бағана. Интеграл по комплексной переменной
 Скачать 403.23 Kb.
|
|
Интеграл по комплексной переменной Определение 1: Кривая Г называется гладкой, если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную. Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа гладких дуг. Если при стремлении max ti t0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек ti , то этот предел называется интегралом от функции f по кривой С.   Очевидно, что (1) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя к пределу при t и t0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем:  Заметим, что для существования криволинейного интеграла, а тем самым и для существования интеграла достаточно кусочной непрерывности функций u и v. Это означает, что существует и в случае неаналитичности функции f (t). Теорема Коши В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения: Д  ля действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина:  ТЕОРЕМА: Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю. Доказательство: из формулы следует: Т  .к. f(t) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-Римана. Используя свойство криволинейных интегралов: А   налогично: По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда  ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши): Если функция f (t) является аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю. TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) Пусть f (t) является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С0, а изнутри контурами С1, С2, .. ,Сn. Пусть f (t) непрерывна в замкнутой области G, тогда  где С – полная граница области G, состоящая из контуров С1, С2, .. , Сn. Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении. Неопределенный интеграл Следствием формулы Коши является следующее положение: пусть f(Z) аналитическая функция односвязной области G. Зафиксируем в этой области точку Z0 и обозначим: интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z0 и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой области имеет место равенство: Ф t (Z) = f( Z). Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенств: Это аналог формулы Ньютона-Лейбница. Интеграл Коши. Вывод формулы Коши Р  анее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции.Пусть функция f(Z) – аналитическая функция в односвязной области G, ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z0 и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим вспомогательную функцию t(Z). Эта функция аналитична в области G всюду, кроме точки Z=Z0. Проведем контур t с достаточным радиусом, ограничивающий точку Z0, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области, заключенной между контурами Г и t. Согласно теореме Коши имеем: По свойствам интегралов: Так как левый интеграл не зависит от выбора контура интегрирования, то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в качестве окружность с радиусом. Тогда:   Уравнение окружности   Тогда т.к. функция f(t) аналитична в точке Z=Z0 и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех t>0 существует t>0, что для всех t из t –окрестности точки Z0 выполняется | f(t) – f(Z0) | < t.  Подставляя и выражая f(Z0) имеем: Э  то интеграл Коши.Интеграл, стоящий в правой части выражает значение аналитической функции f(t) в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре t , лежащем в области аналитичности функции f(t) и содержащем точку Z0 внутри. Очевидно, что если бы функция f(t) была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы t в формуле (9) можно было использовать контур С. Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G. Следствие: Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z0 на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно, а если т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю: П  ри Z0 t Г указанный интеграл не существует. Интегралы, зависящие от параметра. Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных: переменной интегрирования t и Z0. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z0. Пусть задана функция двух комплексных переменных t (Z, t ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. t = t + i t С. (С - граница G). Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция t (Z, t) удовлетворяет условия: 1) Функция для всех значений t С является аналитической в области G. 2) Функция t (Z, t) и ее производная t являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и t при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях: И  нтеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула:  Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула:  С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу. ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G. Разложение функции комплексного переменного в ряды. Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора:  Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:  (2) – разложение в ряд Тейлора.Формула записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z0 | Функция f (z), которая может быть представлена в виде ряда (2) является аналитической функцией. Неаналитическая функция в ряд Тейлора не раскладывается.    Причем | Z | < R, R t Формулы ЭЙЛЕРА. Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix;    Аналогично взяв Z = - ix получим:  Можно выразить формулы Эйлера:  В общем случае:  Известно, что:  Из уравнений вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами:  Ряд ЛОРАНА. Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем. ТЕОРЕМА 1.  Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z0| < R раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z0. Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R. Возьмем в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку , тогда f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе. Выполняется условие для существования интеграла Коши   Поскольку  ,то выражение  можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем  , т.е.:   Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая на 1/(2 t i) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим: слева интеграл (13) который равен f (Z), а справа будет сумма интегралов: Обозначая  ,получим :  Это разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора. Находим, что  ТЕОРЕМА 2 Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в точке Z0 для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z0 |, то она представляется рядом :  где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь угодно большое число). Если обозначить  , получим: ТЕОРЕМА 3. Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z< |Z-Z0 |  f1 и f2 можно представить в виде двух рядов:   Ряд – ряд Лорана, при этом ряд сходится в круге радиуса R, ряд сходится вне круга радиуса R функции f2(Z). Общая область сходимости ряда – кольцо между r и R. f1(Z) – правильная часть. f2(Z) – главная часть ряда Лорана. Ряд Тейлора – частный случай ряда Лорана при отсутствии главной его части. Классификация изолированных особых точек. Вычеты Определение 1. Особой точкой функции f(Z) определенной в области (замкнутой) G, ограниченной Жордановой кривой, называется точка Z=Z0 G в которой аналитичность функции f1(Z) нарушается. Рабочая точка Z=Z0 функции f(Z), ограниченной в круге |Z-Z0| Устранимые особые точки. Ими называются особые точки, для которых существует  , где А – конечное число.Если для особой точки существует предел  , то такая особая точка называется полюсом.Если  не существует, то точка Z=Z0 называется существенной особой точкой.Если С-n=0, то особая точка есть устранимая особая точка.  Пусть f(Z0)=C0 и C-n для всех n=1,2,3,..,m отличного от 0, а для всех n m+1 C-n=0, тогда Z=Z0 будет являться полюсом порядка m. При m>1 такой полюс будет называться простым.  ,если m t , то в этом случае в точке Z=Z0 имеем существенную особенность. Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z0|  Если полюс имеет кратность m t 1, то для определения вычетов используется формула:  при m=1:  Основная теорема о вычетах Пусть f(z) аналитическая в области G кроме конечного числа полюсов Z = a1, a2, …, ak. t –произвольный, кусочно-гладкий замкнутый контур содержащий внутри себя эти точки и целиком лежащий внутри области G. В этом случае интеграл  равен сумме вычетов относительно a1, a2, …, ak и т.д. умноженный на 2 t i : Пример: Найти вычет  Особые точки: Z1=1, Z2= - 3. Определим порядок полюсов – все полюсы первого порядка. Используем формулу:   Интегральные преобразования. Операционное исчисление и некоторые его приложения. Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям:  Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода). Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0>0 такие, что выполняется условие : |f(t)| Рассмотрим функцию f(t)e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b).  Применим к этому соотношению формулу Эйлера:  Проинтегрировав это равенство получим:  Оценим левую часть равенства:  А согласно свойству (3) |f(t)| < Me S0t  В случае если a>S0 имеем:  Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве. Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р:  Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом. f(t) t F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.  - это оператор Лапласа.Смысл введения интегральных преобразований Этот смысл состоит в следующем: с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений. Теорема единственности: если две функции t имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны. Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным. Изображение функций t 0(t), sin (t), cos (t). Определение:  называется единичной функцией.Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение:  Изображение единичной функции  Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t)  интегрируя по частям получим:  т.е.  Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию  в области преобразований. Откуда:  Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.  где а – константа.Таким образом:   и  Свойства линейности изображения. Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.  Если  , то  , где  Теорема смещения: если функция F(p) это изображение f(t), то F(+p) является изображением функции e-t f(t) Доказательство Применим оператор Лапласа к левой части равенства  Что и требовалось доказать. Таблица основных изображений:
Изображение производных. Теорема. Если , то справедливо выражение: Доказательство:    Подставляя и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем:  Что и требовалось доказать. Пример: Решить дифференциальное уравнение:  Если x(0)=0 и x’(0)=0 Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и  , где  - решение в области изображений.   Изображающее уравнение    Теорема об интегрировании оригинала. Пусть  находится в области оригиналов, , тогда  также оригинал, а его изображение  .Таким образом, операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений. Теорема о интегрировании изображений: Пусть – функция оригинал, которая имеет изображение и  также оригинал, а  - является сходящимся интегралом, тогда  .Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до t в области изображений. Понятие о свертке функций. Теорема о свертке. Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция:  Свертка обозначается следующим образом:  Равенств идентичны. Свертка функции подчиняется переместительному закону. Доказательство:   Теорема о умножении изображений. Пусть  и  , тогда произведение изображений  представляется сверткой оригиналов  .Доказательство: Пусть изображение свертки   Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t. Изменим порядок интегрирования. Переменные t входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.  Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p). Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса. Теорема Эфроса. Пусть функция находится в области оригиналов, , а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что , тогда  .В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда  Соотношение применяется при решении дифференциальных уравнений. Обратное преобразование Лапласа. - Это прямое преобразование Лапласа. Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :  где s – некоторая константа. Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению. Теоремы разложения. Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дроби может быгут представлены в виде двух теорем разложения. Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде  , k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом,  , то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы:  .Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией  . Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни t 1, t 2, …, t n соответствующий кратности k1, k2, …, kn , при этом k1+ k2 +…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле  Например:   Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа. Преобразование Лапласа имеет вид: (1)Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо можно рассмотреть следующий интеграл:  Формула – двустороннее преобразование Лапласа. Пусть p =a + in, где a и n – действительные числа. Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е.   Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям: Должна быть определена на промежутке (-t; t) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода. Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная. Функция абсолютно интегрируема:  , это условие выполняется, если |f(t)|Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции: f(t) = C  Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций:  т.к.  Если f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси. Если f(t) t 0, t<0   Обозначим  Очевидно, что  Функция называется спектральной плотностью  В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности: Вычисление интеграла Использование преобразования Лапласа или Фурье. Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции. Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной  |F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности, t (u) – фазовый угол. В алгебраической форме: F(iu) = a(u) +ib(u)   Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл, а затем по формулам и определяется амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол t (u). Пример. Найти спектральную плотность импульса :   откуда  , далее   Отыскание спектральной плотности для не абсолютно интегрируемых функций. Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа. Прямое преобразование Фурье необходимо: Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений. Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси. Введем следующее определение спектральной плотности для не абсолютно интегрируемых функций: Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu. Спектральной плотностью F1(iu) не абсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F2(iu) абсолютно интегрируемой функции.   |
