Главная страница

бағана. Интеграл по комплексной переменной


Скачать 403.23 Kb.
НазваниеИнтеграл по комплексной переменной
Анкорбағана
Дата17.10.2022
Размер403.23 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файла56972.docx
ТипДокументы
#738203

Интеграл по комплексной переменной
Определение 1: Кривая Г называется гладкой, если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.

Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа гладких дуг.

Если при стремлении max ti t0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек ti , то этот предел называется интегралом от функции f по кривой С.



Очевидно, что (1) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя к пределу при t и t0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем:


Заметим, что для существования криволинейного интеграла, а тем самым и для существования интеграла достаточно кусочной непрерывности функций u и v. Это означает, что существует и в случае неаналитичности функции f (t).
Теорема Коши
В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения:
Д
ля действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина:

ТЕОРЕМА: Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю.

Доказательство: из формулы следует:

Т
.к. f(t) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-Римана. Используя свойство криволинейных интегралов:

А

налогично:
По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда




ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши): Если функция f (t) является аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю.

TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область)

Пусть f (t) является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С0, а изнутри контурами С1, С2, .. ,Сn. Пусть f (t) непрерывна в замкнутой области G, тогда

где С – полная граница области G, состоящая из контуров С1, С2, .. , Сn. Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении.
Неопределенный интеграл
Следствием формулы Коши является следующее положение: пусть f(Z) аналитическая функция односвязной области G. Зафиксируем в этой области точку Z0 и обозначим: интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z0 и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой области имеет место равенство: Ф t (Z) = f( Z).

Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенств:

Это аналог формулы Ньютона-Лейбница.
Интеграл Коши. Вывод формулы Коши
Р анее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции.

Пусть функция f(Z) – аналитическая функция в односвязной области G, ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z0 и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим вспомогательную функцию t(Z). Эта функция аналитична в области G всюду, кроме точки Z=Z0. Проведем контур t с достаточным радиусом, ограничивающий точку Z0, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области, заключенной между контурами Г и t. Согласно теореме Коши имеем:

По свойствам интегралов:

Так как левый интеграл не зависит от выбора контура интегрирования, то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в качестве окружность с радиусом. Тогда:




Уравнение окружности





Тогда т.к. функция f(t) аналитична в точке Z=Z0 и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех t>0 существует t>0, что для всех t из t –окрестности точки Z0 выполняется | f(t) – f(Z0) | < t.



Подставляя и выражая f(Z0) имеем:


Э то интеграл Коши.

Интеграл, стоящий в правой части выражает значение аналитической функции f(t) в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре t , лежащем в области аналитичности функции f(t) и содержащем точку Z0 внутри.

Очевидно, что если бы функция f(t) была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы t в формуле (9) можно было использовать контур С.

Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.

Следствие: Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z0 на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно, а если т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю:

П
ри Z0 t Г указанный интеграл не существует.

Интегралы, зависящие от параметра.

Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных: переменной интегрирования t и Z0. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z0.

Пусть задана функция двух комплексных переменных t (Z, t ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. t = t + i t С. (С - граница G).

Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция t (Z, t) удовлетворяет условия:

1) Функция для всех значений t С является аналитической в области G.

2) Функция t (Z, t) и ее производная t являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и t при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях:

И
нтеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула:

Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру

ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула:



С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.

ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G.

Разложение функции комплексного переменного в ряды.

Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора:

Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:
(2) – разложение в ряд Тейлора.
Формула записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z0 |
Функция f (z), которая может быть представлена в виде ряда (2) является аналитической функцией. Неаналитическая функция в ряд Тейлора не раскладывается.





Причем | Z | < R, R t

Формулы ЭЙЛЕРА.

Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix;





Аналогично взяв Z = - ix получим:

Можно выразить формулы Эйлера:

В общем случае:


Известно, что:

Из уравнений вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами:

Ряд ЛОРАНА.

Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем.
ТЕОРЕМА 1.

Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z0| < R раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z0.

Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R.

Возьмем в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку , тогда f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе. Выполняется условие для существования интеграла Коши



Поскольку
,
то выражение можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , т.е.:



Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая на 1/(2 t i) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим: слева интеграл (13) который равен f (Z), а справа будет сумма интегралов:
Обозначая ,

получим :

Это разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора. Находим, что

ТЕОРЕМА 2

Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в точке Z0 для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z0 |, то она представляется рядом :

где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь угодно большое число). Если обозначить , получим:

ТЕОРЕМА 3.

Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z< |Z-Z0 |
f1 и f2 можно представить в виде двух рядов:



Ряд – ряд Лорана, при этом ряд сходится в круге радиуса R, ряд сходится вне круга радиуса R функции f2(Z). Общая область сходимости ряда – кольцо между r и R.

f1(Z) – правильная часть.

f2(Z) – главная часть ряда Лорана.

Ряд Тейлора – частный случай ряда Лорана при отсутствии главной его части.
Классификация изолированных особых точек. Вычеты
Определение 1. Особой точкой функции f(Z) определенной в области (замкнутой) G, ограниченной Жордановой кривой, называется точка Z=Z0  G в которой аналитичность функции f1(Z) нарушается. Рабочая точка Z=Z0 функции f(Z), ограниченной в круге |Z-Z0|0. В зависимости от поведения функции f(Z) в окрестности изолированных особых точек последние классифицируются на

  1. Устранимые особые точки. Ими называются особые точки, для которых существует , где А – конечное число.

  2. Если для особой точки существует предел , то такая особая точка называется полюсом.

  3. Если не существует, то точка Z=Z0 называется существенной особой точкой.

Если С-n=0, то особая точка есть устранимая особая точка.

Пусть f(Z0)=C0 и C-n для всех n=1,2,3,..,m отличного от 0, а для всех n  m+1 C-n=0, тогда Z=Z0 будет являться полюсом порядка m.

При m>1 такой полюс будет называться простым.
,
если m t , то в этом случае в точке Z=Z0 имеем существенную особенность.

Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z0| , где L – ориентированный против часовой стрелки контур целиком расположенный в круге радиуса R, содержащем Z0. Вычет существует только для изолированных особых точек. Очевидно, что вычет функции f(z) при Z=Z0 равен первому коэффициенту ряда главной части Лорана:

Если полюс имеет кратность m t 1, то для определения вычетов используется формула:

при m=1:

Основная теорема о вычетах

Пусть f(z) аналитическая в области G кроме конечного числа полюсов Z = a1, a2, …, ak. t –произвольный, кусочно-гладкий замкнутый контур содержащий внутри себя эти точки и целиком лежащий внутри области G. В этом случае интеграл равен сумме вычетов относительно a1, a2, …, ak и т.д. умноженный на 2 t i :

Пример:

Найти вычет

Особые точки: Z1=1, Z2= - 3.

Определим порядок полюсов – все полюсы первого порядка.

Используем формулу:



Интегральные преобразования.

Операционное исчисление и некоторые его приложения.

Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям:



  1. Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).

  2. Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0>0 такие, что выполняется условие : |f(t)|S0t

Рассмотрим функцию f(t)e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b).

Применим к этому соотношению формулу Эйлера:

Проинтегрировав это равенство получим:

Оценим левую часть равенства:

А согласно свойству (3) |f(t)| < Me S0t

В случае если a>S0 имеем:

Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве.

Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р:

Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.
f(t) t F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.

- это оператор Лапласа.
Смысл введения интегральных преобразований
Этот смысл состоит в следующем: с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.

Теорема единственности: если две функции t имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.

Изображение функций t 0(t), sin (t), cos (t).

Определение: называется единичной функцией.

Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение:

Изображение единичной функции

Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t)

интегрируя по частям получим:
т.е.
Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию в области преобразований. Откуда:

Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.
где а – константа.
Таким образом:


и
Свойства линейности изображения.

Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.

Если , то , где
Теорема смещения: если функция F(p) это изображение f(t), то F(+p) является изображением функции e-t f(t)

Доказательство

Применим оператор Лапласа к левой части равенства


Что и требовалось доказать.

Таблица основных изображений:

F(p)

f(t)

F(p)

f(p)



1














































Изображение производных.

Теорема. Если , то справедливо выражение:

Доказательство:







Подставляя и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем:


Что и требовалось доказать.

Пример: Решить дифференциальное уравнение:

Если x(0)=0 и x’(0)=0
Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и , где - решение в области изображений.





Изображающее уравнение






Теорема об интегрировании оригинала. Пусть находится в области оригиналов, , тогда также оригинал, а его изображение .

Таким образом, операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.

Теорема о интегрировании изображений: Пусть – функция оригинал, которая имеет изображение и также оригинал, а - является сходящимся интегралом, тогда .

Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до t в области изображений.

Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.

Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция:

Свертка обозначается следующим образом:

Равенств идентичны.

Свертка функции подчиняется переместительному закону.

Доказательство:




Теорема о умножении изображений. Пусть и , тогда произведение изображений представляется сверткой оригиналов .

Доказательство:

Пусть изображение свертки



Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t. Изменим порядок интегрирования. Переменные t входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.

Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).

Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.

Теорема Эфроса. Пусть функция находится в области оригиналов, , а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что
, тогда .
В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда

Соотношение применяется при решении дифференциальных уравнений.

Обратное преобразование Лапласа.

- Это прямое преобразование Лапласа.

Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :

где s – некоторая константа.

Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.

Теоремы разложения.

Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дроби может быгут представлены в виде двух теорем разложения.

Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде , k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом, , то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы: .

Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией . Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни t 1, t 2, …, t n соответствующий кратности k1, k2, …, kn , при этом k1+ k2 +…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле



Например:



Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.

Преобразование Лапласа имеет вид:

(1)
Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо можно рассмотреть следующий интеграл:

Формула – двустороннее преобразование Лапласа.

Пусть p =a + in, где a и n – действительные числа.

Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е.



Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям:

  1. Должна быть определена на промежутке (-t; t) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.

  2. Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.

  3. Функция абсолютно интегрируема: , это условие выполняется, если |f(t)|S0t

Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции: f(t) = C

Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций:
т.к.
Если f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси.

Если f(t) t 0, t<0




Обозначим

Очевидно, что

Функция называется спектральной плотностью



В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности:

  1. Вычисление интеграла

  2. Использование преобразования Лапласа или Фурье.

Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.

Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной

|F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности, t (u) – фазовый угол.

В алгебраической форме: F(iu) = a(u) +ib(u)



Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл, а затем по формулам и определяется амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол t (u).
Пример.

Найти спектральную плотность импульса :

откуда
,
далее



Отыскание спектральной плотности для не абсолютно интегрируемых функций.

Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.

Прямое преобразование Фурье необходимо:

  1. Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений.

  2. Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.

Введем следующее определение спектральной плотности для не абсолютно интегрируемых функций:

Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu.

Спектральной плотностью F1(iu) не абсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F2(iu) абсолютно интегрируемой функции.








написать администратору сайта