Институциональная экономика вопросы к коллоквиуму
 Скачать 1.28 Mb.
|
|
U (EW ) = (p 1 − π) ∗ u(W 1 ) + (p 2 + π) ∗ u(W 2 ) 8.3 Справедливая премия Указанные выше величины могут быть рассчитаны только для справедливых лотерей, но что де- лать, если лотерея несправедлива (то есть текущее состояние или гарантированный выигрыш ин- дивида не равен ожидаемому выигрышу лотереи)? В таком случае мы можем сделать поправку на величину, называемую справедливой премией (fair premium) и равную разности между началь- ным состоянием и ожидаемым выигрышем: r ∗ = W 0 − EW 9 Отношение к риску Чтобы анализировать поведение индивида, нам нужно сначала понять, как он относится к риску - от этого напрямую зависит, какие из лотерей он предпочтет другим. Определить отношение индивида к риску можно по виду его функции полезности, т.к. он опреде- ляет значения полезности, получаемые индивидом от фиксированных значений и лотерей: (a) Индивид-рискофоб (b) Нейтральный к риску индивид (c) Индивид-рискофил Точки, соответствующие лотереям с выигрышами W 1 и W 2 , находятся на отрезках, соединяющих соответствующие точки на кривой полезности. Мы видим, что для выпуклой функции этот отрезок 10 всегда будет лежать ниже кривой (что говорит о том, что для индивида всегда предпочтительнее получить гарантированно средний выигрыш, чем играть в лотерею, что говорит о его рискофоб- ности), для линейной функции отрезок лежит на кривой (индивиду безразлично, играть в лотерею или нет - он риск-нейтрален), для вогнутой функции - выше кривой (для индивида предпочти- тельней лотерея и он рискофил). Именно по сравнению ожидаемой полезности и полезности от матожидания и определяют характер отношения к риску индивида: • Рискофоб: U (EW ) > E[U |L] • Риск-нейтральный: U (EW ) = E[U |L] • Рискофил: U (EW ) < E[U |L] Мы можем также проследить характер индивида на треугольнике Маршака-Машина. Для этого на нем дополнительно нужно задать кривые постоянного ожидаемого выигрыша, которые задаются похожим образом на кривые безразличия (См. пункт 4): p 1 ∗ W 1 + p 2 ∗ W 2 + p 3 ∗ W 3 = const, p 1 + p 2 + p 3 = 1 p 2 = 1 − p 1 − p 3 =⇒ p 1 ∗ W 1 + (1 − p 1 − p 3 )W 2 + p 3 ∗ W 3 = const =⇒ =⇒ p 3 = const − W 2 W 3 − W 2 + W 2 − W 1 W 3 − W 2 p 1 =⇒ p 3 = const + W 2 − W 1 W 3 − W 2 p 1 Если мы посмотрим на относительное расположение кривых безразличия и кривых постоянного ожидаемого выигрыша (определяемое их углами наклона), мы можем определить отношение к рис- ку индивида. Кривые постоянного ожидаемого выигрыша являются, по сути, аналогом бюджетных линий из общей теории выбора потребителя. (a) Кривые безразличия рискофоба пересекают КПОВ ближе к точкам с высоким p 2 (b) Кривые безразличия рискофила пересекают КПОВ ближе к точкам с низким p 2 Для рискофоба кривые безразличия пересекут КПОВ ближе к началу координат, то есть он пред- почтет из доступных ему лотерей ту, которая ближе всего к гарантированному выигрышу. Для рискофила же точки пересечения будут лежать на отрезке, где p 2 = 0. Учитывая, что p 1 , p 2 и p 3 - обычно вероятности возрастающих по величине выигрышей, точки лежащие на отрезке, соответ- ствуют наиболее рисковым лотереям, где индивид получает либо много, либо мало, но не что-то посередине. 11 10 Мера абсолютной несклонности к риску Арроу-Пратта и функции CARA 10.1 Мера абсолютной несклонности к риску Арроу-Пратта Учитывая, что различные виды отношения к риску соответствуют различным видам кривых без- различия, кажется логичным оценивать численно степень несклонности к риску при помощи второй производной, являющейся мерой выпуклости/вогнутости. Основная проблема данного подхода в том, что мы договорились использовать функции полезно- сти с точностью до аффинного преобразования (то есть a ∗ u(x) + b эквивалентна u(x), при a > 0), поэтому для двух функций полезности, которые на практике будут считаться одинаковыми, зна- чения второй производной будут различны. Поэтому нам необходимо на что-то нормировать эту вторую производную. Если мы посмотрим, как вторая производная изначальной функции полезности соотносится со второй производной аффинного преобразования, мы поймем, на что ее можно нормировать: u 2 (x) = au 1 (x) + b u 2 (x) = au 1 (x) u 2 (x) = au 1 (x) Если мы хотим, чтобы меры соответствовали друг другу, нам достаточно разделить вторую про- изводную на первую: R = u (x) u (x) R 2 = u 2 (x) u 2 (x) = au 1 (x) au 1 (x) = u 1 (x) u 1 (x) = R 1 Функция R A = − u (x) u (x) называется абсолютной мерой несклонности к риску Арроу-Пратта и берется с минусом, чтобы обеспечить ее возрастание вместе с ростом несклонности (т.к. вторая производная тем меньше, чем "линейнее"функция). Учитывая, что первая производная функции полезности всегда больше нуля (она возрастает), мож- но определить, какие значения R A соответствуют различным видам отношения к риску: • Рискофоб: R A > 0 • Риск-нейтральный: R A = 0 • Рискофил: R A < 0 Ранее мы обсуждали, что чем больше r (рисковая премия), тем больше несклонность индивида к риску, то же верно и для R A . Более того, эти две величины напрямую зависимы друг от друга по формуле: r = 1 2 R A (w)σ 2 , где σ 2 - дисперсия лотереи. 12 10.2 Constant Absolute Risk Aversion В общем виде функция R A зависит от значения W , однако на практике достаточно тяжело опреде- лить влияние богатства индивида на его склонность к риску: с одной стороны, чем богаче индивид, тем несущественней дял него небольшие потери, и он может начать вести себя более рисково, чем если бы его состояние было меньше. С другой, ожидаемый выигрыш при увеличении богатства тоже становится менее ощутимым, что может сделать его относительно "не стоящим риска". Поэтому для анализа мы часто хотим предположить, что богатство не влияет на склонность к риску, и для этого нам нужны соответствующие функции, которые можно вывести напрямую из определения R A , приравняв его к константе и проинтегрировав обе части: − u (x) u (x) = const = R A d ln u (x) = −R A ln u (x) = −R A w + C u (x) = Ce −R A w u(x) = − C R A e −R A w + C 1 C учетом того, что мы рассматриваем функции с точностью до аффинного преобразования: u(x) = −e −R A w Данный вид функций называется функциями CARA (Constant Absolute Risk Aversion) и они позволяют исследовать предпочтения индивида без учета ее богатства до участия в лотерее. 11 Спрос на страхование 11.1 Модель спроса на страхование В предположении о том, что сумма потерь при неудачном исходе известна и плата за страхов- ку составляет процент от суммы, мы хотим оценить, на сколько застрахуется индивид-рискофоб, максимизирующий свою ожидаемую полезность: max q U (L) = π ∗ u(W 0 − L − pq + q) + (1 − π) ∗ u(W 0 − pq), где W 0 - начальное богатство индивида, L - его потери при страховом случае, p - ставка оплаты за страховку (в процентах от покрытия), q - размер покрытия, π - вероятность страхового случая. Если мы решим это через первую производную: π ∗ (1 − p) ∗ u (W 0 − L − pq + q) − (1 − π) ∗ p ∗ u (W 0 − pq) = 0 1 − π π ∗ u (W 0 − pq) u (W 0 − L − pq + q) = 1 − p p 13 Рассмотрим эту задачу с точки зрения страховщика. Если рынок конкурентен, то страховщик будет получать нулевую экономическую прибыль (т.к. любая попытка получить сверхприбыль приведет к проигрышу в конкурентной борьбе). Поэтому мы можем найти ставку p, которую возьмет стра- ховщик за свой риск, если приравняем его ожидаемую прибыль к нулю: E[π] = (1 − π)pq + π(pq − q) = 0 =⇒ p = π То есть на справедливом рынке страховщик запросит ставку, равную вероятности страхового слу- чая. Если мы подставим это в полученное ранее уравнение, мы можем найти сумму страхования: 1 − π π ∗ u (W 0 − pq) u (W 0 − L − pq + q) = 1 − π π u (W 0 − pq) = u (W 0 − L − pq + q) Учитывая, что мы говорим о рискофобе, u’(x) будет монотонной, и поэтому равенство значений функции эквивалентно равенству аргументов: u (W 0 − pq) = u (W 0 − L − pq + q) =⇒ W 0 − pq = W 0 − L − pq + q =⇒ q = L На справедливом рынке индивид будет страховаться ровно на сумму потери, что эквивалентно тому, что заплатит r ∗ (fair premium) - можно проверить, что r ∗ = πL, посчитав средний выигрыш без страхования и далее вычислив по формуле. В случае, если рынок неконкурентен, монополист или олигополисты смогут увеличить цену, и p > π. В таком случае: u (W 0 − pq) u (W 0 − L − pq + q) < 1 Т.к. u’(x) монотонно убывает: u (W 0 − pq) < u (W 0 − L − pq + q) =⇒ W 0 − pq > W 0 − L − pq + q =⇒ q < L То есть на несправедливом рынке индивид-рискофоб не будет страховаться на всю сумму. Неравенство вероятности страхового случая и страховой ставки может возникнуть не только из-за того, что рынок несправедлив, но и просто из-за того, что страховщик и клиент по-разному оцени- вают вероятности наступления страхового случая, поэтому клиент в своем расчете оптимального q использует одну π, а страховщик приравнивает ставку к другому π . 11.2 Сравнительная статика То, как изменение различных параметров модели влияет на выбор индивида, проще всего изучать, применяя такую концепцию, как условные блага. По сути, если мы знаем исходы в лотерее с 2 исходами, то мы можем заменить функцию u(x) на u W g и u W b , то есть, полезность при хорошем исходе и плохом исходе. Тогда в координатах W g и W b можно изобразить лотерею со страховкой следующим образом: 14 Лотерея в координатах W g и W b . Обратите внимание, что наклон кривой безразличия в пересечении с W g = W b равен 1−π π Далее мы будем рассматривать все изменения для справедливого страхования, т.к. для несправед- ливого результаты будут качественно теми же. 11.2.1 Изменение π В случае повышения вероятности страхового случая (при понижении эффекты будут ровно обрат- ными), кривая безразличия и линия ожидаемого выигрыша станут более пологими (тангенс угла 1−π π уменьшается с ростом π). При том, что точка, обозначающая исходы лотереи, неизменна, r∗, отражающий плату за страхование при справедливом страховании, увеличится: Лотерея до и после роста π. 11.2.2 Изменение несклонности к риску Мы уже разобрали выше, что при росте несклонности к риску кривые безразличия становятся более выпуклыми. При этом легко показать, что r∗ вырастет: 15 Лотерея до и после роста несклонности к риску. 11.2.3 Изменение первоначального богатства В случае роста первоначального богатства, точка, обозначающая исходы, сдвинется вправо и вверх на одно и то же значение. Итоговое изменение спроса будет зависеть от того, как изменяется мера Арроу-Пратта у индивида - если она постоянна, то значение r∗ не изменится, иначе оно может упасть до некоторого значения r 2 (некорректно называть его справедливой премией, т.к. оно не будет больше ей равно) при убывающей мере и увеличиться при возрастающей: При постоянной R A премия не поменяется. 16 При возрастающей R A премия возрастет. При уменьшающейся R A премия падает. Обратите внимание, что наклон КПОВ не поменялся, т.к. вероятности выигрышей все те же. По- этому та сумма, которую платит индивид, меняется - наклон КПОВ не поменялся, в то время как наклон кривой безразличия в W g = W b - поменялся. 11.2.4 Эффект от изменения цены Довольно очевидно, что спрос на страхование будет изменятся в обратную сторону от изменения цены (выше мы показали, что при p > π индивид будет страховаться на q < L). При этом в изменении спроса можно выделить эффекты дохода и замещения. Эффект дохода будет зависеть от убывания/возрастания R A . При возрастающем R A эффект дохода будет меньше нуля, т.к. при росте цены и падении его относительного богатства он станет более рисковым, поэтому спрос понизится. 12 Обмен в условиях неопределенности. Индивидуальные и системные риски. Часто мы сталкиваемся с ситуацией, когда какое-то состояние мира по-разному влияет на разных индивидов. В частности, в одном состоянии мира Алиса может не понести потери, а Боб - поне- сти, а наоборот. Если индивиды при этом несклонны к риску, они могут разделить риск между 17 собой, чтобы вне зависимости от наступившего состояния мира они смогли максимизировать свою полезность. Риски при этом разделяют на индивидуальные и системные. Индивидуальный риск - это риск, который несет индивид независимо от других индивидов. Если индивидуальные риски двух индивидов антикоррелированны (то есть, когда выигрывает один, проигрывает другой, и наоборот), то они могут успешно застраховать друг друга. Если же их риски независимы или, тем более, коррелированны, возникает системный риск. Системный риск - риск, возникающий, когда возможна ситуация, что все индивиды в экономике проиграют одновременно (или, если быть точнее, проигрывает достаточно индивидов, чтобы стра- ховое покрытие всех стало невозможным). Допустим, Алиса и Боб выигрывают или проигрывают независимо друг от друга с вероятностью π = 1 2 . В таком случае, с вероятностью 1 4 они оба проиг- рают и не смогут выплатить друг другу страховое покрытие. Другими словами, системные риски возникают, когда в зависимости от исхода может меняться общественное благосостояние. Мы можем промоделировать взаимодействие двух индивидов, которые хотят заключить страхо- вой контракт при помощи так называемого прямоугольника Эджворта. Его стороны отвечают за различные исходы, и на них отложены суммы, которые при каждом исходе получат индивиды (соответственно, длина стороны - суммарное богатство индивидов при данном исходе). В этом пря- моугольнике мы можем рисовать лотереи, в которые играют индивиды так же, как и в пространстве условных благ (см. пункт 11.2). Рассмотрим сначала случай, когда риски индивидов антикоррелированны и симметричны (то есть, нет системного риска): Контрактная линия - линия, на которой лежат все точки выигрышей, оптимальные и для Алисы, и для Боба, здесь совпадает с диагональю. Но это верно только в случае отсутствия системных рисков. В данном случае Алиса и Боб сойдутся на какой-то точке на диагонали между их КПОВ. Сама по себе точка зависит от их силы торга (bargaining power), которая, в свою очередь, зависит от того, как соотносятся их меры склонности к риску. В данном случае более рискофобен Боб, поэтому точка будет ближе к его КПОВ. Если бы у Алисы и Боба функции полезности в точности совпали, то и совпали бы КПОВ - тогда точка пересечения КПОВ и диагонали была бы единственный возможной точкой контракта. Теперь рассмотрим случай, когда возможен системный риск. В данном случае прямоугольник Эд- жорта уже не будет квадратом: 18 Теперь контрактная линия уже не лежит на диагонали (т.к. у каждого из индивидов она своя). Крайние точки, являющиеся точками касания кривой безразличия Алисы с КПОВ Боба и кривой безразличия Боба с КПОВ Алисы, будут точками, в которых будут самыми большими выигрыши Алисы или Боба, а сама кривая контрактов будет находиться между ними (и в общем случае не будет прямой). Заметим, что эти точки не находятся на диагоналях Алисы или Боба - это означает, что они не могут застраховаться полностью, что и определяет системный риск. 13 Статические биматричные игры. Наилучшая реакция. Игра - это некоторая модель взаимодействия двух или более индивидов. Игра представляет собой набор из нескольких множеств: G = {P, S, U }, где P = {p 1 , p 2 , p 3 ...} - множество игроков, S = {{S 1 p 1 , S 2 p 1 , ...}, ...} - семейство множеств стратегий игроков, U = {U p 1 , ...} - множество функций полезности, или функций выигрыша, игроков. Игры делятся на статические и динамические - где в первых обычно всего один ход (и игроки ходят одновременно), а во вторых много (и игроки могут ходить как последовательно, так и одновремен- но). Нас интересуют статические. Поскольку в статических играх всего один ход (можно при этом сказать, что ход и стратегия эквивалентны), их можно представить в виде матрицы исходов в зависимости от стратегий игроков: H H H H H P 1 P 2 S 2,1 S 2,2 S 1,1 U 1 1,1 , U 2 1,1 U 1 1,2 , U 2 1,2 S 1,2 U 1 2,1 , U 2 2,1 U 1 2,2 , U 2 2,2 Мы хотим не только уметь записывать статические игры, но и решать их. Для этого мы можем определить так называемую лучшую реакцию каждого игрокв на действия другого игрока. Возь- мем для примера следующую игру: H H H H H P 1 P 2 L R T 3;5 2;4 B 5;3 3;2 Для каждого игрока и каждой стратегии его оппонента мы можем отметить его стратегию, при- носящую ему наибольший выигрыш при данной стратегии оппонента: 19 H H H H H P 1 P 2 L R T 3;5* 2;4 B *5;3* *3;2 Как мы видим, если второй игрок играет стратегию L, наилучшей реакцией первого игрока будет играть стратегию B, и если он играет стратегию R, то лучшей реакцией все равно будет B. Если первый игрок играет стратегию T , наилучшей реакцией второго игрока будет играть страте- гию L, и если он играет стратегию B, то лучшей реакцией все равно будет L. В данном случае игроки понимают, что лучшей стратегией первого игрока при любом раскладе будет играть B, а второго - L, поэтому они будут играть эти стратегии. Такие стратегии называются доминирующими, а набор стратегий {B, L} называется равновесием в доминирующих стратегиях. 14 Доминирующие стратегии и доминируемые стратегии. По- следовательное элиминирование строго доминируемых стра- тегий. |