Институциональная экономика вопросы к коллоквиуму
 Скачать 1.28 Mb.
|
|
Институциональная экономика - вопросы к коллоквиуму 29.10.2018 1 Выбор в условиях неопределенности. Санкт-Петербургский парадокс. 1.1 Неопределенность Неопределенность возникает как следствие некоторых факторов, присутствующих в реальной эко- номике: 1. Характеристики товаров нельзя определить в момент покупки. Товары в целом делятся на 3 класса, два из которых "неопределенные": • Search goods - блага, качество которых легко определить до покупки. С точки зрения ситуации неопределенности нас они не интересуют. • Experience goods - блага, качество которых можно определить только из использова- ния, соответственно, появляется степень неопределенности. Пример: подержанные авто- мобили. • Credence goods - блага, характеристики которых нельзя точно определить даже спу- стя некоторое время использования. К ним, например, относится образование, ремонт автомобилей, многие медицинские услуги. Неопределенность в данном случае наиболее высока. 2. На поведение индивида может влиять состояние мира или "природы на которое он не может повлиять. Примеры: различные регуляторные и конъюнктурные изменения, войны и ката- клизмы. 3. На поведение индивида может влиять поведение его контрагентов, которое в общем случае непредсказуемо. Например, инвесторы не могут определенно знать, как себя поведет топ- менеджмент компании, и путем голосования акционеров пытается предотвратить недобросо- вестное поведение со стороны топ-менеджеров. По сути, ситуацию, когда индивид сталкивается с неопределенностью, можно смоделировать при помощи лотереи. Формально, лотерея - это просто некоторая случайная величина. Если она дис- кретная, то можно ее обозначить как L = p 1 ◦ W 1 ⊕ p 2 ◦ W 2 ⊕ ... ⊕ p n ◦ W n , где p i - вероятность i-го исхода, W i - выигрыш при i-ом исходе. Лотереи делятся на простые и сложные (такие, в которых выигрышем являются другие лотереи), однако это разделение доста- точно техническое, ведь любую сложную лотерею можно свести к простой очевидным образом - умножить вероятность получения приза на вероятность получения лотереи. Формально: L 1 = p 1 ◦ W 1 ⊕ p 2 ◦ W 2 , L 2 = p 3 ◦ W 3 ⊕ p 4 ◦ W 4 , L 3 = p L 1 ◦ L 1 ⊕ p L 2 ◦ L 2 = p 1 ∗ p L 1 ◦ W 1 ⊕ p 2 ∗ p L 1 ◦ W 2 ⊕ p 3 ∗ p L 2 ◦ W 3 ⊕ p 4 ∗ p L 2 ◦ W 4 1 Следует при этом уточнить, что возможность такого сведения является предпосылкой, так как в жизни выбор лотереи индивидом может зависеть, от, например, порядка участия в лотереях. Лотерею можно изобразить как точку в пространстве вероятностей (при этом она обязательно будет лежать на фигуре, задаваемой уравнением p i = 1): (a) Лотерея в пространстве лотерей с 3 исходами (b) Сложная лотерея на симплексе-треугольнике 1.2 Санкт-Петербургский парадокс Чтобы понять предпочтения индивида, мы хотим как-то сравнивать лотереи. Наивный вариант - сравнить их матожидания и предположить, что индивид выберет ту лотерею, где матожидание больше. Однако Санкт-Петербургский парадокс, впервые предложенный Николаем Бернулли, показывает, почему такой способ сравнения лотерей несостоятелен. Представим себе такую игру: игрок подбрасывает монету, и, если выпадает орел, получает 2 рубля, а если выпадает решка, получает шанс подкинуть монету еще раз. Если на второй раз выпадает орел, он получает 4 рубля, а если решка, то еще один бросок, и так далее. Тогда на каждом броске вероятность получить приз равна 1 2 i , a сумма приза 2 i . Посчитаем матожидание выигрыша: E[W ] = 1 2 ∗ 2 + 1 4 ∗ 4 + ... = 1 + 1 + 1 + 1... = ∞ Парадокс заключается в том, что по нашему предположению индивиды должны предпочесть дан- ную лотерею любой лотерее (случай, когда индивид получает фиксированную сумму, можно тоже считать лотереей с одним исходом). Однако на практике индивиды были не готовы платить боль- шую сумму за участие в этой игре, несмотря на то, что ожидаемый выигрыш превышает любую возможную сумму денег. Данный парадокс показывает, что для сравнения лотерей необходимо применять более тонкий подход, например, сравнивать их по ожидаемой полезности. 2 Предпосылки концепции ожидаемой полезности Предпосылки для метода сравнения лотерей через ожидаемую полезность в основном повторяют предпосылки (аксиомы) из теории потребительского выбора: 1. Аксиома сравнимости - чтобы анализировать предпочтения потребителя, нам необходимо, чтобы он мог сравнить любые два набора благ (или, в данном случае, любые две лотереи) между собой. Более формально это означает, что отношение предпочтения является полным отношением. 2. Аксиома транзитивности - означает, что отношение предпочтения является транзитивным, т.е. A B, B C =⇒ A C. 2 3. Аксиома рефлексивности - означает, что отношение предпочтения является рефлексив- ным, и что лотерея не может быть хуже или лучше себя самой. На практике это означает, что предпочтения индивида не могут меняться в процессе выбора, если все остальные факторы остаются неизменными. 4. Аксиома непрерывности - означает, что функция полезности индивида является непре- рывной по количеству всех благ. В частности, эта аксиома исключает лексикографические предпочтения (когда потребитель начинает рассматривать другие товары только тогда, ко- гда в двух наборах количество наиболее предпочитаемого одинаково) и другие сложные виды предпочтений, которые нельзя эффективно анализировать. В пространстве лотерей к данным аксиомам добавляется еще одна: 5. Аксиома независимости - полезность, которую получает индивид от исхода, не зависит от других исходов. Иными словами, полезность, получаемая индивидом, зависит только от величины выигрыша, но не зависит от контекста, в котором этот выигрыш получен. Иногда вводят еще несколько аксиом, которые в целом можно обобщить предпосылкой о рацио- нальности индивида, например то, что индивид всегда предпочтет набор с большим количеством благ набору с меньшим, что индивид стремится максимизировать свою полезность (получить наи- лучший доступный набор благ/лотерею) и т.д. Введение этих предпосылок позволяет нам использовать для сравнения лотерей теорию ожидаемой полезности Неймана-Моргенштерна. 3 Кривые безразличия для функций ожидаемой полезности После того, как мы задали функцию ожидаемой полезности (см. вопрос 4), мы можем проследить, что она линейна по вероятностям исходов. Поэтому кривые безразличия, имеющие вид p i ∗ u(w i ) = const будут линейными в пространстве вероятностей. Для того, чтобы удобно изобразить кривые без- различия для лотерей с 3 исходами, мы можем воспользоваться так называемым треугольником Маршака-Машина, т.к. p 2 = 1 − p 1 − p 3 : Треугольник Маршака-Машина Теперь мы можем вывести кривые безразличия для функции ожидаемой полезности (заменим для простоты u(w i ) на u i , т.к. функция полезности задана): p 1 ∗ u 1 + p 2 ∗ u 2 + p 3 ∗ u 3 = const, p 1 + p 2 + p 3 = 1 3 p 2 = 1 − p 1 − p 3 =⇒ p 1 ∗ u 1 + (1 − p 1 − p 3 )u 2 + p 3 ∗ u 3 = const =⇒ =⇒ p 3 = const − u 2 u 3 − u 2 + u 2 − u 1 u 3 − u 2 p 1 =⇒ p 3 = const + u 2 − u 1 u 3 − u 2 p 1 При этом мы без потери общности можем считать, что u 3 ≥ u 2 ≥ u 1 , поэтому u 2 −u 1 u 3 −u 2 > 0 и наклон этой линейной функции будет положительным. Теперь мы можем нарисовать кривые безразличия на треугольнике Маршака-Машина: Кривые безразличия функции ожидаемой полезности Полезное следствие из линейности функции по вероятностям - мы можем сравнивать между собой очень близко находящиеся лотереи, увеличив расстояние между ними: Следствие линейности функции ожидаемой полезности В то время как L 1 и L 2 может быть тяжело между собой отличить, L 3 L 1 , из чего следует, что и L 2 L 1 4 4 Ожидаемая полезность по Нейману-Моргенштерну и тести- рование этой теории 4.1 Функция ожидаемой полезности Исходя из предпосылок теории ожидаемой полезности мы можем задать функцию полезности u(w), называемую также функцией Бернулли. Теперь мы можем применять теорию Неймана- Моргенштерна об ожидаемой полезности, задающую функцию полезности для лотерей, равную матожиданию полезности от лотереи: U (L) = E[u|L] = n i=1 p i ∗ u(w i ) Тогда индивид предпочтет одну лотерею другой, если ожидаемая полезность от нее будет выше: L 1 L 2 ⇐⇒ U (L 1 ) > U (L 2 ) Для сложных лотерей этот метод можно применять без изменений, за счет того, что мы вводим предпосылку сводимости сложных лотерей к простым. Несмотря на то, что функция полезности Бернулли u(w) - кардиналистская конструкция (то есть конструкция, присваивающая набору благ некоторую "силу предпочтения"), мы используем ее только для сравнения лотерей между собой, не учитывая в анализе конкретные значения функ- ции. Это означает, что мы можем рассматривать функции полезности с точностью до афинных преобразований, т.к. они никак не влияют на ранжирование лотерей. 4.2 Экспериментальное тестирование теории Неймана-Моргенштерна Некоторые результаты экспериментальной экономики ставят под сомнение теорию Неймана-Моргенштерна. Например, парадокс Алле показывает, что предположение о линейности функции ожидаемой по- лезности по вероятностям исходов может быть неверным. В упрощенном виде парадокс Алле выглядит следующим образом: индивидам предлагают выбрать из двух пар лотерей A 1 , A 2 и B 1 , B 2 по одной. Вероятности в лотереях подобраны так, что на треугольнике Маршака-Машина прямые A 1 A 2 и B 1 B 2 параллельны: Ожидаемые результаты эксперимента для разных видов предпочтений Логика является следующей: если кривые безразличия линейны, то независимо от их конкретного вида (соотношения между углом наклона A 1 A 2 и кривых безразличия), индивид должен выбрать в обоих случаях либо первую лотерею, либо вторую. Единственное исключение - когда кривая безразличия совпадет с A 1 A 2 - слишком маловероятно, чтобы значительно повлиять на результат эксперимента с большим количеством индивидов. 5 На практике же индивиды чаще выбирают A 2 и B 1 . Это показывает, что их кривые безразличия на самом деле не линейны, а могут иметь более сложный вид, например: Нелинейные кривые безразличия Парадокс Алле в изначальном виде выглядит похоже, за исключением того, что лотереи в нем расположены в вершинах не трапеции, а параллелограмма. 5 Парадокс Алле, рамочные эффекты и Парадокс Элсберга 5.1 Парадокс Алле См. пункт 4.2 5.2 Рамочные эффекты Парадокс Канемана и Тверски показывает, постановка лотереи влияет на выбор индивида. Индивид играет по очереди в две игры: 1. В первой игре ему предлагают либо гарантированно получить N ден.ед., либо сыграть в лотерею: L 1 = 0.5 ◦ 0 ⊕ 0.5 ◦ 2N 2. Во второй игре ему дают 2N денег и предлагают гарантированно потерять N , либо сыграть в лотерею: L 2 = 0.5 ◦ 0 ⊕ 0.5 ◦ −2N Очевидно, что конечные результаты в обоих играх одинаковы: игрок либо гарантированно получает N , либо получает 0 или 2N с вероятностями 0.5/0.5. Однако на практике в первой игре большая часть индивидов выбирала гарантированный приз, а во второй игре выбирала лотерею. Этот результат может вести к нескольким выводам: 1. Была нарушена аксиома рефлексивности - т.к. P 1 = P 2 (где P 1 и P 2 - гарантированные вы- платы), а L 1 = L 2 , но при этом по выявленными предпочтениям индивида P 1 L 1 = L 2 P 2 = P 1 =⇒ P 1 P 1 2. Функция полезности индивида не является монотонной - в данном случае, когда речь зашла о потере, индивид повел себя как рискофил, в то время как в игре с положительным выигрышем он повел себя как рискофоб. 6 3. Полезность индивида зависит не только от финального выигрыша, но и от начального состо- яния, что противоречит аксиоме независимости. 5.3 Парадокс Элсберга В парадоксе Элсберга индивиду предлагается выбрать одну из двух урн, содержащих по 100 ша- ров красного и черного цвета. В первой урне содержится одинаковое количество красных и черных шаров, содержание второй урны неизвествно. В соответствии с условиями игры, индивид, вытя- нувший красный шар, получает $100. Большинство респондентов выбрали первую урну, но при изменении условий игры, а именно, при обещании выдавать ту же сумму при вытягивании не красного, а черного шара, они не стали выбирать вторую урну, что является нарушением аксиомы независимости. 6 Денежные лотереи См. пункты 1, 2, 4.1 7 Стохастическое доминирование Возьмем две случайные величины с функциями распределения F (x) и G(x), где F (x) ≤ G(x), ∀x: F (x) и G(x) Заметим, что если мы зафиксируем какое-то определенное значение F и посмотрим, какие значения x соответствуют F в каждой из функций, мы увидим, что x G < x F , ∀F . Это означает, что для каждого значения вероятности диапазон значений, получаемых из F больше, либо наоборот, для определенного значения x вероятность получить меньше x в F ниже. Фактически это означает, что F - менее рисковое распределение, чем G, потому что мы с большей вероятностью получим от него большие значения. Поэтому введем определение: F (x) стохастически доминирует I рода G(x), если F (x) ≤ G(x), ∀x. Из стохастического доминирования первого рода следует, что E[F ] > E[G], т.к. матожидание слу- чайной величины E[F ] = ∞ −∞ xdF в точности равно площади над кривой F (x) (если мы перевернем оси, то это будет следовать из определения интеграла как площади под кривой). 7 При этом для любой монотонной функции u(x) также будет верно, что ∞ −∞ u(x)dF > ∞ −∞ u(x)dG, поэтому следствием стохастического доминирования I рода одной лотереи над другой будет, то, что любой индивид, вне зависимости от вида его предпочтений, выберет первую лотерею. Стохастическое доминирование было бы отличным методом ранжирования лотерей, если бы от- ношение стохастического доминирования было полным, однако это не так. Например, мы можем привести такой пример: Ни одно из распределений не доминирует другое При этом в данном случае E[G] = E[F ]. Тем не менее, даже в такой ситуации мы можем определить, в какую лотерею будет играть индивид, но теперь результат будет зависеть от его отношения к риску. Обратим внимание, что в то время как F распределено двумодально (высокая вероятность получить низкое и высокая вероятность получить высокое значение), в G вероятность получить кроме примерно половины максимума очень низка. Поэтому введем такое определение: F (x) сто- хастически доминирует II рода G(x), если E[F ] = G[F ], D[F ] < D[G], иными словами, если степень риска в F ниже, чем в G. Если нам известно, что F стохастически доминирует G, то нам достаточно посмотреть на отношение индивида к риску: рискофоб выберет F , рискофил - G, а риск-нейтральному будет безразлично, что выбирать. 8 Достоверный эквивалент, рисковая премия, рисковая на- грузка, вероятностная премия Иногда мы хотим не только упорядочить лотереи по предпочтениям индивида, но и понять что-то об отношении индивида к риску, а в идеале квантифицировать это отношение в денежном эквиваленте. 8.1 Достоверный эквивалент и рисковая премия Попробуем оценить такую величину: какая сумма денег для индивида будет эквивалентной участию в лотерее? Графически эту величину легко изобразить: 8 C - сумма, при которой индивид получает полезность, равную ожидаемой полезности от лотереи Достоверный эквивалент (Certainty equivalent) C - сумма, получение которой индивидом экви- валентно участию им в лотерее. Это величину можно интерпретировать как минимальную цену, по которой индивид готов продать право на участие в лотерее, если он может это сделать. Оче- видно, что чем больше размер достоверного эквивалента, тем менее рискофобен индивид, т.к. при большей неприязни к риску он будет сильнее хотеть избавиться от лотереи и будет готов продать ее по меньшей цене (обратное верно для индивида-рискофила). Найти достоверный эквивалент можно, решив уравнение: u(C) = p i ∗ u(W i ) Имея величину достоверного эквивалента, мы можем оценить, сколько индивид готов заплатить, чтобы избавиться от, или, наоборот, поучаствовать в справедливой лотерее: r - величина, которую индивид готов заплатить за участие/неучастие в лотерее, в зависимости от его отношения к риску Изображенная величина r называется рисковой премией и является еще одной мерой оценки склонности к риску. Алгебраически она считается как r = EW − C. 8.2 Рисковая нагрузка и вероятностная премия Попробуем теперь решить обратную задачу: сколько нужно доплатить индивиду, чтобы он принял участие в справедливой лотерее (если он рискофоб) или отобрать у него, чтобы он отказался от справедливой лотереи (если он рискофил)? Иными словами, как сделать так, чтобы между лотереей и гарантированным выигрышем, равном ее матожиданию, рискофоб выбрал лотерею, а рискофил - гарантированный выигрыш. Графически решение выглядит следующим образом: 9 l - величина, на которую нужно скорректировать выигрыш индивида. По сути, мы должны предложить индивиду новую несправедливую лотерею, которая для риско- фоба будет более благоприятной, а для рискофила менее. Это можно сделать двумя способами - изменить выигрыши индивида или поменять вероятности выигрышей, оставив сами выигрыши неизменными. Значение, на которое нужно изменить выигрыши индивида, называется рисковой нагрузкой (risk loading) и его можно найти, решив уравнение: U (EW ) = p i ∗ u(W i + l) Значение π, на которое нужно изменить вероятности, называется вероятностной премией. Его слож- но найти в случае с более чем двумя исходами, но для двух исходов уравнение будет выглядеть следующим образом: |