Инженерный бизнес и менеджмент

• Название: Инженерный бизнес и менеджмент
• Дата: 02.10.2022
• Размер: 255.8 Kb.
• Имя файла: DZ_Ekonometrika1.docx
• Тип: Учебный комплекс; #709275
• страница: 2 из 2

Часть 2

Методом наименьших квадратов

^{Теоретическая функция спроса: D(}pᵢ^{) = a}*pᵢ ^{+ b}

Таблица 4 - Расчет оценок параметров



Формулы:





D*(pᵢ) = a* pᵢ + b*- восстановленная функция;

a* = (1/50*52046 – 1/50*26,64 × 1/50*2572) ÷ (1/50*7930400 – (1/50*2572)²) = -0,01;

b* = 26,26 – (-0,01)*2572 = 58,85;



Рисунок 2 - Восстановленная и выборочная функции спроса
Критерии правильности расчётов в МНК:

1. 
   Сумма отклонений между восстановленной и выборочной функцией равно 0:
   

∑ [N*(D(Pi) -D*(Pi))] = 0

2. 
   В столбике [D(pᵢ) - D*(pᵢ)] после проведённых расчетов заметим, что чередование знаков есть (-; +).
   

Критерии выполняются, следовательно, расчёты выполнены правильно.

Точность восстановления

^{Восстановленная функция: D*(}pᵢ^{) = a*}Pᵢ ^{+ b*}

Пример:

1. 
   ^{D*(800) = -0,01*800 + 58,85 = 48,83}
   

Проверка точности восстановления.

Формула:

|(D(pᵢ) – D*(pᵢ))/D(pᵢ)| ×100%

X

Пример:
P(1)=800  Точность восстановления: |(50 –48,83)/50 | ×100% = 2%

P(2)=1000  Точность восстановления: |(49–46,33)/49 | ×100% = 5%

Таблица 5 - проверка точности восстановления

№ п/п	Точность восстановления
1	2%
2	5%
3	7%
4	10%
5	9%
6	2%
7	4%
8	7%
9	6%
10	30%
11	15%
12	14%
13	13%
14	18%
15	10%
16	8%
17	7%
18	14%
19	3%
20	0%
21	38%
22	184%
23	288%

Вывод: В социально-экономических исследованиях точность восстановления не более 10-15% считается хорошей. Наибольшее из хороших значений = 15%.

Построение доверительного интервала

Для получения прогностической функции с учетом погрешностей параметров a и b и восстановленной функции, необходимо построить доверительный интервал.

P (D нижний (pᵢ) < D(pᵢ) < D верхний (pᵢ))

С вероятностью 0,95 (95%) - в интервале, с вероятностью 5 % - вне его.

D нижний (pᵢ) = D*(pᵢ) - δ (pᵢ)

D верхний (pᵢ) = D*(pᵢ) - δ (pᵢ)

Пример:

Для p = 800

D нижний (800) = 48,83 – 1,90 = 44,93

D верхний (800) = 48,83 + 1,90 = 50,73

Для p = 1000

D нижний (1000) = 46,33 – 1,73 = 44,60

D верхний (1000) = 46,33 + 1,73 = 48,06

δ (pᵢ) – погрешность прогноза или полуширина доверительного интервала.

δ (pᵢ) = U(γ) √D(D(pᵢ))

D(D(pᵢ)) = σ² * (1/n + ((Pi - P̅i)² / ∑(Pi - P̅i)²))

Заменим σ² на её оценку (σ*)²

(σ*)² = SS/n

σ^*= √(SS/n) (оценка среднего квадратического отклонения)

δ (pᵢ) = 1,96 × σ* × √(1/n + ((Pi - P̅i)² / ∑(Pi - P̅i)²))

Пример:

δ (800) = 1,96 × 2,97 × √(1/50 + (3139984/ 36394832) ) = 1,90

SS – остаточная сумма квадратов (это естественная характеристика расхождения между исходными и восстановленными значениями).

SS =Nᵢ*∑ (Dᵢ – Dᵢ*)²

SS=1,36+14,28+10,09+43,83+92,86+1,32+4,87+10,66+22,78+57,02+25,09+9,22+23,26+10,76+6,30+6,30+1,61+3,11+4,58+0,24+0,00+2,27+30,43+66,56=442,51

σ^*=√(442,51/50) ≈ 2,98

∑(Pᵢ - P̅ᵢ)² = 36394832
Таблица 6 - Доверительные интервалы

i	D*(Pi)	(Pi - P̅)^2	δ(Pi)	Dнижний(Pi)	Dверхний(Pi)	Количество потребителей
1	48,83	3139984	1,90	46,93	50,73	46-50
2	46,33	2471184	1,73	44,60	48,06	44-48
3	43,82	1882384	1,56	42,26	45,38	42-45
4	41,32	1373584	1,40	39,92	42,72	39-42
5	40,07	1149184	1,32	38,74	41,39	38-41
6	38,81	944784	1,25	37,56	40,06	37-40
7	37,56	760384	1,18	36,38	38,74	36-38
8	36,31	595984	1,11	35,20	37,42	35-37
9	33,80	327184	0,99	32,81	34,80	32-34
10	32,55	222784	0,94	31,61	33,49	31-33
11	27,54	5184	0,83	26,71	28,37	26-28
12	25,04	16384	0,83	24,20	25,87	24-25
13	23,78	51984	0,85	22,93	24,64	22-24
14	21,28	183184	0,92	20,36	22,20	20-22
15	18,77	394384	1,02	17,75	19,80	17-19
16	16,27	685584	1,15	15,12	17,42	15-17
17	15,02	861184	1,22	13,80	16,24	13-16
18	12,51	1272384	1,37	11,15	13,88	11-13
19	8,76	2039184	1,61	7,15	10,36	7--10
20	5,00	2985984	1,86	3,14	6,86	3-6
21	2,49	3717184	2,04	0,46	4,53	0-4
22	-2,52	5419584	2,40	-4,91	-0,12	0
23	-3,77	5895184	2,49	-6,26	-1,28	0

Рассчитаем оптимальную цену при различных уровнях издержек P

Для этого мы должны максимизировать прибыль:









Пример:

P_изд.(100) = (-0,01×800 – 58,85)/(2*(-0,01)) =2399,54руб


Таблица 7 - Сравнение методов расчета оптимальной цены

100	1500	2399,54
300	2000	2499,54
500	2700	2599,54
700	2800	2699,54
1000	2800	2899,54

Вывод: в данной работе была построена выборочная функция спроса и рассчитаны розничные цены, максимизирующие прибыль. Также был построен график, в котором представлены выборочная и восстановленная функции спроса. Методом наименьших квадратов была восстановлена теоретическая функция спроса.


Список литературы:

1. 
   Методическая разработка Л.А. Орловой «Функция спроса и метод наименьших квадратов»
   
2. 
   Орлов А.И. Эконометрика. Учебник. - М.: Экзамен, 2002, 2003, 2004. - 576 с. – главы 2 и 5.