Приложение криволинейного интеграла второго рода. Курсовая. Институт физики, математики, цифровых и нанотехнологий
![]()
|
МИНПРОСВЕЩЕНИЕ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.М.АКМУЛЛЫ» ИНСТИТУТ ФИЗИКИ, МАТЕМАТИКИ, ЦИФРОВЫХ И НАНОТЕХНОЛОГИЙ Кафедра математики и статистики Направление 03.03.01 – Прикладная математика и физика Модуль «Математика» Курс III ФИО ПРИЛОЖЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ВТОРОГО РОДА КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине «Математика» Научный руководитель: № регистрации по журналу учета курсовых работ_________________________________________ Дата защиты________________________________________________ Оценка_____________________________________________________ Подпись научного руководителя________________________________ Уфа 2022 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 3 Глава 1. Криволинейные интегралы второго рода. 4 1.1.Определение криволинейного интеграла второго рода 4 1.2.Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Формула Грина. Формула Стокса. 7 1.3.Решение задач 11 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 15 ЛИТЕРАТУРА 16 ВВЕДЕНИЕ Областью интегрирования определённого интеграла является отрезок на прямой; двойного интеграла – некоторая область в плоскости; тройного – некоторая область в пространстве. Однако существуют интегралы, областью интегрирования которых является кривая, расположенная в плоскости или в пространстве. Такие интегралы называются криволинейными интегралами. Аппарат криволинейных интегралов значительно расширяет возможности приложений математического анализа к решению задач из механики и физики. Особенно большое значение криволинейные интегралы имеют в теории поля и в теории функции комплексной переменной. Все важные математические понятия получены в связи с исследованием тех или иных практических проблем. Практические задачи также привели к различным криволинейным интегралам. Целью курсовой работы является рассмотрение криволинейного интеграла второго рода. Для достижения цели нужно выполнить задачи: рассмотрение определения криволинейного интеграла второго рода; изучение формулы Грина и формулы Стокса; вычисление некоторых криволинейных интегралов. Глава 1. Криволинейные интегралы второго рода. Определение криволинейного интеграла второго рода Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
которую будем называть интегральной суммой, соответствующей заданному разбиению.
Определение. Криволинейным интегралом второго рода функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично определяются криволинейные интегралы второго рода ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Рассмотрим свойства криволинейного интеграла второго рода. 1 ![]() ![]() ![]() ![]() 2 ![]() ![]() 3 ![]() ![]() ![]() ![]() 4 ![]() ![]() 5 ![]() ![]() ![]() 6 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
7 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Здесь точкой обозначено скалярное произведение векторов. 8 ![]() ![]() Если ![]() ![]() 9 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если кривая AB в пространстве задана параметрически уравнениями ![]() то формула для вычисления полного криволинейного интеграла (2) имеет вид
Если кривая плоская, то формула (5) примет вид
Если кривая задана графиком функции ![]() ![]() ![]()
Аналогично, если кривая AB является графиком функции ![]() ![]()
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Формула Грина. Формула Стокса. Определение. Если начало и конец кривой совпадают, то кривая называется замкнутым контуром (часто просто контуром). Для определения криволинейного интеграла по замкнутому контуру в качестве точки, определяющей начало и конец кривой, можно выбрать любую лежащую на ней точку. При этом требуется задать направление её обхода, которое называется ориентацией контура. Определение. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]()
Для замкнутого контура как и для обычной кривой может быть определён криволинейный интеграл, который в этом случае часто обозначается ![]() ![]() ![]() то есть при смене ориентации контура величина криволинейного интеграла меняет знак. Теорема 1 (формула Грина). Пусть замкнутый контур ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Следствие 1. Если в равенстве (9) взять ![]() ![]() Аналогично, если в равенстве (9) взять ![]() ![]() Определение. Поверхностью, заданной в явном виде, называется множество точек с координатами ![]()
где функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение. Выбор одной из двух сторон (верхней или нижней) поверхности, заданной условием (10), называется ориентацией поверхности. Если на поверхности выбрана верхняя (нижняя) сторона, то будем эту поверхность называть положительно (отрицательно) ориентированной относительно оси ![]() Для гладкой поверхности в каждой её точке можно построить нормальный вектор, который перпендикулярен касательной плоскости, проведённой к поверхности через эту точку. Тогда ориентацию поверхности удобно задавать указанием направления нормального вектора: верхней стороне соответствует нормальный вектор, который образует острый угол с координатной осью ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение. Образ границы множества ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогичные определения формулируются для случая, когда поверхность задаётся при помощи функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Все поверхности будем считать явно заданными и гладкими. Будем предполагать также, что для любой поверхности её ориентация относительно каждой оси от точки к точке не меняется, возможно исключая точки, лежащие на границе поверхности:
где ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() Определение. Будем говорить, что ориентация поверхности S является согласованной с ориентацией контура ![]()
Замечание. Правило, по которому согласуются ориентации поверхности и её границы, называется также «правилом штопора»: если вращать ручку штопора по направлению, задаваемому ориентацией контура L, то штопор будет двигаться поступательно в направлении нормального вектора n. Теорема 2. Пусть ориентация поверхности S согласована с ориентацией контура ![]() ![]() ![]()
Формула (13) называется формулой Стокса. В некоторых случаях эта формула существенно упрощает вычисление криволинейного интеграла. Решение задач Задача 1. Вычислить криволинейный интеграл ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отрезок ![]() ![]() ![]() ![]() В итоге значение всего криволинейного интеграла по ломаной ![]() ![]() Если кривая задана уравнением в полярных координатах, то формула (6) также может быть применена, при этом параметром будет служить полярный угол ![]() ![]() Задача 2. Вычислить криволинейный интеграл ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Из аналитической геометрии известно, что векторное произведение ![]() ![]() ![]() ![]()
Найдём координаты векторов ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда из формул ( ![]() ![]() Используя равенства ( ![]() ![]() Задача 3. Вычислить криволинейный интеграл ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Сделаем рисунок.
![]() ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проблема изучения криволинейного интеграла второго рода является весьма актуальной. Опираясь на поставленные задачи, в работе удалось раскрыть основные аспекты теории и приложений криволинейного интеграла второго рода. Изначально были сформулированы основные теоретические сведения, включающие определение криволинейного интеграла второго рода, его свойства и условие существования. На основе рассмотренных теоретических сведений были рассмотрены приложения и теоремы (условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования). Для получения полной картины были рассмотрены основные задачи и приложения криволинейного интеграла второго рода. В конце курсовой работы приводятся примеры решений задач Необходимо понимать, что изучение криволинейного интеграла второго рода имеет высочайшее значение не только в математическом анализе, но и других сферах науки, таких, как физика, геометрия, экономика. Ведь часто на практике возникают задачи, в которых использование свойств и приложений криволинейного интеграла второго рода значительно упрощает процесс нахождения результата. ЛИТЕРАТУРА Аксёнов А.П. Математический анализ (Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла). – СПб.: Нестор, 2000. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – 2-е изд., стереотип. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. – изд. 4-е, – М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1966. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ: Учебник. – 3-е изд., перераб. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть 1. Учеб.: Для вузов. – 7-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005 Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Том 3. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие/ Под ред. Л. Д. Кудрявцева. – 2-е изд., перераб. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. Федоров, Д. Л. Криволинейные интегралы второго рода : учебно-методическое пособие / Д. Л. Федоров, Т. С. Тинюкова, Л. П. Сметанина. – Ижевск : Удмуртский университет, 2021. – 80 с. – ISBN 978-5-4312-0953-6. – EDN WYGFPP. Шведенко, С. В. К определению криволинейных интегралов и доказательству формулы Грина / С. В. Шведенко // Математическое образование. – 2013. – № 4(68). – С. 58-69. – EDN SAFOYD. |