эконометрика. Вариант 6. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении фирмы, и выручки от реализации продукции приведены в таблице
![]()
|
Ситуационная (практическая) задача №1 Для изготовления продукции двух видов А и В фирма расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении фирмы, и выручки от реализации продукции приведены в таблице:
Задача фирмы заключается в том, чтобы найти план выпуска, обеспечивающий получение максимальной выручки от реализации готовой продукции. Требуется: Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции и записать ее в форме задачи линейного программирования. Используя графический метод решения, найти отптимальный план выпуска продукции. Составив двойственную задачу к задаче оптимизации выпуска продукции, найти ее оптимальное решение, используя условия «дополняющей нежесткости». Дать экономическую интерпретацию этого решения. Решение: Составим математическую модель задачи. Введем переменные: Пусть ![]() ![]() Используя данные таблицы, определим затраты каждого вида ресурса для выпуска производственной программы ![]() Расход сырья: ![]() Загрузка оборудования: ![]() Трудовые ресурсы: ![]() Задача состоит в нахождении такой допустимой производственной программы ![]() ![]() Построенная математическая модель задачи представляет собой задачу линейного программирования, так как ограничения заданы в виде линейных неравенств, а оптимизируемый показатель (выручка) выражается с помощью линейной функции. Таким образом, математическая модель данной задачи выглядит следующим образом: ![]() Целевая функция прибыли: ![]() Первым шагом в графическом методе решения является построение множества допустимых решений (МДР), для его построения необходимо построить граничные прямые, уравнения которых получаются из неравенств при замене знака «» на «=». Граничные прямые можно построить по двум известным точкам:
На рис. 1 показано МДР. МДР представляет собой четырехугольник OABC. Для нахождения точки максимума целевой функции ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда максимальный доход от реализации изделий А и В составит: ![]() ![]() Рис. 1. Графический метод решения Оптимальная производственная программа состоит в выпуске 72 изделий вида А и 76 изделий вида В. Сформируем задачу, двойственную к задаче расчета оптимальной производственной программы и составим обе группы условий «дополняющей нежесткости». Каждому ресурсному ограничению исходной задачи сопоставляется двойственная переменная (оценка). Так как в нашей задаче рассматриваются три ресурса, то введем для них три оценки, которые обозначим через ![]() ![]() Тогда двойственная задача будет иметь вид: ![]() Найдем предельную эффективность имеющихся у предприятия объемов ресурсов. Допустимые решения ![]() ![]() Для рассматриваемой задачи имеем: ![]() Таким образом, получаем: ![]() В соответствии с вышесказанным найденное оптимальное решение двойственной задачи интерпретируется следующим образом: ![]() ![]() ![]() Выполним проверку оптимальных решений прямой и двойственной задачи подстановкой их в ограничения и целевые функции. Значение целевой функции двойственной задачи составит: ![]() Таким образом, значения целевых функций исходной и двойственной задач совпадают. В итоге получили следующие результаты расчета модели: ![]() Ситуационная (практическая) задача №2 Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном режиме их выполнения приведены в таблицах:
Требуется: С учетом технологической последовательности работ построить сетевой график выполнения этих работ. Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический путь и его продолжительность, указать все возможные критические пути, определить стоимость всего комплекса работ. Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 2 дня. В какую итоговую сумму обойдется фирме ускоренная стройка павильона? Решение: Построение сетевого графика начинается с изображения начального события, которое обозначается цифрой 1, из начального события выпускаются стрелки, соответствующие работам, которым не предшествуют другие работы, в данной задаче начальными работами являются: С, G и V. Все остальные работы в сетевом графике располагаются в зависимости от того, на какие работы они опираются. На рис. 1 приведен сетевой график выполнения работ. ![]() Рис. 1 Рассчитаем временные характеристики сетевого графика: Раннее время наступления i-го события ( ![]() ![]() Таким образом, ранее время наступления конечного события сетевого графика составляет 29 дней, т.е. раньше, чем за 29 дней, торговый павильон не может быть построен. Следовательно, критическое время составляет: ![]() Определим критические пути: Критическое время было найдено по формуле: ![]() Работа D, в свою очередь, опираются на работу В, критическое время найдено по формуле: ![]() ![]() ![]() с критическим временем ![]() Временные характеристики и критические пути указаны на рис. 2. ![]() Рис. 2 Стоимость выполнения всего комплекса работ при нормальном режиме их выполнения: ![]() Необходимо сократить период строительства на 2 дня, т.е. вместо 29 дней построить павильон за 27 дня. Дополнительные затраты на один день ускорения рассчитываются по формуле: ![]() где - плата за ускорение работы; ![]() Результаты расчетов приведены в таблице:
Сокращение срока строительства будем осуществлять путем ускорения работ, входящих в критические пути. При этом необходимо отслеживать вновь появляющиеся критические пути. В данном случае наиболее выгодным вариантом будет ускорение работ B и H, входящих в оба критических пути. Ускорим их на 2 дня. В этом случае также остаются два критических пути ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 3 Стоимость выполнения работ при ускоренном режиме составит: ![]() Результаты: Нормальный срок строительства: Критическое время: ![]() Критические пути: ![]() ![]() Стоимость выполнения работ: 265 млн. руб. Ускоренный срок строительства: Критическое время: ![]() Критические пути: ![]() ![]() Стоимость выполнения работ: 303 млн. руб. Тестовые задания
|