httpsnewlms.magtu.rupluginfile.php1983690mod_resourcecontent2ИДЗ. Идз. Случайные величины

• Название: Идз. Случайные величины
• Дата: 07.04.2023
• Размер: 1.22 Mb.
• Имя файла: httpsnewlms.magtu.rupluginfile.php1983690mod_resourcecontent2ИДЗ.pdf
• Тип: Закон; #1044240
• страница: 2 из 3

а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
2 3
𝑥 −
1 9
𝑥
2
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3;
1, 𝑥 > 3.
б) 𝐹(𝑥) =
{
0, 𝑥 < −
𝜋
12
;
1 2
(1 + 𝑠𝑖𝑛 6𝑥), −
𝜋
12
≤ 𝑥 ≤
𝜋
12
;
1, 𝑥 >
𝜋
12
4. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 1;
𝑎 − 𝑥, 1 ≤ 𝑥 ≤ 2;
0, 𝑥 > 2.
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 = 0,2 и 𝜎 = 0,1. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 0,02. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,97 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 =
{−1 ≤ 𝑥 ≤ 4; 2 ≤ 𝑦 ≤ 3}.
X
Y
0 2
4 6
0 0,08 0,10 0,06 0,03 1
0,10 0,15 0,09 0,05 2
0,09 0,12 0,07 0,08

Вариант 10
1. Испытуемый прибор состоит из трех малонадежных элементов. Отказы элементов за некоторое время Т независимы, а их вероятности соответственно 𝑝
1
= 0,1; 𝑝
2
= 0,2; 𝑝
3
=
0,3. Составьте ряд распределения числа отказавших за время Т элементов.Составьте и постройте функцию распределения.
2. Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
3 4
4,5 5
𝑝
𝑖
0,1 0,3
а
0,4
3. Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 2;
(𝑥 − 2)
2
, 2 ≤ 𝑥 ≤ 3;
1, 𝑥 > 3.
б) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
1 2
−
1 2
𝑐𝑜𝑠6𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
6
;
1, 𝑥 >
𝜋
6
4. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {
𝑎
𝑥
4
, 𝑥 ≥ 3;
0, 𝑥 < 3.
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 = 0 и 𝜎 = 0,01. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 0,1. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,92 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 =
{0 ≤ 𝑥 ≤ 2; 0 ≤ 𝑦 ≤ 3}.
X
Y
-1 1
3 5
-1 0,04 0,10 0,09 0,07 0
0,05 0,08 0,10 0,06 2
0,06 0,09 0,20 0,06

Вариант 11
1. Производится набрасывание колец на колышек до первого попадания либо до полного израсходования всех колец, кисло которых равно 5. Составьте ряд распределения числа брошенных колец, если вероятность набрасывания каждого кольца равна 0,2. Составьте и постройте функцию распределения.
2. Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
5 6
7 9
𝑝
𝑖
а
0,15 0,25 0,2
3. Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < −1;
(𝑥 + 1)
2
, −1 ≤ 𝑥 ≤ 0;
1, 𝑥 > 0.
б) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
1 − 𝑒
𝑥
2
, 𝑥 ≥ 0.
4. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {
𝑎 (1 −
𝑥
3
) ,
0 ≤ 𝑥 ≤ 3;
0, 𝑥 ∉ [0; 3].
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 = 40 и 𝜎 = 30. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 20. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,996 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 =
{1 ≤ 𝑥 ≤ 5; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2}.
X
Y
0 1
2 3
0 0,04 0,09 0,20 0,06 2
0,04 0,08 0,10 0,08 4
0,05 0,07 0,10 0,09

Вариант 12
1. Составьте ряд распределения числа очков, выбитых стрелком при 4 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3; за каждое попадание стрелок получает 5 очков, за каждый промах у него вычитается 2 очка. Составьте и постройте функцию распределения.
2. Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
1 3
5 7
𝑝
𝑖
0,1 0,2 0,45
а
3. Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < −2;
2 3
+
1 3
𝑥, − 2 ≤ 𝑥 ≤ 1;
1, 𝑥 > 1.
б) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
1 2
(1 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
4
;
1, 𝑥 >
𝜋
4
4. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {
𝑎
√1 − 𝑥
2
, |𝑥| < 1;
0, |𝑥| ≥ 1.
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 = 0 и 𝜎 = 0,06. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 0,1. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,97 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 =
{−∞ < 𝑥 < +∞; 0 ≤ 𝑦 ≤ 4}.
X
Y
1 2
3 4
-1 0,02 0,03 0,05 0,05 1
0,04 0,09 0,10 0,09 3
0,05 0,07 0,20 0,20

Вариант 13
1. В партии из пяти изделий одно бракованное. Чтобы его обнаружить, выбирают наугад одно изделие за другим и каждое взятое изделие проверяют. Составьте ряд распределения числа проверенных изделий. Составьте и постройте функцию распределения.
2. Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
1 4
7 10
𝑝
𝑖
0,3 0,4
а
0,1
3. Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 3;
(𝑥 − 3)
2
, 3 ≤ 𝑥 ≤ 4;
1, 𝑥 > 4.
б) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
1 − 𝑐𝑜𝑠
𝑥
2
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋;
1, 𝑥 > 𝜋.
4. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {
𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑥, |𝑥| ≤
𝜋
2
;
0, |𝑥| >
𝜋
2
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 = 0,2 и 𝜎 = 0,05. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 0,01. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,93 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 =
{−∞ < 𝑥 < +∞; 2 ≤ 𝑦 ≤ 4}.
X
Y
-1 0
1 2
1 0,03 0,03 0,05 0,06 3
0,04 0,09 0,10 0,12 5
0,05 0,08 0,15 0,20

Вариант 14
1. Мяч бросается в корзину до первого промаха, число бросков не более 5. Составьте ряд распределения числа бросков, если вероятность попадания мячом в корзину при каждом броске равна 0,4. Составьте и постройте функцию распределения.
2. Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
1 2
5 7
𝑝
𝑖
0,2
а
0,15 0,4
3. Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) =
{
0, 𝑥 <
3√2 2
;
2 −
9
𝑥
2
,
3√2 2
≤ 𝑥 ≤ 3;
1, 𝑥 > 3.
б) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < −
𝜋
4
;
𝑐𝑜𝑠2𝑥, −
𝜋
4
≤ 𝑥 ≤ 0;
1, 𝑥 > 0.
4. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {𝑎
√4 − 𝑥
2
, |𝑥| ≤ 2;
0, |𝑥| > 2.
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами
𝑎 = −40 и 𝜎 = 10. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 12. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,92 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 =
{0 ≤ 𝑥 ≤ 1; 1 ≤ 𝑦 ≤ 3}.
X
Y
-1 0
1 2
0 0,01 0,04 0,03 0,10 1
0,04 0,09 0,06 0,20 3
0,02 0,05 0,06 0,30

Вариант 15
1. Вероятность попадания в цель из орудия при первом выстреле равна 0,1, при втором – 0,4, при третьем – 0,7. Предполагается произвести три выстрела. Составьте ряд распределения числа попаданий в цель. Составьте и постройте функцию распределения.
2. Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
-1 0
1 3
𝑝
𝑖
0,3 0,25
а
0,2
3. Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
1 12
(𝑥
3
+ 2𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 2;
1, 𝑥 > 2.
б) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 ≤ 0;
1 − 𝑒
−4𝑥
, 𝑥 > 0.
4. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {
𝑎(𝑥 − 1)
2
,
1 ≤ 𝑥 ≤ 3;
0, 𝑥 ∉ [1; 3].
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 = 20 и 𝜎 = 30. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 15. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,99 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 =
{0 ≤ 𝑥 ≤ 4; 1 ≤ 𝑦 ≤ 5}.
X
Y
-1 1
3 5
0 0,02 0,01 0,04 0,15 2
0,05 0,08 0,20 0,10 4
0,02 0,10 0,03 0,20

Вариант 16
1. В партии из 21 детали 7 деталей второго сорта, остальные первого. Отобраны случайным образом 4 детали. Составьте ряд распределения числа деталей первого сорта в выборке.
Составьте и постройте функцию распределения.
2. Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
4 7
13 14
𝑝
𝑖
0,5
а
0,2 0,1
3. Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
𝑥
2
(3 − 2𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 1;
1, 𝑥 > 1.
б) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0;
−𝑠𝑖𝑛3𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
;
1, 𝑥 >
𝜋
2
4. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {𝑎
√1 − 𝑥
2
, |𝑥| ≤ 1;
0, |𝑥| > 1.
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 = 0,2 и 𝜎 = 0,05. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 0,06. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,995 среди них была хотя бы одна стандартная?
6.
Закон распределения дискретных случайных величин (𝑋, 𝑌) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции 𝑟
𝑥𝑦
и вероятность попадания случайной величины в область 𝐷 =
{−1 ≤ 𝑥 ≤ 3; 2 ≤ 𝑦 ≤ 5}.
X
Y
-2 0
2 4
2 0,04 0,02 0,05 0,04 4
0,08 0,10 0,20 0,03 6
0,08 0,08 0,10 0,15

Вариант 17
1. Стрельба по цели ведется до первого попадания, после чего прекращается. Составьте ряд распределения числа произведенных выстрелов, если вероятность попадания в цель при каждом выстреле 0,4. Составьте и постройте функцию распределения.
2. Задан ряд распределения случайной величины Х. Найдите коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
𝑥
𝑖
3 5
7 8
𝑝
𝑖
0,2 0,5 0,2
а
3. Непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x). Требуется найти плотность распределения f(x),математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.
а) 𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 2;
(
1 2
𝑥 − 1)
2
, 2 ≤ 𝑥 ≤ 4;
1, 𝑥 > 4.
б) 𝐹(𝑥) = { 𝑒
7𝑥
, 𝑥 ≤ 0;
1, 𝑥 > 0.
4. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр а, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
𝑓(𝑥) = {
𝑎(𝑥 − 2),
2 ≤ 𝑥 ≤ 3;
0, 𝑥 ∉ [2; 3].
5.
Случайное отклонение детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами 𝑎 = 0 и 𝜎 = 0,1. Стандартными являются те детали, для которых отклонение от номинала лежат в интервале (𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼), где 𝛼 = 0,15. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 𝛽 = 0,98 среди них была хотя бы одна стандартная?