряд распределения числа бросков, если вероятность попадания при каждом броске мяча в корзину 𝑝 = 0,3. Составьте и постройте функцию распределения.
2.
Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Составьте и постройте функцию распределения.
𝑥
𝑖
3 5
7 9
𝑝
𝑖
0,3 0,4
а
0,1
3.
Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 2;
(𝑥 − 2)
2
, 2 ≤ 𝑥 ≤ 3;
1, 𝑥 > 3;
б) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
1 2
(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
;
1, 𝑥 >
𝜋
2
4.
Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {
𝑎(1 − |𝑥|), |𝑥| ≤ 1;
0, |𝑥| > 1.
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 = 0,2 и 𝜎 = 0,1. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 0,1. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,99 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 =
{−∞ < 𝑥 < ∞, −1 ≤ 𝑦 ≤ 3} .
X
Y
1 2
3 4
-2 0,03 0,02 0,06 0,04 0
0,03 0,10 0,10 0,09 2
0,05 0,08 0,20 0,20

Вариант 2
1.
Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых вероятность попадания герба 𝑝 = 0,5. Составить ряд распределения числа появлений герба. Составьте и постройте функцию распределения.
2.
Задан ряд распределения случайной величины Х. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
1 2
5 7
𝑝
𝑖
0,1
а
0,4 0,3
3.
Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
2𝑥
2
− 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1;
1, 𝑥 > 1;
б) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
sin 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
;
1, 𝑥 >
𝜋
2
4.
Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {
0, |𝑥| ≤ 2;
𝑎
√4 − 𝑥
2
, |𝑥| > 2.
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 = 0,2 и 𝜎 = 0,01. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 0,1. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,998 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 =
{−1 ≤ 𝑥 ≤ 0; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2}.
X
Y
-2
-1 0
1
-1 0,02 0,05 0,04 0,10 0
0,03 0,08 0,05 0,20 2
0,02 0,05 0,06 0,30

Вариант 3
1. Производятся последовательные испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, когда предыдущий оказался надежным. Составьте ряд распределения числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого прибора 𝑝 = 0,9. Составьте и постройте функцию распределения.
2. Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
10 12 15 20
𝑝
𝑖
0,2 0,4
а
0,1
3. Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
1 3
(𝑥
2
− 𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 3;
1, 𝑥 ≥ 3.
б) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < −
𝜋
2
;
cos 𝑥 , −
𝜋
2
≤ 𝑥 ≤ 0;
1, 𝑥 > 0.
4. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
𝑎𝑥
2
, 0 ≤ 𝑥 < 2;
𝑎(4 − 𝑥)
2
, 2 ≤ 𝑥 ≤ 4;
0, 𝑥 > 4.
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 = 0,3 и 𝜎 = 0,1. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 0,1. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,92 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 =
{−1 ≤ 𝑥 ≤ 3; 2 ≤ 𝑦 ≤ 6}.
X
Y
-2 0
2 4
1 0,03 0,03 0,05 0,15 3
0,04 0,07 0,20 0,08 5
0,02 0,10 0,03 0,20

Вариант 4
1. Независимые опыты продолжаются до первого положительного исхода, после чего прекращаются. Составьте ряд распределения числа опытов, если вероятность положительного исхода при каждом опыте равна 0,6. Составьте и постройте функцию распределения.
2. Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
4 6
10 12
𝑝
𝑖
0,3
а
0,2 0,3
3. Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
1 3
(𝑥
2
− 𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 3;
1, 𝑥 ≥ 3.
б) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < −
𝜋
2
;
cos 𝑥 , −
𝜋
2
≤ 𝑥 ≤ 0;
1, 𝑥 > 0.
4. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {
𝑎 𝑐𝑜𝑠
2
𝑥, |𝑥| ≤
𝜋
2
;
0, |𝑥| >
𝜋
2
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 = 0,2 и 𝜎 = 0,1. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 0,15. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,97 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 =
{0 ≤ 𝑥 ≤ 4; −1 ≤ 𝑦 ≤ 3}.
X
Y
0 2
4 6
0 0,05 0,03 0,06 0,05 2
0,07 0,10 0,20 0,06 4
0,08 0,07 0,09 0,14

Вариант 5
1. Производятся испытания на надежность шести изделий. Вероятность выдержать испытания для каждого изделия равна 0,3. Составьте ряд распределения числа изделий, выдержавших испытания.
Составьте и постройте функцию распределения.
2. Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
2 3
6 7
𝑝
𝑖
0,1 0,3 0,5
а
3. Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 2;
0,25(𝑥 − 2)
2
, 2 ≤ 𝑥 ≤ 4;
1, 𝑥 > 4.
б) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
1 2
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋;
1, 𝑥 > 𝜋.
4. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
𝑎𝑥
2
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3;
0, 𝑥 > 3.
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 =
0,2 и 𝜎 = 0,1. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 0,1. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,94 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 = {−1 ≤ 𝑥 ≤ 2; 2 ≤ 𝑦 ≤
3}.
X
Y
-2
-1 0
1 1
0,02 0,04 0,02 0,04 2
0,08 0,05 0,07 0,20 3
0,03 0,10 0,20 0,15

Вариант 6
1. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 5 неисправных. Из партии выбрано 4 аппарата. Составьте ряд распределения числа неисправных аппаратов среди отобранных. Составьте и постройте функцию распределения.
2. Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
2 4
8 10
𝑝
𝑖
а
0,3 0,3 0,3
3. Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
𝑥(2 − 𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 1;
1, 𝑥 > 1.
б) 𝐹(𝑥) =
{
0, 𝑥 < −
𝜋
2
;
1 2
(1 + sin 𝑥), −
𝜋
2
≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
;
1, 𝑥 >
𝜋
2
4. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {
𝑎 𝑐𝑜𝑠2𝑥, |𝑥| ≤
𝜋
4
;
0, |𝑥| >
𝜋
4
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 = 10 и 𝜎 = 0,1. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 0,1. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,98 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 =
{0 ≤ 𝑥 ≤ 3; 1 ≤ 𝑦 ≤ 2}.
X
Y
0 2
4 6
1 0,02 0,05 0,15 0,10 2
0,10 0,08 0,10 0,06 3
0,05 0,04 0,20 0,05

Вариант 7
1. Составьте ряд распределения суммы очков, выпадающих при бросании игральных кубиков. Составьте и постройте функцию распределения.
2. Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
9 11 13 15
𝑝
𝑖
0,3 0,3
а
0,2
3. Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 ≤ −1;
1 4
(𝑥 + 1)
2
, − 1 < 𝑥 ≤ 1;
1, 𝑥 > 1.
б) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 ≤ 0;
1 −
1 2
𝑒
−3𝑥
, 𝑥 > 0.
4. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
𝑎𝑥
2
, 0 ≤ 𝑥 < 1;
𝑎(2 − 𝑥)
2
, 1 ≤ 𝑥 ≤ 2;
0, 𝑥 > 2.
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 = 0,2 и 𝜎 = 0,01. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 0,5. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,99 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 =
{−∞ < 𝑥 < +∞; 3 ≤ 𝑦 ≤ 5}.
X
Y
0 1
2 3
-2 0,04 0,04 0,06 0,07 2
0,03 0,08 0,09 0,10 4
0,05 0,09 0,15 0,20

Вариант 8
1. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,6. Стрелок стреляет по мишени до первого промаха, но число выстрелов не более 6. Составьте ряд распределения числа сделанных выстрелов. Составьте и постройте функцию распределения.
2. Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
6 9
15 16
𝑝
𝑖
0,6 0,2 0,1
а
3. Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 3;
(𝑥 − 3)
2
, 3 ≤ 𝑥 ≤ 4;
1, 𝑥 > 4.
б) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 ≤ 0;
1 − 𝑒
−2𝑥
, 𝑥 > 0.
4. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
𝑎 sin 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋;
0, 𝑥 > 𝜋.
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 = −10 и 𝜎 = 5. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 10,5. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,96 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 =
{0 ≤ 𝑥 ≤ 2; 0 ≤ 𝑦 ≤ 3}.
X
Y
-2 0
2 4
-1 0,03 0,04 0,06 0,08 0
0,05 0,06 0,09 0,10 2
0,06 0,08 0,15 0,20

Вариант 9
1. Стрелок ведет стрельбу по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна
0,2. Составьте ряд распределения числа попаданий в ряд при трех выстрелах. Составьте и постройте функцию распределения.
2. Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
4 6
7 9
𝑝
𝑖
0,1
а
0,2 0,1
3. Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.